定积分计算技巧

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1、-1. 定积分的几何意义例1.=_解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()与轴所围成的图形的面积故=2. 利用积分不等式例1.求, 为自然数解法 利用积分不等式因为 ,而,所以 例2.求解法 因为，故有于是可得又由于因此=3.利用被积函数的奇偶性求定积分例1. 计算分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性解 =由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是=由定积分的几何意义可知, 故 例2. 计算.解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4.设f(*)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上由于于是例1.设表示距离*最近整数的距离，

2、计算解 由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理例1. 求, 为自然数解法 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得, ,当时, , 而, 故例2.求解法 由积分中值定理 可知=，又且，故6.利用适当变量变换求定积分例1. 设f(*)在0，1上连续，计算解 设于是得例2.设函数f(*)在满足且，计算解法一解法二 当时，于是例46 设解 原式7.利用定积分公式公式1：设f(*)在0,1上连续，则事实上移项两边同除以2得.公式2： 记于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4 . 证 例54 证明.证公式5设f(*)在0,1上连续，则.证 由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是公式6证 公式7.证 例1. 计算.解 利用方法7得原式. z.