天津市七校高二数学上学期期末考试试题含解析

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1、20202020学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（ ）A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）A. 16 B. 15 C. 14 D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的

2、公差为2，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（ ）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数

3、列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的

4、右焦点,且，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B.

5、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，

6、结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，若，则不等式的解集为（ ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上

7、的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，当或时，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设

8、双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，

9、列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则_.【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量

10、积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，且，则的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意， 且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面

11、积为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为_.【

12、答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项

13、和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知， ， . -得，.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将

14、两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意. （2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根. 当时，于是上单调递增；当时

15、，于是在上单调递增；依题意有 解得 .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点【解析】【分

16、析】（）由， 是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到 （）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：， 是的中点，又平面，平面， （2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系则：， ， ， ， ， ， ， ，设平面的一个法向量，则： ，取， ， ，所以，设平面的一个法向量，则 取， ， ，所以，故平面与平面所成的二面角的正弦值为 （3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且， ， ， ，若直线与平面所成的的角为，则 ，解得，所以

17、在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式

18、即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且 解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：； ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已

19、知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值.试题解析：（1）左顶点为又又椭圆的标准方程为（2）直线的方程为，由消元得化简得， ，则当时， ，点为的中点点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，恒成

20、立即定点的坐标为.（3）的方程可设为，由得点的横坐标为由，得 ，当且仅当即时取等号，当时， 的最小值为点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.已知函数，.（1）若在处取得极

21、值，求的值； （2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（）由题意，得 ，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（）代入，求出，令，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得 验证：当时，在处取得极大值 （2）解：因为 所以若，则当时，所以函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减 若，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减 （3）证明：当时，因为，所以，即，所以 令，则，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增所以函数在时，取得最小值，最小值为 所以，即，所以或因为为正实数，所以 当时，此时不存在满足条件，所以【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.