空间解析几何复习重点学习教案

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1、空间解析几何复习空间解析几何复习(fx)重点重点第一页，共33页。向量向量(xingling)的分的分解式：解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量(xingling)：kajaiazyx,向量的坐标向量的坐标(zubio)表表示式：示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法第1页/共33页第二页，共33页。222|zyxaaaa 向量向量(xingling)模长的模长的坐标表示式坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszy

2、xyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向向量方向(fngxing)余弦的余弦的坐标表示式坐标表示式)1coscoscos(222 第2页/共33页第三页，共33页。4 4、数量、数量(shling)(shling)积积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量数量(shling)积的坐标积的坐标表达式表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦两向量夹角余弦(yxin)的坐标表的坐标表示式示式第3页/共33页第四页，共33页。5 5、向

3、量、向量(xingling)(xingling)积积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉积、外积叉积、外积(wi j)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量向量(xingling)积的积的坐标表达式坐标表达式ba 第4页/共33页第五页，共33页。zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合、混合(hnh)(hnh)积积第5页/共33页第六页，共33页。第6页/共

4、33页第七页，共33页。（二）直线和平面（二）直线和平面(pngmin)方程方程平面平面(pngmin)方程方程直线直线(zhxin)方程方程平面与直线位置关系平面与直线位置关系距离、夹角距离、夹角异面直线异面直线平面束平面束第7页/共33页第八页，共33页。平面平面(pngmin)的点位式方程的点位式方程0001112220 xxyyzzXYZXYZ0 DCzByAx平面的平面的一般方程一般方程 0000 zzZyyYxxX已知一个平面过空间中的一点已知一个平面过空间中的一点 且其法向量为且其法向量为 则平面的则平面的点法式方程点法式方程为：为： ZYXn, 0000,zyxM第8页/共33

5、页第九页，共33页。pzznyymxx000 直线直线(zhxin)的对称的对称式方程式方程 ptzzntyymtxx000直线的参数直线的参数(cnsh)方方程程 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间空间(kngjin)直线的一直线的一般方程般方程第9页/共33页第十页，共33页。第10页/共33页第十一页，共33页。1111122222:0,:0AxB yC zDA xB yC zD111122220,Ax By Cz DAx B y Cz D, l适用适用(shyng)于求过已知直线的平面方程于求过已知直线的平面方程第11页/共33页第十二页，共33页。点到直线点到直线(

6、zhxin)的距离的距离0.M Md vv第12页/共33页第十三页，共33页。121212,.M Md v vvv第13页/共33页第十四页，共33页。0111111 ZYXZYXzzyyxx0222222 ZYXZYXzzyyxx公垂线方程公垂线方程(fngchng)异面直线异面直线(zhxin)第14页/共33页第十五页，共33页。例例2.4.5 试求直线试求直线在平面在平面 上的射影直线方程，并求上的射影直线方程，并求 与与 的的夹角夹角(ji jio).解解 直线直线 的方向向量为的方向向量为为简单起见，取为为简单起见，取为 又平面又平面 的法向量的法向量 依公式依公式(2.4.9)

7、，直线，直线 与平面与平面 的夹角的夹角(ji jio) 满足满足 10,:10 xyzlxyz :0 xyzll 1,1, 11, 1,12 0,1,1 l6sin.3n vn v6arcsin.3所以所以(suy)1,1,1 .v1,1,1 .n下面求直线下面求直线(zhxin) 在平面在平面 上的射影直线上的射影直线(zhxin)方程方程.l第15页/共33页第十六页，共33页。 以直线以直线(zhxin) 为轴的平面束方程为为轴的平面束方程为 即即在平面束中找一个平面与平面在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂直垂直，那么依两平面垂直的条件，有的条件，有解得解得 ，于是经过直

8、线，于是经过直线(zhxin) 且与平面且与平面 垂垂直的平面方程为直的平面方程为所求的射影直线所求的射影直线(zhxin)方程为方程为l110,xyzxyz0,xyz 1110, :1:1 l10,yz 0,10.xyzyz 第16页/共33页第十七页，共33页。第17页/共33页第十八页，共33页。（三）常见（三）常见(chn jin)的的曲面曲面柱面方程柱面方程(fngchng)锥面方程锥面方程(fngchng) 旋转曲面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面曲线族生成的曲面直纹曲面直纹曲面第18页/共33页第十九页，共33页。柱面由它的准线和母线柱面由它的准线和母线(mxin)方向所确定方向

9、所确定柱面方程柱面方程(fngchng)第19页/共33页第二十页，共33页。,.xxyyzzlmnF x y zG x y z 图图3.1第20页/共33页第二十一页，共33页。.锥面由它的准线锥面由它的准线(zhn xin)和顶点所确定和顶点所确定锥面方程锥面方程(fngchng)第21页/共33页第二十二页，共33页。 设点设点 不是顶点不是顶点 ,则点则点 在锥面上当且仅当由在锥面上当且仅当由点点 与与 所确定的直线必与准线所确定的直线必与准线 相交于某点相交于某点 ,因此因此(3.2.3), ,P x y z,P x y z,.xxyyzzxxyyzzF x y zG x y z 0

10、P0PPP.第22页/共33页第二十三页，共33页。旋转旋转(xunzhun)曲面方程曲面方程第23页/共33页第二十四页，共33页。 点点 当且仅当存在点当且仅当存在点 ,使得点使得点 位于过点位于过点 的的纬圆纬圆上上, 因此有因此有从上述方程组中消去从上述方程组中消去 ,便得到旋转曲面便得到旋转曲面 的一般的一般方程方程.P x,y,zS1111P x ,y ,z(3.3.1)222222000101010111111111,0,0,0.xxyyzzxxyyzzl xxm yyn zzF x ,y ,zG x ,y ,zP1P111,x y zSP1P0OXYZ第24页/共33页第二十五

11、页，共33页。1222222Czbyax1222222 czbyax1222222 czbyaxzqypx 2222zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq第25页/共33页第二十六页，共33页。22=164xyz3241=0 xyz习题习题4在双曲抛物面在双曲抛物面 上上, 试求平行于平试求平行于平面面 的直母线方程的直母线方程. 解解 族直母线族直母线 的方向向量为的方向向量为依题意依题意,于是于是 是所求的一条直母线是所求的一条直母线.,4242xyxyz1 1,.2 44113240,244 21211xyz42212xyz2(此时此时 ).同法可求出属同法可求出属于于 族的另一

12、条直母线为族的另一条直母线为直纹曲面直纹曲面第26页/共33页第二十七页，共33页。 解解 在已知二直线上分别取点在已知二直线上分别取点 和和 其中其中 是参数，于是动直线方程为是参数，于是动直线方程为因直线因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令与已知双曲线相交，令 ,有有故得故得 ，代入，代入 中得中得 ( , , )c( ,)c, (3.4.8).xyzccxy ,xyxyc . c0z ,(3.4.9),yzc ,()xzc c ,xycz 例例3.4.7 求与两直线求与两直线 与与 均均相交，且与双曲线相交，且与双曲线 也相交的动直线所产生也相交的动直线所产生的曲面方程的曲面方程.消

13、去参数即得所求曲面消去参数即得所求曲面(qmin)方程为方程为.zxyc曲线族生成曲线族生成(shn chn)曲面曲面第27页/共33页第二十八页，共33页。柱面方程柱面方程(fngchng)锥面方程锥面方程(fngchng) 旋转曲面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面曲线族生成的曲面直纹曲面直纹曲面五种常见的二次曲五种常见的二次曲面面第28页/共33页第二十九页，共33页。（四）二次曲面的一般（四）二次曲面的一般(ybn)理论理论坐标坐标(zubio)变换变换利用利用(lyng)旋转变换和平移（绕轴旋转）化简旋转变换和平移（绕轴旋转）化简二次曲面的方程二次曲面的方程 第29页/共33页第三十页，共33页。111213212223313233, , ,i j ki j k ccccccccc1112130212203132330,.xc xc yc zxyc xc yc zyzc xc yc zz23+第30页/共33页第三十一页，共33页。课后作业课后作业(zuy)： P122 1,3,5选做：选做：9第31页/共33页第三十二页，共33页。第32页/共33页第三十三页，共33页。