初中同步测控全优设计人教版七年级数学上册例题与讲解4.3角

4.3角1角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；用一个小写希腊字母表示单独的一个角；用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间破疑点 角的理解(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比拟大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角【例11】 以下说法正确的选项是()A平角是一条直线B一条射线是一个周角C两边成一条直线时组成的角是平角D一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了答案：C【例12】 如图，以点B为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来分析：.射线BA与BD，BA与BC，BD与BC各组成一个角表示顶点的字母必须写在中间当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把ABC错写成“B书写力求标准，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母注意：角的符号一定要用“，而不能用“解：以B为顶点的角有3个，分别是ABC，ABD，DBC.2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1.谈重点 角度的换算(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°60，160；由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1，1°，用除法度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级转化容易出错【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°4836用度表示分析：(1)70.23°实际是70°0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数局部化为秒将0.23°化为分，只要用0.23乘以60即可(2)将26°4836用度表示，应先将36化成分，然后再将分化成度就可以了将36化成分，可以用乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×6013.8，再把0.8化为秒，得0.8×6048.所以70.23°70°1348.(2)把36化成分，36×360.6，480.648.6，把48.6化成度，48.6°×48.60.81°.所以26°483626.81°.3角的比拟与运算(1)角的比拟：度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比拟角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比拟大小解技巧 角的比拟在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的根底几何意义：如下图，AOB与BOC的和是AOC，表示为AOBBOCAOC；AOC与BOC的差为AOB，表示为AOCBOCAOB.代数意义：如A23°17，B40°50，AB就可以像代数加减法一样计算，即AB23°1740°5064°7，BA40°5023°1717°33.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如下图，射线OC是AOB的平分线，那么有12AOB或AOB2122.警误区 角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；把角分成了两个角，且这两个角相等【例3】 如下图，OE平分BOC，OD平分AOC，BOE20°，AOD40°，求DOE的度数解：OE平分BOC，BOECOE.OD平分AOC，AODCOD.又BOE20°，AOD40°，COE20°，COD40°.DOECOECOD20°40°60°.4余角和补角(1)余角和补角的概念：余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等用数学式子表示为：1290°，3490°，又因为24，所以13.补角的性质：同角(等角)的补角相等用数学式子表示为：12180°，34180°，又因为24，所以13.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向通常要先写北或南，再写偏东还是偏西警误区 余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说1的余角是2，2的余角是1，或者说1与2互余，而不能说1是余角【例4】 如下图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AOD90°，140°，求2的度数解：因为AODAOCAODBOD180°，所以AODAOCBOD90°.又因为1FOC180°，DOFFOC180°，所以DOF140°.所以2BODDOF90°40°50°.5运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于局部而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用【例5】如下图，AOB90°，ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线，求MON的大小分析：解决问题的关键是把AOCBOC视为一个整体，代入求值解：因为ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线，所以NOCAOC，MOCBOC，所以MONNOCMOCAOCBOC(AOCBOC)AOB×90°45°.6.钟表问题对于钟表问题要掌握根本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等假设具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；假设是时针与分针的夹角求相应的时间，那么一般需要建立方程求解【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x分钟，时针与分针再次成直角，那么时针转过(0.5x)°，分针转过(6x)°，如下图，可列方程3606x(900.5x)90，解得x32.即过32分钟，时针与分针再一次成直角7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)解：如图，从位置到位置，B点转过90°；从位置到位置，B点转过120°；从位置到位置，由题意B点看作不动于是在整个过程中B点转过的角度为90°120°210°.8.归纳猜测在角的问题中的运用归纳猜测，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜测、四色猜测、角谷猜测、费马定理等都是由数学家的探究、猜测、总结而得到的学习数学必须不断地去探索、猜测，不断地总结规律，才会有新发现运用这个式子，能解决很多类似的问题，能到达一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题【例8】(1)假设在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图中共有多少条线段？如图中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n1)个人握一次手，n个人就有(n1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n1)÷2次(2)图中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n1)÷2条线段图中每条射线都与另外(n1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n1)÷2个角9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，那么图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向这四大方向简称为上北下南左西右东建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，那么称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，那么称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，那么称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，那么称点P在正东方向(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，那么称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，那么称点P在南偏东(或西)m°方向例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)假设AOCAOB，那么OC的方向是_；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是_；(3)BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作BOD的平分线OE，OE的方向是_；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，COE_.解析：(1)OB的方向是西偏北50°，190°50°40°，AOB40°15°55°AOCAOB，AOC55°，FOCAOFAOC15°55°70°，OC的方向是北偏东70°.(2)OB的方向是西偏北50°，140°，DOH40°，OD的方向是南偏东40°.(3)OE是BOD的平分线，DOE90°.DOH40°，HOE50°，OE的方向是南偏西50°.(4)AOF15°，AOC55°，COG90°AOFAOC90°15°55°20°.EOH50°，HOG90°，COEEOHHOGCOG50°90°20°160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°