2自主招生备考中的函数思想

备考985高校自主招生讲义 版权所有 翻录必究§2自主招生备考中的函数思想 函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及到各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.函数思想是最重要、最基本的思想方法之一.所谓的函数思想，是指运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.无论是在高考还是在自主招生的备考过程中，函数思想是必须掌握的思想.1. 利用函数的定义域或值域例1.解不等式例2.设实数，解方程 （2006年复旦大学）针对练习1.已知方程（），则为何值时，方程至少有一个整数根？2.对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.2.利用函数的性质2.1利用函数的单调性例3.设满足条件，求的值. （2012年清华大学）例4. 设一个三角形的三边长分别为，为实数，满足 证明：，或 （2015年北京大学中学生体验营）例5. 求证：数列单调递减. （2015年上海交通大学）针对练习1. 求证：2.比较与的大小.2.2利用函数的奇偶性例5.已知，求的值.例6.设实数满足，求的值.针对练习1.解方程.2.证明不等式；2.3利用函数的有界性例7.已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小是多少？ （选修21，第47页）例8. 求函数的最大值.（2013年中国科技大学夏令营）针对练习1.已知，求的最大值. （2015年清华大学）2.4利用函数的连续性例9.设对一切实数满足，且求的解析式. （2007年清华大学）例10.已知，求的解析式.（2008年清华大学）2.5利用函数的周期性例11.若奇函数满足，求的值.（2010年同济大学）例12.已知，且对任意，有，求的值.2.6利用二次函数的性质例13.证明：例14.为任意三角形的三个内角，证明；（2014年中国科技大学夏令营）2.7利用函数的凸凹性例15.已知是锐角三角形的三个内角，求的最小值.（2010年北京科技大学）2.8 利用函数的图象例16.解关于的方程，并讨论解的个数.3.一个重要不等式的应用对数不等式：当时，不等式成立.例17.已知，求证：例18.已知，求证：针对练习1.已知且，求证：2.求证：（）.3.已知函数，令，（1）求数列的通项公式；（2）证明： （2011年华约联考）3