工学第四章拉普拉斯变换PPT课件

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1、主要内容重点难点定义的引出拉氏正变换的推导拉氏反变换的推导拉氏变换的物理意义拉氏变换的物理意义0-系统第1页/共145页时域分析：) t ( h) t ( f) t ( r) t ( h (零状态响应)频域分析：)()()()()()()()( HFRtrHthFtf 频谱的概念：)(),(1 FnF谱系数， 频谱密度复频域分析： js),s(F)t (f拉氏变换l付氏变换不存在的信号，拉氏变换可能存在；l用拉氏变换求反变换，运算简单。采用拉氏变换的好处第2页/共145页tetf)(拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号) 0( aeat

2、 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于满足狄里赫利条件tetetu)()(aeetattet1cost1cos第3页/共145页对对一一般般信信号号)(tf，乘乘以以衰衰减减因因子子te ，即即tetf )(在在 的的某某范范围围内内（ ）收收敛敛。依依定定义义：令sj dteetfetfFtjtt )()(dtetftj)()( )( jF 则 dtetfsFts拉氏正变换第4页/共145页对对于于 tetf 是是 jF 的的付付里里叶叶反反变变换换 dejFetftjt21两两边边同同乘乘te dejFtftjj21其中 js jdds jj:s:对对 dsesFjtftsjj21拉氏

3、逆变换第5页/共145页 js 具具有有频频率率的的量量纲纲拉氏变换对 jjtstsdsesFjtfLtfdtetftfLsF211上两式为广义的付氏变换，也称为双边拉氏变换： t。实际的信号都是有起因信号，即实际的信号都是有起因信号，即0 t时时 0 tf。在系统分。在系统分析中，感兴趣的是析中，感兴趣的是0 t以后部分的以后部分的 sF复频率 dtetfsFts 0 称为单边拉氏变换。称为单边拉氏变换。第6页/共145页拉氏变换已考虑了初始条件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT)()0()()()()(000sSFfefdtetfetfdtetfsststst 终值初

4、值，若有跳变则为 )(of第7页/共145页主要内容重点收敛域单边拉氏变化的收敛域双边拉氏变化的收敛域一般情况S平面及收敛域的表示第8页/共145页例1:解得：均为解得：均为 s1；说明：说明：不但要找到不但要找到)(sF，还要标出使拉氏变换存在的区域。，还要标出使拉氏变换存在的区域。 tetf ： tf乘以乘以te 增加收敛的可能性，但并不一定增加收敛的可能性，但并不一定全收敛。全收敛。 sRe 在一定的范围内使在一定的范围内使)(sF存在，存在，使使)(sF存在的存在的 s 区区域称为收敛域。域称为收敛域。记为：ROC（region of convergence）第9页/共145页 tet

5、f 取极限取极限 t，对，对0 的所有实数有：的所有实数有： 0lim ttetf ，则拉氏变换存在。收敛域： 0Re s；收敛坐标：0 ，是是与与 tf有有关关的的实实数数s平面： js ，为为一一复复平平面面（s plane）。收敛轴S平面第10页/共145页例1： 02 tetft指指数数衰衰减减 收敛坐标收敛坐标:2020limlimlim0022 ttttttteeeetf第11页/共145页例2： tutf 00,01limlim0 tttteetu例3: 0)( tuetft 00,0limlim ttttteee例4: 0limlim22 ttttteee2)(tetf 例例

6、2，例例 3 都都满满足足条条件件 0lim ttetf ，称称 tf为为指指数数阶阶信信号号。对对于于有有起起因因的的单单边边信信号号，其其单单边边拉拉氏氏变变换换的的收收敛敛域域比比较较简简单单，不不再再注注明明其其收收敛敛域域（隐隐含含）0 j0 j 第12页/共145页全时域信号为实数）为实数） ,(00teteetttp0lim tttee ，则则 00lim tttee ，则则 0 收收敛敛带带第13页/共145页)()()(tuetuetfbtat0)(0)()(dtedtedtetftatbtbabaab,ab收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换第14页/共14

7、5页 基本信号的单边拉氏变换一.阶跃函数 sesdtetuLstst1011)(0 二.指数函数 ssedteeeLssttt 100三.有限长信号 其他其他00)(Ttetft TsTsttesdteesF 110第15页/共145页四.nt（n 为为正正整整数数） 01dtettLnst21011sessst 0dtettLstnn 01010dtetsndtetsneststnstnstn 1 nntLsntL 01sttdes 001dteetsstst 3222122ssstLstL 43236233ssstLstL 即即 1!: nnnsntLt第16页/共145页五.单位冲激信号

8、 10 dtettLsts域全平面收敛 0000ststedtettttL 常用函数的拉氏变换表可查用。第17页/共145页常用信号的拉氏变换S1)(tuat as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste)(tu第18页/共145页主要内容重点难点第19页/共145页拉氏变换与傅氏变换的关系dtetftj)(因果 0乘衰减因子tedtetftj0)()(js0)(dtetfstdtetfst)(jsdtetftj)()(00)(0tft第20页/共145页从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号0)(0tft)(tueataat)(tf0) 1 (0assF1)(傅氏变换不存在，拉氏变换存在j第

9、21页/共145页从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号0)(0tft0)2(0)(tft)(tueataajassF1)(ajjF1)(js 第22页/共145页从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号0)(0tft0)3(0存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。)(tussF1)()(1)(jjFnnnjsksFjF)()()(js K1=1第23页/共145页从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换)(.sin0tut)(.sin)(0tuttfLT2020)(ssFnnnjsksFjF)()()(00202022)(jsjjsjssF)()(2)(002200jjF2020)()(jj

10、FK2K1第24页/共145页主要内容重点难点线性 时移性单边周期信号的拉氏变换卷积定理频移特性尺度变换特性时间微分性质时间积分性质初始值定理终值定理复频域微分复频域积分卷积定理尺度变换特性时移性初始值定理第25页/共145页拉氏变换的基本性质（1）线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分)0()( fsSF积分tdf)(sfssF)0()(时移)()(00ttuttf)(0sFest频移atetf)()(asF第26页/共145页拉氏变换的基本性质（2）尺度变换)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst终值定理)(lim)()(lim0sSFf

11、tfst卷积定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFj第27页/共145页线性若若)()(11sFtf，)()(22sFtfC1,C2为任意常数，则为任意常数，则)()()()(22112211sFCsFCtfCtfC 例： tjtjeettf0021)cos()(0 202001121 ssjsjs同理：20200001121sin sjsjsjt第28页/共145页时移性设设 )()()(sFtutf 则则 0)()()(00stesFttuttf 注意：有起因信号的时移，注意：有起因信号的时移，连根拔，向连根拔，向)(tu靠

12、拢靠拢21s021stes sts1102 证明自学第29页/共145页例)2()( tuetft)2()2(2 tueetsesesF221)( 第30页/共145页【例】周期矩形脉冲信号的拉氏变换。【例】周期矩形脉冲信号的拉氏变换。【解解】设设 )(0)0()(1TttEtf ,第31页/共145页1)用定义求：用定义求：)1()(01 sstesEdteEsF 2)时移性质：时移性质： )()()(1 tutuEtf sesEtEusEtEu )(,)( )1()(1 sesEtf 第32页/共145页 )2()()()(111TtfTtftftfTsTsTsTsTsTTesFeesFe

13、sFesFsFsF 11)()1)()()()()(1212111第33页/共145页单边周期信号的拉氏变换(续)周周期期矩矩形形脉脉冲冲的的拉拉氏氏变变换换： sTssTssTeeSEeesEesFsF 1111111)()(1 一般来说，一般来说， sF中中分子含分子含 se 项，项，时延因子时延因子分母中含分母中含sTe 1项，项，周期化因子周期化因子第34页/共145页求周期信号的拉氏变换例1：)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(2sinTtututT22)1(2SeTLTT222211)1(2TSeSeT信号加窗第一周期第35页/共145页抽样信号的拉氏变换 抽抽样样信

14、信号号的的（单单边边）拉拉氏氏变变换换 用用)(tT 抽样时只需单边信号：抽样时只需单边信号： 0)()(nTttT 1)( sFt sTTetL 11)( 000)()()()(nnsTstsenTfdtenTtnTftfL 第36页/共145页抽样信号的拉氏变换(续)抽样信号的抽样信号的 sFS可表示为可表示为 s 域的级数。域的级数。不是等比级数，因为不是等比级数，因为 nTf依依nT不同而不同：不同而不同： 000)()()()(nnsTstsenTfdtenTtnTftfL 若若tetf )(则则nTsnnTsnnTseenTtetf)(0)(011)()( 第37页/共145页频移

15、特性例例：求求tet0cos 的的拉拉氏氏变变换换。【解】已知：【解】已知： 2020cos sstL 2020cos sstet同同理理： 20200sin stet第38页/共145页尺度变换特性a0时时移移和和标标度度变变换换都都有有时时，abseasFabatf )(1)(注注意意： batf 的的含含义义是是 batubatf ，如如果果不不是是 batu ，需需向向其其靠靠拢拢。第39页/共145页已知：已知：)()4cos(2)()(tutttf ，求，求 sF)(sin)(cos)()()4sinsin24coscos2()()(tuttutttuttttf 222211111

16、sssssssF 【解】例第40页/共145页时间微分性质设)()(sFtf，则)0()()( fssFdttdf 证明：用定义dtedttdfst 0)(ststedtfetf 00)()(dtetfsfst 0)()()0()0()()( fssFdttdf分部积分0)(lim sttetf第41页/共145页时间微分性质(续)推广： )0()0()()0(0)(22 fsfsFsffssFsdttdf 10)(1)0()()(nrrrnnnfssFsdttdf 式中， 0)()0(ttff， 0)()()()0(trrtff 若 tf为有起因信号，即0 t时， 0 tf，且无原始储能，即

17、0)0()0( ff则)()(ssFtf ，),()(2sFstf 第42页/共145页 tf的拉氏变换 sdteesFstt1)(0例1已知 )0(001)( tettft，求 tf及其一阶导数的拉氏变换。(1)用定义 00)(2)(tetttft sdteettftst 2)(2)(0(2)用性质1)0(, 1)0( ff sssssfssFtf22)1(1)0()()(第43页/共145页例2求电感元件的s域模型)(tiL)(tvLL设)()(sItiLL，)()(sVtvLL,dttdiLtvLL)()( 应用时间微分性质： )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILs

18、V第44页/共145页时间积分性质第45页/共145页例设)()(sItiCC，)()(sVtvCC tcCdiCtv )(1)()0(1)(1)0()(1)()1()1( CCCCCisCsIsCsissICsV)0()(1)0(10)1( CCCvdiCiC )0(1)(1)( CCcvssIsCsV第46页/共145页若)()(sFtf则)()0()(limlim0ssFftfst 初始值定理证明见书注意：注意：若若 sF不为真分式，则应变成真分式不为真分式，则应变成真分式 ksFsF )()(1 )0()()()(limlimlim0 ftfksssFksFstss sF中有常数项，说

19、明 tf项中有 t 项。 ssF相当于)(tf 的拉氏变换， tf的微分中有)(t 项，其拉氏变换为 ks 补充！第47页/共145页例1ssF1)( ，求?)0( f解：1)()()0(limlim0 ssFtffst 即单位阶跃信号的初始值为1第48页/共145页例212)( sssF，求?)0( f解： 12212 ssssF ssssksssFfss2)12()()0(limlim211212limlim sssss 2)0( f， tf中有)(2t 项。第49页/共145页终值定理设dttdftf)(),(的拉氏变换存在，若)()(sFtf，则)()(lim0 fssFs证明见书，自

20、学终值存在的条件：F(s)在右半平面和 j（原点除外）轴上无极点。 为什么？第50页/共145页复频域微分若)()(sFtf，则sdsFdtftnnnn)()1()( 证明： 0)()(dtetfsFst两边对s微分： 0)()()(dtettfdssdFst 0)()(dtetftst )(ttfL dssdFttf)()( 对 s 微分n次，则得nnnndssFdtft)()1()( 第51页/共145页复频域积分若)()(sFtf， 则 sdssFttf)()(证明： 0)()(dtetfsFst两边对s积分： sstsdsdtetfdssF0)()(交换积分次序dtettfdtettf

21、dtdsetftsstssts 000)(1)()(第52页/共145页卷积定理 )()()()(2121sFsFtftfL )()(21)()(2121sFsFjtftfL （注意与付氏变换区别） 第53页/共145页主要内容重点难点拉氏逆变换的三种方法部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之一：实数单极点部分分式展开法情况之二：极点为共轭复数部分分式展开法情况之三：高阶极点两种特殊情况部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之三：高阶极点第54页/共145页拉氏逆变换的三种方法(1)部分分式法 (亥维赛德展开定理)(2)留数法回线积分法(3)数值计算方法计算机第55页/共14

22、5页F(s)的一般形式01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm a,b为实数，m,n为正整数。当mn，F(s)为有理真分式)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解零点极点第56页/共145页部分分式法求拉氏逆变换的过程 找出找出 F(s)的极点的极点 将将 sF展成部分分式展成部分分式 查拉氏变换表查拉氏变换表 tf第57页/共145页第一种情况：实数单极点)()()()(21npspspssAsF p1, p2, p3 pn为不同的实数根。 )()()(2211nnpskpskpsksF 求出求出

23、k1, k2, k3 kn，即可将，即可将 sF展开为部分分式。展开为部分分式。为确定系数ki，两边乘以因子s-pi，再令s=pi。右边仅留下ki一项.ki=(s-pi)F(s)s=Pi第58页/共145页6116332)(232 ssssssF(1)找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式 321321 sksksksF362511)( ssssF根据根据 set1（单边）（单边）得得 )(65)(32tueeetfttt 求系数(3)逆变换第59页/共145页如何求系数k1, k2, k3？逆变换对等式两边同乘以s+1，且令s=-1右边右边()sksksksks

24、112312311左边左边1)()1( ssFs1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss11 k同理, 5)()2(22 ssFsk6)()3(33 ssFsk第60页/共145页另一种求ki的方法当当ips 时，时，(s-pi)及及 B(s)均为零均为零 )()()(sBsApsi 将成为不定式将成为不定式 0/0 由罗必塔法则，得由罗必塔法则，得 )()()(limsBsAsskipsii )()()()(limsBsAsAsskipsiiisssBsA )()(第61页/共145页第二种情况：极点为共轭复数)84)(1(73)(22 ssssssF例：极点： jjpjjpp

25、22,22, 1321P2, P3为共轭复数 )22)(22)(1(732jsjsssssF 22221321jskjsksk 求系数1)84)(1(73)1(1221 sssssssk2222224141)84)(1(73)22( jjsejsssssjsk 234141 jejk *23kk 第62页/共145页逆变换2241224111)(jsjjsjssF )(4141)()22()22(tujejeetftjtjt )()(41222tueejeetjtjtt )(2sin212tuteett )(22cos212tuteett 第63页/共145页方法2利用22000)(sin s

26、tet841)(2 sscBssAsF通分，分子比较系数，同阶次系数相同 222)2(111 sssF222)2(22111 ss2, 20 )()2sin21()(2tuteetftt 2)2)(1()2()1(2)2(2222 ssCsBssA 7283341CBACBABA 101CBA第64页/共145页第三种情况：高阶极点例：232122)1(12)1)(2()( skskskssssFk1,k3求解方法同第一种情况：4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk32 k2)1(11324)( ssssF )(34)()(21tuteeesFL

27、tfttt 一般情况第65页/共145页如何求k 2 ?设法使部分分式只保留k2，其它分式为0对原式两边乘以(s+1)232222)1(2)1(2ksksksss 令令1 s时，只能求出时，只能求出 k3=1，若求，若求 k2，两边再求导。，两边再求导。右右 3212)1(2)1(kkssksdsd0)2()1()2)(1(222211 ksskkss左左= )()1(2sFsdsd 22222)2(4)2()2(22 sssssssssdsd此时令s=-1右右=k2左左3)2(4122 ssss32 k逆变换第66页/共145页一般情况211311121111)()()()()( kkkkp

28、skpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求 k11，方法同第一种情况：，方法同第一种情况：1)()(111psksFpsk 求其它系数，要用求其它系数，要用 1)()!1(1111psiiisFdsdik , i=1,2,3k 当当 i=2,1)(112pssFdsdK 当当 i=3,1)(2112213pssFdsdK 第67页/共145页两种特殊情况非真分式-化为真分式多项式含e-s的非有理式第68页/共145页非真分式真分式多项式例：61161531258)(23234 ssssssssF作长除法)(261163322)(1232sFssssssssF )(2)(

29、21ttsL )()65()(3211tueeesFLttt )(65)(2)()(32tueeetttfttt 第69页/共145页含e-s的非有理真分式e-s项不参加部分分式运算，用时移性质例：ssesFssse2122)(52 4)1(14)1(14)1()(2221 ssssssF )(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt )(2sin2cos221tuttet 0)()(0stesFttf sesFLtf211)()( )2()2(2sin)2(2cos221)2( tuttet第70页/共145页4.7 4.7 瞬态分析的拉普拉斯变换法瞬态分析的拉普拉斯变换

30、法主要内容重点微分方程的拉氏变换利用元件的s s域模型求解瞬态电路例1 1例2 2例3 3例4 4例5(5(含互感) )例6 6例7 7 例8 8利用元件的s s域模型求解瞬态电路第71页/共145页一一.用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列列 s 域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的 s 域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。 求解求解 s 域方程。域方程。 )()(tfsF，得到时域解答。，得到时域解答。 第72页/共145页二二. .微分

31、方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换)0()()( fssFdttdf )0()0()()0(0)(22 fsfsFsffssFsdttdf)()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn 微分方程的一般形式拉氏变换的微分性质第73页/共145页例1:解：求求?)( tuc(1)求起始状态Euc )0(2)列方程)()()(tetudttduRCcc (3)等式两边取拉氏变换(单边)： sEsUussURCccc )()0()(已已知知 0,0,)(tEtEte,求求?)( tuc求求?

32、)( tuR- -+ +)(teRC )(tuC )(tuR)(tiC第74页/共145页(4)求反变换 RCssEsUc121)()(2)(tuEeEtuRCtc 第75页/共145页求uR(t)(1)EuuRR2)0(, 0)0( (2)以以)(tuR为变量列微分方程为变量列微分方程)()()(1 tetudtRtuCRtR (3)对上式两边进行微分对上式两边进行微分dttdedttdutuRCRR)()()(1 )()()(tEutEute )(2)(tEdttde (4)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换EussUsURCRRR2)0()()(1 00 RuRCsEsUR

33、12)( )(2)(tuEetuRCtR 第76页/共145页采用0+系统求uR(t) dttdedttdutuRCRR)()()(1 EuR20 0)( dttde原方程取拉氏变换：02)()(1 EssUsURCRR两种方法结果一致第77页/共145页三三. .利用元件的利用元件的s s域模型求解瞬态电路域模型求解瞬态电路1.电路元件的s域模型电阻：RsIsURR )()(RsUsIRR)()( 电感：)0()()( LLLLiLssIsU)0(1)()( LLLisLssUsIdttdiLtuLL)()( 第78页/共145页电容元件的电容元件的s s域等效模型域等效模型)0(11)()

34、( CCCussCsIsU)0()()( CCCCussCUsI tcCdiCtv )(1)(第79页/共145页2.2.电路定理的推广电路定理的推广)()(sIti)()(sUtuKCL： 0)(0)(sItiKVL： 0)(0)(sUtu线性稳态电路分析的各种方法都适用第80页/共145页3.3.求响应的步骤求响应的步骤 画画 0等效电路，求起始状态等效电路，求起始状态 画画 s 域等效模型域等效模型 列列 s 域方程域方程（代数方程）（代数方程） 解解 s 域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换 U(S)或或 I(S) 拉氏反变换求拉氏反变换求 tv或或 ti。第81页/共

35、145页4.4.例例2 2)()()(tEutEute EuC )0(列s域方程：sEsEsCRsIC )1)()1(2)(sCRsEsIC sEsCsIsUCC 1)()(RCsEsEsUC12)( )()1()(tueEtuRCtC 第82页/共145页5.例3如如图图 R、L、C 串联电路，串联电路，已知已知, 0)0(, 0)0( CLui求求?)( tuR解：(1)画出s域电路模型(2)列s域方程)15 . 01(1)(2ssssI 1)1(11)1(111)()(22 sssssIsURR )(sincos1)(tuttetutR 第83页/共145页6.例4如如图图电电路路，,1

36、,12121HLLRR 开开关关在在 t=0 时时闭闭合合，求求0 t时时的的)(2tu。(1) t=0 时时 ，画画出出 0等等效效电电路路Aii2)0(, 0)0(21 (2) 0t，画出，画出 S 域电路模型域电路模型(3 )列列 方方 程程 ： 221122sLRsLRsIs 第84页/共145页反变换？反变换？2. t 1. t )(11122)(2sIsssssI 121)0()()(2222 iLssIsU)()(2ttu )(1)()(112tusLsILti )()()(22tdttdiLtu 第85页/共145页7.7.含互感的电路含互感的电路 dttdiMdttdiLtu

37、2111 dttdiMdttdiLtu2111 对方程两边进行拉氏变换 00221111iSsIMissILsU 00112222issIMissILsU第86页/共145页8.例5求求0 t时的时的 tutik,1(1)画出画出 0t时的等效电路时的等效电路 Aii100021 (2)0 t时的时的 s 域电路图域电路图(3)列方程列方程 ssIMiLis42400100121 第87页/共145页9.例6已已知知 tutfvuAiCl2,20,10 ,求求 ty画出画出0 t的的 S 域等效电路模型如下图域等效电路模型如下图列节点电压方程：列节点电压方程： 111212111 sLsCss

38、sUsLsCC第88页/共145页主要内容重点难点系统函数LTILTI互联的系统函数并联级联反馈连接系统函数反馈连接第89页/共145页系统的表征：1.微分方程 2.冲激响应：h(t)3.系统函数：H(j )在s域中，单输入单输出情况下，系统的零状态响应当系统的零状态响应：第90页/共145页 系统函数 的定义： 定 义 ： 系 统 零 状 态 响 应 的 拉 氏 变 换 与 激 励 的 拉 氏 变 换 之 比 叫 系 统 函 数 或 网 络 函 数 。)(sH)()()(sEsRsH第91页/共145页2.2.H(s)H(s)的几种情况的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时)()()(

39、11sVsIsH 策动点导纳)()()(11sIsVsH 策动点阻抗转移函数：激励和响应不在同一端口)()()(12sVsIsH )()()(12sIsVsH )()()(12sVsVsH )()()(12sIsIsH 第92页/共145页(2)零状态下，由s域电路模型，列s域方程， sEsRsH (3)设输入为 (t)，零状态下微分方程两端取拉氏变换 sEsRsH sHth(1)第93页/共145页4.例题给定系统微分方程：dttdedttedtrdttdrdttrd)(6)(2)(6)(5)(2222 激励信号)()1()(tuetet 求系统的冲激响应求系统的冲激响应)(th及零状态响应

40、及零状态响应)(trzs解：(1)原方程两端取拉氏变换(设输入为 (t),零状态下): sssEsssR62)(65)(22 则：24222)( ssssH)(4)(2)(2tuettht (2)1(1222)( ssssssRZS1226)1)(2()12(2 sssss第94页/共145页5.5.练习练习已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。解： 313111 ssssH sEsRsH sEsRssR 3)()(3)(tetrdttdr 第95页/共145页二.LTI互联的系统函数1.1.两个两个LTILTI系统的并联系统的并联 ththth21)()()(21

41、sHsHsH 2.2.两个两个LTILTI系统的级联系统的级联)()()(21ththth )()()(21sHsHsH 第96页/共145页3.3.两个两个LTILTI系统的反馈连接系统的反馈连接)()()(21sEsEsE )()()(22sHsRsE )()()()(21sEsEsHsR )()()()(211sEsHsEsH )()()()()(211sRsHsHsEsH 第97页/共145页主要内容重点难点第98页/共145页主要优点： 1.可以预言系统的可以预言系统的时域特性时域特性； 2.便于响应的便于响应的划分划分（自由（自由/强迫，瞬态强迫，瞬态/稳态）；稳态）； 3.可以用

42、来说明系统的正弦稳态特性；可以用来说明系统的正弦稳态特性； 4.描述系统的描述系统的频响特性；频响特性； 5.便于系统便于系统稳定性稳定性的研究。的研究。第99页/共145页)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH nkkmjjpszsK11)()(:,21nzzz 系统函数的零点系统函数的零点:,21nppp 系统函数的极点系统函数的极点在在 s 平面上，画出平面上，画出H s ( )的零极点图：的零极点图：极点：用表示，零点：用极点：用表示，零点：用表示。表示。第100页/共145页)2)(2()1()11)(11()(2jsjss

43、jsjsssH 极点：2, 2, 14321jpjppp 零点： 4321, 11, 11, 0zjzjzz jj 1j 12j 2j1 画出零极图：第101页/共145页设设)(sH无高阶极点，展开部分分式：无高阶极点，展开部分分式：nnpsKpsKpsKsH 2211)()()(1sHLth )()()(2121tueKtueKtueKtpntptpn 极极点点nppp 21,具具有有频频率率的的量量纲纲，称称为为固固有有频频率率或或称称为为自自然然频频率率。因因为为)(sH的的零零、极极点点决决定定于于系系统统本本身身的的特特性性。第102页/共145页三、 由系统函数的极零点分布决定

44、时域特性（1）时域特性h(t)niimjjpszsksH11)()()(反变换niinitpiniiithekpskLthi1111)()(第 i个极点决定总特性Ki与零点分布有关第103页/共145页（2） 几种典型的极点分布(a)一阶极点在原点j01pSsH1)(t)(th)()(tuth第104页/共145页(b)一阶极点在负实轴j0SsH1)(t)(thteth)(te1p第105页/共145页(c)一阶极点在正实轴j0SsH1)()(tht0teth)(te1p第106页/共145页(d)一阶共轭极点在虚轴上j01j1j2121)(SsH)(.sin)(1tuttht)(th01p2

45、p第107页/共145页j01j1j212)(SSsH)(.cos)(1tutth(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点t)(th01p2p第108页/共145页(f)共轭极点在左半平面j01j1j2121)()(SsH)(.sin)(1tutethtt)(th02p1p第109页/共145页(g)共轭极点在右半平面j01j1j2121)()(SsH)(.sin)(1tuttht)(th01p2p第110页/共145页（3） 有二重极点分布(a)在原点有二重极点j21)(SsH)(tht0tth)(第111页/共145页j2)(1)(SsH)(tht0tteth)(b)在负实轴上有二重极点第11

46、2页/共145页(c)在虚轴上有二重极点j2212)(2)(SSsH)(tht0ttth1sin)(第113页/共145页（3） 有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点j2212)()(2)(SSsH)(tht0ttetht1sin)(1j1j第114页/共145页极点影响小结：极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋势极点落在右半平面 h(t)逞增长趣势极点落在虚轴上只有一阶极点 h(t) 等幅振荡，不能有重极点极点落在原点 h(t)等于 u(t)第115页/共145页（4） 零点的影响221)()(asassH222)()(asssH0ztethatcos)()()cos(1)(12at

47、gtaethat0z零点移动到原点第116页/共145页（4） 零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率tethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat幅度多了一个因子多了相移第117页/共145页第118页/共145页)()(sEte vkkueePszssE11)()()()()(sHth niimjjPszssH11)()()()()(sRtr vkkueeniimjjPszspszssR1111)()()()()( vkkkniiipsApsAsR11)( vktpknitpitueAtueAsRLtrki111)()()()(第119页/共14

48、5页自由响应与强迫响应niimjjvkkullpszspszssHsEsR1111)()(.)()()().()(vkkkniiipskpsksR11)(tpvkknitpikiekektr11)(来自H(s)的极点来自E(s)的极点自由响应强迫响应第120页/共145页结论 H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响 K i , K k 系数 E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s) 无关 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。第121页/共145页暂态响应与稳态响应 系统H(

49、s)的极点一般是复数，讨论它们实部和虚部对研究系统的稳定性很重要 不稳定系统 增幅 临界稳定系统 等幅 稳定系统 衰减0Reip0Reip0Reip第122页/共145页激励E(s)的极点影响 激励E(s)的极点也可能是复数 增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统某零点相抵消 等幅，稳态 衰减趋势，暂态0Rekp0Rekp0Rekp第123页/共145页稳态响应和暂态响应 对于稳定系统：H（S）极点的实部都小于0 自由响应就是暂态响应 若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，强迫响应就是稳态响应 正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫响应 若激励本身为衰减函数，强迫响应与只有响应一起组成暂态响应

50、，稳态响应为0第124页/共145页响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强制响应分量。自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关。响应也可划分为暂态响应和稳态响应。各响应的系数与E(s)和 H(s)都有关。第125页/共145页定义若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的；如果对于有界激励产生无限增长的响应，则系统是不稳定的。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号无关。定与激励信号无关。第126页/共145页从时域看，要满足从时域看，要满足0)(lim tht从从频频域域看

51、看要要求求 sH的的极极点点： 右右半半平平面面不不能能有有极极点点(稳稳定定) 虚虚轴轴上上极极点点是是单单阶阶的的(临临界界稳稳定定,实实际际不不稳稳定定)。第127页/共145页1稳定系统若若 sH的全部的全部极点位于极点位于 s 平面的左半平面平面的左半平面0 （不包括虚（不包括虚轴） ，则可满足轴） ，则可满足0)(lim tht sH在在 s 平面的右半平面一阶极点或在平面的右半平面一阶极点或在 s 平面的虚轴上有二阶平面的虚轴上有二阶（或以上）极点，（或以上）极点， (含含nt因子因子) )(limtht sH极点在极点在 s 平面的虚轴上，平面的虚轴上， )(,tht 为等幅振

52、荡。为等幅振荡。第128页/共145页0,1 pps稳定0, 012 qpqpss稳定第129页/共145页所所谓谓“频频响响特特性性”是是指指系系统统在在正正弦弦信信号号激激励励下下稳稳态态响响应应随随频频率率的的变变化化情情况况。前前前前提提提提：稳稳稳稳定定定定的的的的因因因因果果果果系系系系统统统统 0lim tht sH的全部极点落在的全部极点落在 s 左半平面。左半平面。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统，其收敛域包括虚轴。拉氏变换存在傅立叶变换存在第130页/共145页H(s)和频响特性的关系 jssHjH | )()( )(| )(| jejHjH jH幅频响应特性 相频响

53、应特性第131页/共145页根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线 niimjjjsniimjjjspjzjKPszsKsHjH1111 可见可见 jH的特性与零极点的位置有关的特性与零极点的位置有关令分子中每一项令分子中每一项 j-jzjjjeN 分母中每一项分母中每一项 j-iPijieM 将将 j和和jz、 j和和ip都看做两矢量之差，将矢量画于复平面内：都看做两矢量之差，将矢量画于复平面内：零点：零点： jjjjeN +jz极点： jijieM +ip第132页/共145页画零极点图 0jz jjNj 零点：零点： jjjjeN +jz极点： jijieM +ip jiMipjzjN

54、j i 0第133页/共145页矢量随频率的变化 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 jiMipjzjNj i 0 j是滑动矢量，是滑动矢量， j矢量变，矢量变， 则则jz、j 和和ip、i 都发生变化。都发生变化。 jHnmjnjjjmjjeMeMeMeNeNeNK 21212121 nmjnjmeMMMeNNNK 21212121

55、 jH=nmMMMNNNK2121 nm 2121 第134页/共145页例：确定图示系统的频响特性。sC1R sU1 sU2解： RCRRsUsUsH1)()(12 RCsssH1)( 11111 jjeMeNRCjjjH 零点：零点：01 z极点：极点：RCp11 0 RC1 j1M1N1 1 第135页/共145页频响特性分析 jH221 RC 121100 jHjHRCjH024681000.51 CRtg 12 04120 RC024681000.511.520 RC1 j1M1N1 1 第136页/共145页例：已知 试求当时的幅频和相位1221)(23ssssH11M11 j01

56、45414. 1M)231)(231)(1(1)(jsjsssH2M1 j202215517. 0M3M31 j03375932. 1M 0000321135)751545(1211) 1(jMMMjH第137页/共145页七 一阶系统的S平面分析已知该系统的H(s)的极零点在S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线第138页/共145页（1）一阶系统 一零点，一在实轴的极点 一在原点的零点，一在实轴的极点 只有无穷远处的零点一在实轴的极点11)(pszsKsH1)(pssKsH1)(psksH第139页/共145页例：求一高阶系统的频率特性+U1 +U2CRRCssscRRsUs

57、UsH11)()()(12MN-1/RC)()(jeMNjH第140页/共145页01, 0, 0MNRCMN212011,45, MNMNRCRCRC， 12UURC10900450, 1,MN第141页/共145页例： 求一阶低通滤波器的频率特性RC+U1_+U2_RCsRCRUUsHCsCs11.1)(1112M没有零点RC1j)(11)(jeMkjH第142页/共145页11, 012UURCM0124521,2,1 UURCMRC012900, UUM12UURC1幅频特性045090RC1相位特性第143页/共145页作业 41 42 43（4） 44（2）（4）（7）（18）（20） 45（2）410（b） 420（a） 421 422 427 432 439 445第144页/共145页感谢您的观看。第145页/共145页