人教A版选修4-532一般形式的柯西不等式作业

二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a,b,c均大于0,A=/上工,bRZI/j AB的大小关系是（）33A.A>BB.A> BC.A<BD.Aw B解析因为(12+12+12) - (a2+b2+c2) >(a+b+c)2,以？?+?+?按(?+?+?),当且仅当a=b=c时，等号成立. 39又a, b, c均大于0,所以a+b+c>0,所以 /?+?+? > ?+?+?答案怛2 .若x?+y2+z2=1，则x+y+v2z的最大值等于()A.2B.4C.V2D.8解析|柯西不等式，可得12+12+(豆)2( x2+y2+z2) > (x+y+vz)2,即(x+y+/z)2w 4,因此 x+y+v2z<2(一当且仅当x=y=,即x、, y=2, z=2时，等号成立一),即x+y+v2z的最大值等于2.答案|a3 .已知？ + ?+?萨1, ? + ?2+?=1,贝U 2仇1 + 22*2+2必的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析( 21x1+22x2+axn) & (? + ?+ +? x(?+ ?+?给=1 x 1=1, : ax1+ax2+anxn 的最 大值是1.答案|a4 .设a, b,c均为正数且a+b+c=9,则?+ !?+3?的最小值为()A.81B.49C.9D.7逊由柯西不等式，可得?+ 9?+ 1?= /a+b+O (?+ 9?+ * *(。?.今?+ 与 32 =9 81=9,当且仅当?=3?=?即a=2,b=3,c=4时，等号成立,故所求最小值为9.答案|C5 .已知x,y是实数,则x2+y2+(1 -x-y )2的最小值是A.1B.1C.6D.36 3丽刖柯西不等式，得(12+12+12) x2+y2+(l -x-y )2> x+y+(1 -x-y ) 2=1,即 x2+y2+(1 -x-y )2,；,3当且仅当x=y=1-x-y ,即x=y=3时，x2+y2+(1 -x-y )2取得最小值1.H1_B6.已知 a, b, c>0,且 a+b+c=1,则 v4?+ 1 + v4?+ 1 + 斓?+ 1 的最大值为 而川柯西不等式,得(v4?+ 1 + v4?+ 1 + v4?R 1)22=(1 x v4?+ 1 +1 x v4?+ 1+1 x v4?台 1)0 (12+12+12)(4 a+1+4b+1+4c+1)=34( a+b+°+3=21.当且仅当a=b=c时，取等号3故斓？?+ 1 + 故？?+ 1 + 故?+ 1的最大值为 v2T.7.设a, b,c是正实数,且a+b+cw,则|?+22?勺最小值为称刖为(a+b+0(?+务？?-2- 2=(v?2+( v?2+( V?2 ( v? + (？ +-2 2(v? > ( v?, V?+ v?, v?+ v? V? =18,所以2?+ 2?+ ? 2(一当且仅当2?= 2?= ?即a=b=c=3时，等号成立一),故2?+ ?+ 2?勺最小值为2.?+?+?+?+?答案28 .设 a, b, c, x, y, z 都是正数，且 a2+b2+c2=25, x2+y2+z2=36, ax+by+cz=30，则解析出柯西不等式知25X 36=( a2+b2+c2) . (x2+y2+z2) >(ax+by+cz) 2=302=25X 36,当且仅当?= ?=?=k时,等号成立.?由 k2( x2+y2+z2) 2=25 X 36,解得 k=5,6?+?+? _5 所 ?+?+#-6.9 .已知 a+b+c=1,且 a,b, c 是正数，求证？?+?+ ?+?+ 短？9.回边=2(为为袅=(a+b)+(b+c)+(c+a)(枭袅 ?+?> g.当且仅当a=b=c4日,等号成立，故原不等式成立 310 .已知 x, y, z C R 且 x- 2y- 3z=4,求 x2+y2+z2的最小值.如柯西不等式，彳#x+(-2) y+(-3)z&l 2+(-2) 2+(-3) 2( x2+y2+z2),即(x-2y-3z)&I4(x2+y2+z2),所 以 16W 14(x2+y2+z2).因此x2+y2 +z2>8,当且仅当x=§= ?即当x=2, y=-4, z=-6时,x2+y2+z2的最小值为8. 7-2-377771 .已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1B.2C.3D.4画批柯西不等式，得(x+2y+2z) 2< (1 2+22+22)( x2+y2+z2) =9, 所以-3W x+2y+2z< 3.一.?.当且仅当|x|二 |2| =回时，等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案|C2 .(一)导学号26394054已知a, b, c为正实数，且a+2b+3c=9,则v3?+ v2?+ J?的最大值等于() a.v9b. via-C.13D.18解析 1V3?+ v2?+ V?= V3 "?+ V2?+，V3?< a/(3 + 1 + 3) (?+ 2?+ 3?)= V39(一当且仅当弓=乎=节Jt等号成立一），故最大值为 69.答案|a3 .设a, b, c为正数，则（a+b+c）（ ?+ 9?+ 36）的最小值是 M 析(a+b+©(?+936?+ ?)=(/?2+(*2+(四2(刍2 + 弓)2+ (耳2> ( V?, + V?, + V? = =(2 +3+6) 2=121. V ?V ?V ?当且仅当?= ?= ?t等号成立 236答案1214 .设 x, y,zC R2 x+2y+z+8=0，贝1(*-1)2+(丫+2)2+(2-3)2的最小值为 .IWn2x+2y+z+8=0? 2( x-1) +2( y+2) +(z- 3)=-9.考虑以下两组向量：u=(2,2,1),v=(x-1, y+2, z-3),由柯西不等式，得(u v)2w|u| 2 |v| 2,即2( x-1)+2(y+2) +( z-3) 2w (2 2+22+12) ( x-1) 2+( y+2) 2+( z-3) 2.所以(x-1) 2+( y+2)2+( z-3) 2>电=9,9当且仅当x=-1, y=- 4, z=2时，等号成立，此时取得最小值9.答案95 .(一一)导学号 26394055 已知 Xi, x2, x3, x4为实数，且 Xi+X2+X3+X4=6, ? + ?f + ? + ?=12,求证 0WXi W3(i= 1,2,3,4).施小柯西不等式，得(X2+X3+X4) & (1+1+1)( ? + ? + ?),由题设条件，得X2+X3+X4=6-Xi, ? + ? + ?=12-?,代入上式，彳导(6-Xi)2w 3(12-?), .36-12xi+?w 36-3?,：4?-12xiW0,0<xi<3,同理可证 0W xiW 3( i= 2,3,4).综上所述,0 <xi<3( i= 1,2,3,4).6. 1导学号 26394056 设实数 a, b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,且 a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.已知，得 a+b+c+d=8-e, a2+b2+c2+d2=16-e 2,所以(8 -e) 2=( a+b+c+c) 2<(a2+t>+c2+d2)(1 2+12+12+12)=4(16-e2),化简,得 5e2- 16e< 0? 0< e",故 emax=16.