一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如 当时，得到，两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为、形如当时，可有，两边积分可得结果；当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。例1.2、解：当时，有两边积分得到，所以有；当时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为。可化为变量可分离方程的方程：、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。、形如解法：、，转化为，下同；、，的解为，令得到，下同；还有几类： 以上都可以化为变量可分离方程。例2.1、解：令，则，代入得到，有所以，把u代入得到。例2.2、解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化简得到，有，所以有，故代入得到（3）、一阶线性微分方程：一般形式：标准形式：解法：1、直接带公式：2、积分因子法：，3、IVP：，例3、解：化简方程为：，则代入公式得到所以，(4)、恰当方程：形如解法：先判断是否是恰当方程：如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ,有；例4、解：由题意得到，由得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个由得，两边对y求偏导得到，得到，有，故，由，得到(5)、积分因子法： 方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。当且仅当，原方程有只与x有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。当且仅当，原方程有只与y有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。例5.1、解：由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化为，得到解为例5.2、解:由题意得到，有有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为：(6)、贝努力方程：形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）例6、解：令，有，代入得到，则，有，把u代入得到.(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：，解不出的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型： 、形如，一般解法：令，代入得到，两边对x求导得到，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为，那么原方程的通解为2、得出解为，那么原方程的通解为3、得出解为，那么原方程的通解为、形如一般解法：令，代入有，两边对y求导，得到，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解，那么原方程的通解为、形如一般解法：设，两边积分得到，于是有原方程的通解为、形如一般解法：设，由关系式得，有，两边积分得到，于是有 例7.1 解：令，得到，两边对y求导，得到，有，得到，于是通解为例7.2 解：令，得到，两边对x求导，得到，有，两边积分得到，于是通解为例7.3 解：设有，所以于是通解为例7.4 解：设有，所以于是通解为(8)、里卡蒂方程：一般形式：一般解法：先找出一个特解，那么令，有，代入原方程得到 ，化简得到 ，为一阶线性微分方程，解出那么原方程的通解为例8 解：我们可以找到一个特解，验证：，代入满足原方程。令，代入有，化简得到，所以有所以原方程的解为 或