二次函数考点知识点例题全

word 二次函数命题点年份各地命题形式考查频次2015考查方向二次函数的图象和性质2014某某T12填填空1个近3年考查2次，主要考查对图象的认识与性质的理解，预计2015年考查的可能性较大.2013某某T9选选择1个确定二次函数的解析式2014某某T23解,某某T24解解答2个高频考点：近3年考查12次，主要考查求二次函数的解析式，一般出现在压轴题中，预计2015年考查的可能性很大.2013某某T23解，某某T24解，某某T23解，某某T25解，某某T23解，普洱T23解，德宏T23解，红河T23解，西双版纳24解解答9个2012某某T23解解答1个考点1 二次函数的概念 一般地，形如(a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点2 二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)aa0a0图象开口方向抛物线开口向，并向上无限延伸抛物线开口向，并向下无限延伸对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标(-，)(-，)最值抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值=抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值=增减性在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x- a时，y随x的增大而，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x-时，y随x的增大而，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点3 二次函数的图象与字母系数的关系字母或代数式字母的符号图象的特征aa0开口向|a|越大开口越a0开口向bb=0对称轴为轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴侧cc=0经过c0与y轴半轴相交c0与y轴半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有交点(顶点)b2-4ac0与x轴有不同交点b2-4ac0与x轴交点特殊关系当x=1时，y=当x=-1时，y=假如a+b+c0，即当x=1时，y0假如a+b+c0，即当x=1时，y0考点4 确定二次函数的解析式方法适用条件与求法一般式假如条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，如此可设所求二次函数解析式为.顶点式假如二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为.交点式假如二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为.【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.考点5 二次函数与一元二次方程以与不等式之间的关系二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2bxc的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2bxc=0的根.二次函数与不等式抛物线y=ax2bxc在x轴上方的局部点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的局部点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2bxc0的解集.考点6 二次函数的应用利用二次函数解决实际问题的步骤1通过阅读理解题意；2分析题目中的变量与常量，以与它们之间的关系；3依据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式；4根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值X围；5利用二次函数的有关性质，在自变量的取值X围内. 1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移、“纵坐标加减上下移的方法进展.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有一样的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点1 二次函数的图象和性质例1 (2013·某某)二次函数yax2bxca0的图象如下列图，如此如下结论中正确的答案是( )2bxc0的一个根C.abc0 D.当x1时，y随x的增大而减小方法归纳：解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项.1.2014·某某如果将抛物线yx2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( )A.yx21 B.yx21 C.y(x1)2 D.y(x1)22.2012·某某对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，如下说法正确的答案是( )A.图象的开口向下 B.当x>1时，y随x的增大而减小C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=13.2014·某某抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.4.2014·某某如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于1，0，3，0两点，如此它的对称轴为.5.2014·滨州二次函数y=x2-4x+3.1用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；2求函数图象与x轴的交点A，B的坐标A在B的左侧，与ABC的面积.命题点2 二次函数的图象与系数的关系例2 抛物线y=ax2+bx+ca0的图象如下列图，如此如下说法正确的答案是( )2-1 D.a-b+c0方法归纳：解决此类问题应当了解a,b,c,=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=.1.(2014·黔东南)如图，二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如下列图，如下4个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；b2-4ac0.其中正确结论的有( )A. B. C. D.2.(2014·某某)二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图，如此如下结论中正确的答案是( )A.c-1 B.b0 C.2a+b0 D.9a+c3b3.2014·某某二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，如此如下表示正确的答案是( )A.abc0 B.-3a+c02-4ac0 D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c命题点3 确定二次函数的解析式例3 2013·某某如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点.1求该二次函数的解析式；2结合函数的图象探索：当y>0时x的取值X围.【思路点拨】1通过正方形的边长得出点，的坐标，然后代入函数解析式列方程求解；求出函数图象与x轴的交点坐标，结合图象求解.【解答】方法归纳：求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算.1.2013·某某二次函数图象的顶点坐标为1，-1，且经过原点0，0，求该函数的解析式.2.2014·某某如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A2,0，B0，-1和C4,5三点.1求二次函数的解析式；2设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；3在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么X围内时，一次函数的值大于二次函数的值.1.2013·某某抛物线y=2x-32+1的顶点坐标是( )A.3，1 B.3，-1 C.-3，1 D.-3，-12.2014·宿迁假如将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，如此所得抛物线的解析式为( )A.y=(x+2)2+3 B.y=(x2)2+3 C.y=(x+2)23 D.y=(x2)233.2013·某某设A-2，y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，如此y1,y2,y3的大小关系为( )1y2y3 1y3y2 3y2y1 2y1y34.(2014·东营)假如函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-25.2014·某某抛物线y=2x2，y=-2x2,y=x2共有的性质是( )6.2014·某某二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如下列图，如此函数值y0时，x的取值X围是( )A.x-1 B.x3 C.-1x3 D.x-1或x37.2014·某某对于二次函数y=x-12+2的图象，如下说法正确的答案是( )8.2014·某某如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B0，-2.它与反比例函数y=的图象交于点Am，4，如此这个二次函数的解析式为( )A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+29.2013·某某二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，对称轴是直线x=1.如下结论：abc0，2a+b=0，b2-4ac0，4a+2b+c0.其中正确的答案是( )A. C. D.10.2014·某某抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.11.2013·请写出一个开口向上，并且与y轴交于点0，1的抛物线的解析式.12.函数y=-3(x-2)2+4，当x=时，函数取得最大值为.13.2013·某某点A2，y1,B3，y2是二次函数y=x22x1的图象上两点，如此y1与y2的大小关系为y1<y2填“或“=.14.(2014·某某)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，如此该厂今年三月份新产品的研发资金y元关于x的函数关系式为.15.(2013·某某)如图，抛物线y=a(x1)2x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.点A的坐标为1,0.1求抛物线的解析式；2求梯形COBD的面积.16.2014·龙东如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A3,0和B1,0两点，交y轴于点C，点C,D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B,D.1请直接写出D点的坐标；2求二次函数的解析式；3根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值X围.1.2014·荆州将抛物线yx26x5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y(x4)26 B.y(x4)22 C.y(x2)22 D.y(x1)232.2014·黔东南抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为m，0，如此代数式m2-m+2 014的值为( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 0153.2014·某某函数y=与y=ax2(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4.2014·某某函数y=-x-mx-n其中mn的图象如下列图，如此一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是( ) 5.2014·凉山如下图形中阴影局部的面积相等的是( )A. B. C. D.6.2014·枣庄二次函数y=ax2+bx+c的x,y的局部对应值如下表：x-10123y51-1-11如此该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x=7.2014·某某二次函数y=ax2+bx+c(a0)的局部图象如下列图，图象过点1，0，对称轴为直线x=2,如下结论：其中正确的结论有( )4a+b=0;9a+c3b;8a+7b+2c0;当x1时，y的值随x的值的增大而增大.8.2014·某某如图，抛物线的顶点为A1，4,抛物线与y轴交于点B0，3，与x轴交于C,D两点.点P是x轴上的一个动点.1求此抛物线的解析式;2当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.9.(2014·某某)某种商品每天的销售利润y元与销售单价x元之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.1销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？2销售单价在什么X围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案考点解读y=ax2+bx+c 上 下 减小 增大 增大 减小 上 下 小y 左 右 原点 正 负 唯一 两个不同 没有 a+b+ca-b+c y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) x横 各个击破例1B 解析：根据抛物线的开口向下，可判断a0，故A错误；由抛物线与x轴的交点-1,0)和对称轴x=1可知抛物线与x轴的另一个交点是3,0，故B正确；由当x=1时，y=a+b+c0，故错误；从图象即可看出，当x1时，y随x的增大而增大，故错误.应当选B.题组训练1.C 2.C3.(1,2)4.直线x=25.(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,其函数的顶点C的坐标为2，-1，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大. (2)令y=0,如此x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3,A1，0，B3，0，AB=|1-3|=2.过点C作CDx轴于D，如此ABC的面积=AB·CD=×2×1=1.例2C解析：由图象与x轴有2个交点可判断错误；根据图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断a0，-1，c0，即abc0，故B错误，C正确；由当x=-1时，y=a-b+c0可判断D错误.故答案选C.题组训练1.B2.D3.B例3(1)由题意可得：B2,2，C0,2，将B,C坐标代入y=x2+bx+c，得c=2，b=，二次函数的解析式是y=x2+x+2.(2)解x2+x+2=0，得x1=3，x2=-1.由图象可知：y>0时x的取值X围是-1x3.题组训练1.设二次函数的解析式为y=ax-12-1a0，函数图象经过原点0，0，a0-12-1=0，解得a=1，该函数解析式为y=x-12-1.2.(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过B0，1，二次函数解析式为y=ax2+bx1.二次函数y=ax2+bx1的图象过A2,0和C4,5两点，解得y=x2x1.(2)当y=0时，x2x1=0，解得x=2或x=-1，D-1,0.(3)如图，当-1x4时,一次函数的值大于二次函数的值.整合集训根底过关1.A2.B3.A4.D5.B6.D 7.C8.A9.C10.(2,5)11.yx2112.2 4 13.14.y=a(1x)215.(1)把A1,0代入y=a(x1)2+4，得0=4a+4，a=1.y=(x1)2+4.(2)当x=0时，y=3，OC=3.抛物线y=(x1)2+4的对称轴是直线x=1，CD=1.A1,0，B3,0，OB=3.S梯形COBD=6.16.(1)D-2，3.(2)把点A,B代入y=ax2+bx+3中，得解得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x-2或x1.能力提升1.B2.D3.D 4.C5.A6.D7.B提示：抛物线的对称轴为直线x=2，b=-4a，即4a+b=0，故正确；当x=-3时，y0，9a-3b+c0，即9a+c3b，故错误；抛物线与x轴的一个交点为-1，0，a-b+c=0，而b=-4a，a+4a+c=0，即c=-5a，8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，抛物线开口向下，a0，8a+7b+2c0，故正确;观察图象，明显错误,即正确的结论是2个.8.(1)抛物线顶点坐标为1,4，设y=a(x-1)2+4，由于抛物线过点B(0，3)，3=a(0-1)2+4，解得a=-1.解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3.(2)作点B关于x轴的对称点E0，-3，连接AE交x轴于点P.设AE解析式y=kx+b，如此解得yAE=7x-3.当y=0时，x=，点P坐标为(，0).9.(1)y=ax2+bx-75图象过点5，0，7，16，解得y=-x2+20x-75的顶点坐标是10，25.当x=10时，y最大=25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.(2)函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，可知点7，16关于对称轴的对称点是13，16，又函数y=-x2+20x-75图象开口向下，当7x13时，y16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.12 / 12