九年级数学下册 26.2.2 二次函数的图象与性质 （新版）华东师大版

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1、 26.2.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第一课时y=ax2 (a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0抛物线抛物线y=ax2 (a0)的形状是由的形状是由|a|来确定的来确定的,一般说来一般说来, |a|越大越大,抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小.的的图图象象。3 32 2x xx x2 21 1y y试试研研究究二二次

2、次函函数数2 2 我们已经研究了二次函数我们已经研究了二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质，现在我们来的图象和性质，现在我们来研究一般的问题。研究一般的问题。的联系。的联系。x x2 21 1y y我们设法寻求它与函数我们设法寻求它与函数2 21 12)2)(x(x2 21 1y y将函数关系式配方，得将函数关系式配方，得2 2为此，我们先来看几个简单的例子。为此，我们先来看几个简单的例子。1 1的的图图象象。x x2 21 1y y与与x x2 21 1y y画画出出函函数数2 22 2在同一直角坐标系中，列表列表x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32xy2 21 11

3、2xy2 21 1列表x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32 20 02 22 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 29 912xy2 21 1列表x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32 20 02 23 31 13 32 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 211112 211112 23 32 29 92 23 312xy2 21 1这两个函数有什么不一样的地方这两个函数有什么不一样的地方? 观察并观察并分析分析函数对应值表函数对应值表，你能想象，你能想象出这两个图象之间的关系吗？出这两个图象之间的关系吗？x-3-3 -2

4、-2-1-10 01 12 23 32 20 02 23 31 13 32 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 211112 211112 23 32 29 92 23 312xy2 21 1描点描点x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32 20 02 23 31 13 32 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 211112 211112 23 32 29 92 23 312xy2 21 1描点描点x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32 20 02 23 31 13 32 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 2

5、11112 211112 23 32 29 92 23 312xy2 21 1这两个函数的图这两个函数的图象的形状相同吗象的形状相同吗?相同相同2xy2 21 112xy2 21 1连线你会比较这你会比较这两个函数吗两个函数吗?1.观察图象的相互位置关系；观察图象的相互位置关系；2.观察顶点的变化；观察顶点的变化；3.观察对称轴的变化；观察对称轴的变化；4.观察增减性的变化观察增减性的变化.x-3-3 -2-2-1-10 01 12 23 32 20 02 23 31 13 32 21 12 29 92 21 12xy2 21 12 211112 211112 23 32 29 92 23 3

6、12xy2 21 12xy2 21 112xy2 21 1函数函数y= x2+1的的图象与图象与y= x2的的图象的位置有什图象的位置有什么关系么关系?2 21 12 21 1函数函数y= x2+1的图象可由的图象可由 y= x2的图象的图象沿沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得个单位长度得到到.2 21 12 21 11.画出画出y=x2 与与 y=x2 +1、 y=x2 -1的图像，并观察彼此的位置关系的图像，并观察彼此的位置关系.自学检测：2.画出画出y=-x2 与与 y=-x2 +3、 y=-x2 -2的图像，并观察彼此的位置关系的图像，并观察彼此的位置关系.x.-2-1012y=x

7、241014y=x2+1 8642-2-4y-10-5510 xOy=x2y=x2+15 2 1 2 5函数函数y=x2+1的图象的图象与与y=x2的图象的位的图象的位置有什么关系置有什么关系?函数函数y=x2+1的的图象可由图象可由y=x2的图象沿的图象沿y轴向轴向上上平移平移1个单位个单位长度得到长度得到.函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的图象的形状相同吗的形状相同吗?相同相同8642-2-4y-10-5510 xOx.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数函数y=x2-2的的图象可由图象可由y=x2的图象沿的图象沿y

8、轴向轴向下下平移平移2个单位个单位长度得到长度得到.函数函数y=x2-2的图象的图象与与y=x2的图象的位的图象的位置有什么关系置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的图象的形状相同吗的形状相同吗?相同相同42-2-4-6-8y-10-5510 xO 函数函数y=ax2 (a0)和函数和函数y=ax2+k (a0)的的图象形状图象形状 ，只是位置不同；当，只是位置不同；当k0时，时，函数函数y=ax2+k的图象可由的图象可由y=ax2的图象向的图象向 平平移移 个单位得到，当个单位得到，当k0时，函数时，函数y=ax2+k的图象可由的图象可由y=ax2的图象向的图象向

9、 平移平移 _ 个个单位得到。单位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2图象向上移还是向图象向上移还是向下移下移,移多少个单位移多少个单位长度长度,有什么规律吗有什么规律吗?上加下减相同上k k下|k|k| 1. 将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平平移移 个单位可得个单位可得y=-3x2的图象；的图象； 将将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到可由单位得到可由 y=2x2的图象。的图象。 将将y=x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个单位可得到单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。下4 4上7 7 上9试一试： 2. 将抛物线将抛物线y=4x2向上平

10、移向上平移3个单位，个单位，所得的抛物线的函数是所得的抛物线的函数是 。 将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单个单位位,所得的抛物线的函数是所得的抛物线的函数是 。y=4x2+3y=-5x2-4试一试：二次函数二次函数y=axy=ax2 2与与y=axy=ax2 2+k+k的图象有什么关系？的图象有什么关系？二次函数二次函数y= axy= ax2 2+k+k的图象可由的图象可由 y=axy=ax2 2 的图象的图象当当k 0 k 0 时时 向向上上平移平移k个单位得到；个单位得到；当当k 0 k 0时时,向向上上a0时时,向向上上a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+k的开口的

11、开口 ，对称轴是对称轴是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 .当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值值，这个值等于等于 ； 108642-2y-10-5510 xOy=x2-2y=x2+1y=x2向上向上y 轴(0,k)(0,k)减小减小增大0 0小小k k小结 当当a0a0图象图象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0 ,k)(0 ,k)y轴（直线X=0 ）当当x0(在对称轴的右侧在对称轴的右侧)时，时，y随着随着x的增大而增大。的增

12、大而增大。 当当x0(在对称轴的右侧在对称轴的右侧)时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2 +k (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到(上加下减).y轴（直线X=0 ）xyoxyo抛物线抛物线开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = 2x2 + 5y = -3x2 - 2y = -x2 + 3向上向上y轴轴( 0 , 5 )y轴轴y轴轴向下向下向下向下( 0 , -2 )( 0 , 3 ) 4. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过经过 得到的得到的. 它

13、的对称它的对称轴是轴是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ,在在x0时，时，y值随值随x的增大而的增大而 ；与；与x轴有轴有 交点。交点。沿沿Y Y轴向上平移轴向上平移5 5个单位个单位Y Y轴轴（0 0，5 5）增大增大2 23. 填写下表：填写下表：试一试： 5. 二次函数二次函数y=ax2+c (a0)的图象经的图象经过点过点A（1，-1），），B（2，5），则函），则函数数y=ax2+c的表达式为的表达式为 。若点若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图）也在函数的图象上，则点象上，则点C的坐标为的坐标为 ，点点D的坐标为的坐标为 .y=2x2-3(-2,5)7,5()7,5(或或试一试

14、：1.如图，抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式y= 。-2xyAB0212212x 2. 2.把函数把函数y=3xy=3x2 2+2+2的图象沿的图象沿x x轴对折，得到的图轴对折，得到的图 象的函数解析为象的函数解析为_. .3.3.已知（已知（m,nm,n) )在在y=axy=ax2 2+a+a的图象上，（的图象上，（- - m,nm,n ） _（在，不在）（在，不在）y=axy=ax2 2+a+a的图象上的图象上. .4. 4. 若若y=xy=x2 2+ +（2k-12k-1）的顶点位于）的

15、顶点位于x x轴上方，则轴上方，则K_K_y=-3x2-2在在0.55.求符合下列条件的抛物线求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数的函数关系式关系式: (1)通过点通过点(-3,2); (2)与与y= x2的开口大小相同的开口大小相同,方向相反方向相反; (3)当当x的值由的值由0增加到增加到2时时,函数值减少函数值减少4.126.已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上在其图象上,且且x2 x40, 0 x3|x1|, |x3|x4|, 则则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y

16、4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B x2 x1 B A o y x7. 已知二次已知二次函数函数y=ax2+c ，当，当x取取x1,x2(x1 1x2, x1,x2分别是分别是A,B两点的横坐标两点的横坐标)时时，函数值相等，则当，函数值相等，则当x取取x1 1+ +x2时，时，函数值为函数值为_. DA. a+c B. a-c C. c D. c)0(axa A o y x C o y x B o y x D o y x8. 函数函数y=ax2-a与与y=在同一直角坐标系中的图象可能是在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）A9. 9. 一次函数一次函数y=y=a

17、x+bax+b与与y=axy=ax2 2-b-b在同一坐标在同一坐标系中的大致图象是（系中的大致图象是（ ）x0yx0 x0 x0 xxyyyB.A.C.D.B10. 函数函数y=ax2+a与与y= （a0)在同在同一坐标系中一坐标系中 的大致图象是（的大致图象是（ ）xayx0 x0yx0yA.xy0B.C.D.D 3.05m B A o y x5 . 3512xy1. 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线( 1)、球在空中运行的最大高度是多少米？、球在空中运行的最大高度是多少米？运行，然后准确落入蓝筐内，运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为

18、已知蓝筐的中心离地面的距离为3.05m。(2)、如果运动员跳投、如果运动员跳投时，球出手离地面的高时，球出手离地面的高度度 为为2.25m ，则他离篮则他离篮筐中心的水平距离筐中心的水平距离AB是多少？是多少？ 实际应用 2.如图如图,是一座抛物线形拱桥是一座抛物线形拱桥,水位在水位在AB位置时位置时,水面水面宽宽4 米米,水位上升水位上升3米达到警戒线米达到警戒线MN位置时位置时 ,水面水面宽宽4 米米,某年发洪水某年发洪水,水位以每小时水位以每小时0.25米的速度上米的速度上升升,求求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?6?N?M?B?Axyc 解解:以以AB为为x

19、轴轴,对称轴为对称轴为y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系,设抛物线的代数表达式为设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.则则B点坐标为点坐标为(2 ,0), N点坐标为点坐标为(2 ,3),63故故0=24a+c,3=12a+c, 解得解得a= - ,c=6, 14即即y= - x2+6. 14其顶点为其顶点为(0,6),(6-3)0.25=12小时小时.3Oy=ax2+k (a0)a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向下(0 ,k)(0 ,k)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而增大。 当x0时，y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2 +k (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.中考寄语中考寄语 一场、两场、三场、四场考试，最终为了一场中考； 一次、两次、三次、四次痛苦，最终为了一次微笑。