高等数学C1-期末考试卷-A-(答案)

一、 单项选择题1. D （解释：，）2. A （解释：在处连续，所以必须存在，也就是在处有定义。）3. B （解释：，可以这样理解：。）4. C （解释：，见书P90。）5. D （解释：就是，定积分是一个常数，所以它的导数为0。）将其它选项改为正确答案：，。二、 填空题1. 解：由的定义，；在处连续，是指：，也就是：2. 解：先回顾导数的定义，在本题中：可以将看作，那么原极限可以变为：，再分别计算两部分的极限，其中，所以答案为：。3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在处的导数（也就是切线斜率），法线的导数是切线斜率的负倒数。在点出导数，代入，得到，所以法线的斜率为，利用点斜式方程可得法线方程为：。4. 解：函数，列别讨论的正负变化情况（也就是讨论函数的递增递减区间）00递减递增极大值递减递增所以极大值：。5. 解：此题可先计算不定积分计算定积分：三、 求解下列各题1. 解：2. 解：3. 解：4. 解：5. 解：先对原等式两侧求微分，得到：整理后得到再计算即：，代入，并代入点得到：6. 解：7. 解：可以令，则，；代换原式得到：8. 解：第一步用凑微分的方法，就是分部积分法四、 应用计算题1. 解：设平均成本函数为问题即为求的最小值，首先求的导数，找出使的点，求得，根据题意排除负项。并由可知：当时，为最小值。边际成本函数为，代入，得到。2. 解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。首先计算：，用使上面两式等于0或者不成立的点分割区间：我们可以看到是这样的点，因此有下表：0NaN0NaN递减拐点递减极小递增极大递减凸凹凹渐进线：1. 是垂直渐进线；2. 由可知 ，是其水平渐进线；3. 无斜渐进线。3. 解：先计算，并作图曲线上的点的切线斜率为，切线方程则为，此线过原点，也就是说：代入能使等式成立，即：，变换为：，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求 此区域 绕轴旋转一周形成的旋转体体积。回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为：但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、 证明题证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道：所以：，其中，所以.