动点产生的等腰三角形

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1、 中考问题之-因动点产生的等腰三角形【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在*轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度. 等腰三角形的题目围较广，题型很多. 数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.这局部考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右.【策略分级细述】1. 怎样设动点的坐标1假设动点在*轴上，因为横坐标*在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0

2、，所以可设动点坐标为*，0；假设动点在y轴上，横坐标*没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为0，y.2假设动点在函数yf(*)上，则横坐标设为*，纵坐标设为f(*). 例如，点A在反比例函数 y的图像上，设A*，y，因为y ，所以用 来代替y，这种情况一般就直接设A*，；又如：点B在一次函数 y2 * 上，直接设B*，2 * .2. 等腰三角形要分类讨论如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB = AC；AB = BC；BC = AC，所以要分类进行讨论.图 1-2图1-3图 1-13. 坐标系中三角形边长的表示 如图1-2，假设三角形AOB的三个顶点在平面直

3、角坐标系中，设A*1，y1，B*2，y2则AB两点间的距离公式为：AB = . 用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA = ，OB = . 然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可.我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.例1. 如图1-3，在直角坐标系*Oy中，反比例函数 y = 图像上的点A、B的坐标分别为2，m、n，2，点C在*轴上，且ABC为等腰三角形，求点C的坐标. 分析：1. 反比例函数y = 图像上的A、B点，满足这个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这两个点的坐标.2. 如图1-4，点C在*轴上，所以设C*，0.3. 为了方便起见，讨论前

4、可以利用两点间的距离公式，分别把AB，BC，CA的长度写出来.4. 根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB = AC；AB = BC；BC = AC进展讨论.解：因为A2，m、Bn，2在y上，所以m，2，解得：m4,n4，所以A2，4、B4，2.因为点C在*轴上，所以设C*，0，则AB2，AC，BC. 假设ABC为等腰三角形，分三种情况讨论： ABAC，即2，整理得*24*120，因为0，所以方程无实数根，这种情况不存在. ABBC，即2，整理得*28*120，解得* 12，* 26，所以C2，0如图1-4；C6，0因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去. BCA

5、C，即，解得：*0，所以C0，0如图1-6.所以这样的点C有两个，C2，0或0，0.图1-6图1-5图1-4例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在*轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题.图 1-7例2. 如图1-7，点Am，2是正比例函数和反比例函数的交点，ABy轴于点B，OB = 2 AB.1求正比例函数和反比例函数的解析式；2求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标；3在y轴上是否存在一点D，使ACD为等腰三角形，假设存在，请求出点D的坐标，假设不存在，请说明理由.分析： 1.从点Am，2，ABy轴可

6、得：OB2，因为OB2AB，所以AB1，所以A1，2把A点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得1. 2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的*，y就是它们的交点坐标. 但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C点坐标.3.因为点D在y轴上，设出D点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC = AD，AC = CD，AD = CD，进展分类讨论.解：1因为ABy轴于点B，OB2 AB，点Am，2所以OB2，AB1，所以A1，2，因为A1，2在yk*k 0)上，所以k2，所以y2*. 又因为A1，

7、2在yk 0)上，所以k2，所以y. 2因为A1，2，正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C 1， 2 . 3存在.因为点D在y轴上，所以设D0，y，则AC2，AD，CD假设ACD为等腰三角形，分三种情况讨论： ACAD，即2，整理得y24y150，解得y2，所以D0，2或0，2 ACCD，即2，整理得y24y150，解得y2，所以D0，2 或0，2. ADCD，即，解得y0，此时点D与原点重合，舍去.所以这样的点D有四个，D0，2，0，2，0，2 ，0，2. 这一道题的方法和例1一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法.1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】图24

8、.：如图，抛物线的解析式为 y = *2+ 2 * + 2的顶点坐标为点P，点A的坐标为1， 1，点B的坐标为 1，m，且，假设ABP是等腰三角形，求点B的坐标第4题5.如图，：抛物线y = *2+ * + 4与轴交于点C，与*轴交于点A、B，平行于*轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为2，0问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由第5题1.1因动点产生的等腰三角形4动点移动的路程如图1-8，点P由点C向点A移动，速度是每秒1cm，设运动的时间为t秒，则路程CP速度时间1tt；点Q由点B向点C移动，速度是每秒2

9、cm，设运动的时间为t秒，则路程BQ2t2t.图1-9图 1-8 动点的移动，是中考经常会碰到的类型，要熟练的掌握它.例3. 如图1-9，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC12，AD18，AB10. 动点、分别从点、同时出发，动点沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停顿运动设运动的时间为秒射线与射线相交于点，能否为等腰三角形？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由.分析：1. 路程速度时间，动点P移动的路程DP2 t，动点Q移动的路程BQt2. 直角梯形作高，构造矩形和直角三角形，利用矩形的对边相等或勾股定理找到等

10、量关系.3. 动点沿射线的方向运动，所以要分点P在线段DA上，和点P在DA的延长线上两种情况分别讨论4. 当点P在线段DA上，AEP是等腰三角形的三种情况要根据三种不同的情况，灵活的采用不同 的方法求出t的值5. 当点P在DA的延长线上时，可利用等边对等角，对顶角，平行来找到等量关系求之.解：直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC12，AD18，AB10，DP2t，BQt动点P沿射线DA的方向运动，所以分两种情况：1点P在线段DA上时：假设BDG为等腰三角形，则分三种情况讨论： 如图1-10，AEAP，因为DP2t，AD18，所以AP18 2 t，又因为AEAP，所以APEE ，梯形ADB

11、C，APEBQE，所以BQEE，所以BEBQt，AE10t，所以18 2 t10 t，解得t . 如图1-11，EPAE，作PMBC于M，得CMDP2 t，BC12，BQt，所以MQ123 t，又因为PQAB10，PMCD8，所以MQ6，所以123 t6，解得 t2. 如图1-12，APEP，所以AE，因为ADBC，EBQA，所以EBQE，所以EQBQt， 又因为AP18 2 t，所以PE18 2 t，PQ18 2 tt18 3 t，MQ123 t，在RtPQM中，(18 3 t) 2(123 t) 282，解得：t .2点P在DA的延长线上时：如图4，AP2 t18AE，所以AEPP，因为A

12、DBC，BQEP，因为AEPBEQ，所以BQEBEQ，所以BQBEt，所以AE10t，即2 t1810t，解得：t 综上所述，AEP能构成等腰三角形，此时t，2，.图 1-10图1-11图1-12在解等腰三角形的题目时，一般情况下是分类讨论两条边相等，但有时利用等腰三角形的三线合一也可使问题更快地解决. 此题还有一个难点：点P是在线段上，还是在延长线上，容易疏忽.5. 构造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性.学了相似三角形以后, 通过作等腰三角形底边上的高，构造一个与根底三角形相似的三角形，通过相似比，探求点的存在性.如图1-13，假设要证PRQ为等腰三角形中的PQPR，AB5，A

13、H4，BPQR，PQ ，RQ*，而PR没有任何条件求不出来. 我们可以作底边上的高PG，利用等腰三角形三线合一的性质，得到PG平分QR， 所以QG ，从不难得到RtQPG与RtABH相似，利用相似比 ，得到 ，解出*.图 1-13图1-14例4. 如图1-14，在ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点D不与A、B重合，且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG设AD = *，当BDG是等腰三角形时，请求出AD的长分析：1.由DEBC，利用平行线分线段成比例可以求出DE，因为正方形DGDE，所以求出了三角形的边DG .2.如果一个三角形

14、的两条边，来求它是等腰三角形需满足的条件，可以根据等腰三角形的三线合一来添辅助线，这样构造了一个直角三角形，想方法在条件中也构造一个直角三角形与之相似，使问题得到解决.3.按照等腰三角形存在的三种情况，进展分类讨论.解：如图1-15，作AQBC于Q，因为DEBC，所以 ，因为AB5，BC6，AD*，BD5 *， ，得DE*. 因为正方形DEFG，所以DG DE*.假设BDG为等腰三角形，分三种情况讨论： 如图1-15，BDDG，即5 *，解得* ，所以AD 如图1-16，BDBG，此时BC正好是DG的垂直平分线，所以DMAQ，即 ， 解得*，所以AD. 如图1-17，BGDG，作GHAB于H，

15、则DH BD ( 5 * )，因为GHDAQB90，又GDHDGH90，GDHADE90，所以DGHADEABC，所以DGHABQ，所以 ，即，解得：*，所以AD .图1-16综上所述，当BDG是等腰三角形时，AD ，.图1-17图1-151.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：4.顶点P1，3AB，AP2，PB3 m().ABAP，即2，解得：m 5，所以B1， 5；APPB，即23 m，解得：*3 2，所以B1，3 2；ABPB，即3 m，解得：* ，所以B1，. 5.A4，0，B 2，0，C0，4，D2，0，AC的解析式为：y* + 4. 设F*，* + 4如图1-33，ODD

16、F2，所以F2，2.当y2时 ，*2+ * + 42，解得：*2，所以P1，21 ，2 ；如图1-34，OFDF，由等腰三角形三线合一得：F1，3，.当y3时 ，*2+ * + 43，解得：*1，所以P1，31 ，3 . 图1图2第5题1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：1.1y；2设B*，0，则OB*，OA，AB. OAOB，即*，解得：*，所以B，0或，0；OAAB，即，解得：*0舍去，* 4，所以B 4，0；OBAB，即*，解得：* ，所以B，0.2.A2，0，B0，2，设P *，* + 2，OP，PA，OA2.OPPA，即，解得：*1，所以P1，1；OPOA，即2，解得：

17、*0，*2舍去，所以P0，2；PAOB，即2，解得：* 2，所以P2，2，. 3.解：1令y0，所以 * + 10，解得*2，所以A2，0；令*0，y1，所以B0，1. 2因为点C在y* + 1上，所以设C*，* + 1，又因为A2，0，B0，1，所以OA2，OC，AC.假设AOC为等腰三角形，分三种情况讨论： OCAC，即，整理得：4*4，解得：*1，把*1代入设的C*，* + 1中的 * + 1，所以C1， OCOA，即2，整理得:5*24*120，解得*1，*22因为点C与点A重合，舍去，所以C， . ACOA，即2，整理得:5*220*40，解得：*，所以C ，0, ，0所以这样的点C有四个，C1，,， ，, ，.