16-17版专题限时集训9空间几何体表面积或体积的求解

专题限时集训 (九)空间几何体表面积或体积的求解建议 A、B 组各用时： 45 分钟 A 组高考达标 一、选择题1(2016 石·家庄二模 )一个三棱锥的正视图和俯视图如图10-13 所示，则该三棱锥的侧视图可能为 ()图 10-13D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD平面 BCD，故选 D.2(2016 郑·州一模 )一个几何体的三视图如图10-14 所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()1图 10-1445A.33B.338C.23D.33B由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P-ABCDE ，体积V13125×2×2×12×333，故选 B.3(2016 开·封一模 )在三棱锥 P-ABC 中， ABBC15， AC 6， PC平面 ABC， PC 2，则该三棱锥的外接球表面积为()【导学号： 85952038】2525A. 3B. 2 8383C. 3D. 2 D由题可知，ABC 中 AC 边上的高为15 32 6，球心 O 在底面 ABC的投影即为 ABC 的外心 D，设 DADBDCx，x2 32 ( 6x)2，解得 x522PC 2758346，R x2 818 (其中 R 为三棱锥外接球的半径 )，外接球的表面积 S4R2 832，故选 D.4(2016 湖·北七市模拟 )已知某几何体的三视图如图10-15 所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为()2图 10-15A.3B.23C.33D.43B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 截去四棱锥 A-BEDC 得到的，故其体积 V 43× 22×313×122× 2× 3 2 3，故选 B.5(2016 广·州二模 )如图 10-16，网格纸上小正方形的边长为1，图 10-16粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()A8824 6B8822 6C.2226126D.2243A 在正方体中还原出该四面体 C-A1EC1 如图所示，可求得该四面体的表面积为 8824 6.二、填空题6(2016 ·昆明一模 )已知三棱锥 P-ABC 的顶点 P，A，B，C 在球 O 的球面上， ABC 是边长为 3的等边三角形，如果球 O 的表面积为36，那么 P 到平面 ABC距离的最大值为 _32 2 依题意，边长是 3的等边 ABC 的外接圆半径13r · 1.2 sin 60 °球 O 的表面积为 36 4R2，球 O 的半径 R 3，球心 O 到平面 ABC 的距离 d R2r 2 22，球面上的点 P 到平面 ABC 距离的最大值为 Rd322.7(2016 山·东省实验中学模拟 )三棱锥 P-ABC 中， D，E 分别为 PB，PC 的V1中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1，P-ABC 的体积为V2，则 V2_.1 如图，设 SABDS1， S PAB S2，4E 到平面 ABD 的距离为 h1，C 到平面 PAB 的距离为 h2，则 S22S1，h22h1，V11 1 1，V21 22，所以 V1S1 h113S h3S hV2 S2h2 4.8(2016 ·口二模海 )半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱 (底面是正方形， 侧棱垂直底面 )当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是 _16( 2)设内接正四棱柱底边长为a，高为 h，那么 162a2 h22 2ah，4正四棱柱的侧面积S 4ah16 2，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16( 2)三、解答题9(2016 ·合肥二模 )如图 10-17，P 为正方形 ABCD 外一点，PB平面 ABCD，PBAB2，E 为 PD 的中点图 10-17(1)求证： PACE；(2)求四棱锥 P-ABCD 的表面积解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF，则 EFADBC，即 EF，BC 共面PB平面 ABCD， PBBC，又 BC AB 且 PBABB，BC平面 PAB， BCPA.3 分PBAB， BFPA，又 BC BF B，PA平面 EFBC， PA CE.6 分(2)设四棱锥 P-ABCD 的表面积为 S，PB平面 ABCD， PBCD，又 CD BC，PBBCB，CD平面 PBC， CD PC，即 PCD 为直角三角形， 8 分由(1)知 BC平面 PAB，而 AD BC， AD平面 PAB，故 AD PA，即 PAD 也为直角三角形S?ABCD 2× 24，51SPBCSPABS PDA 2× 2× 2 2，SPCD12×2×22 2222， 10 分S 表 S?ABCD S PBCSPDA S PABS PCD102 2.12 分10(2016 ·北七市模拟湖 )如图 10-18，一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABC-A1B1C1 容器中盛有液体 (不计容器厚度 )若液面恰好分别过棱 AC， BC， B1 C1， A1C1 的中点 D，E，F，G.图 10-18(1)求证：平面 DEFG 平面 ABB1 A1；(2)当底面 ABC 水平放置时，求液面的高解 (1)证明：因为 D，E 分别为棱 AC， BC 的中点，所以 DE 是 ABC 的中位线，所以 DE AB.又 DE?平面 ABB1A1， AB? 平面 ABB1 A1，所以 DE平面ABB1A1.同理 DG平面 ABB1A1，又 DE DGD，所以平面 DEFG平面 ABB1A1.6分(2)当直三棱柱 ABC-A1B1C1 容器的侧面 AA1B1B 水平放置时，由 (1)可知，液体部分是直四棱柱， 其高即为原直三棱柱 ABC-A1B1C1 容器的高，即侧棱长 l，当底面 ABC 水平放置时，设液面的高为 h， ABC 的面积为 S，则由已知条件可知， CDE ABC，且 S CDE1ABED 3分，所以S4S.94S四边形由于两种状态下液体体积相等，所以V 液体 Sh S 四边形 ABED3，即3l4Slh 4l .因此，当底面 ABC 水平放置时，液面的高为34l.12分B 组名校冲刺 一、选择题1(2016 ·沈阳一模 )如图 10-19，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的6是一个凸多面体的三视图( 两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为()图 10-19A三棱台B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥B 根据三视图的法则： 长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示 这是一个三棱柱 2(2016 重·庆二模 )某几何体的三视图如图10-20 所示，则该几何体的体积为 ()图 10-2024A.3B.357C.3D.3B 根据三视图可知， 几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的， 其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形 (直角边长分别为 1,2，高为 1)；该三棱锥1的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为27×2×1×11×1×2×1×14，选 B.3233(2016 ·山二模唐)某几何体的三视图如图10-21 所示，则该几何体的体积为 ()图 10-21A6 4B. 45C. 2D.2 D由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为 1 的圆柱体，与底面半径为 1，高为 2 的半圆柱体构成， 所以该三视图的体积为× 12×112× 12×2 2，故选 D.4(2016 ·江西上饶三模 )从点 P 出发的三条射线PA，PB，PC 两两成 60°角，且分别与球 O 相切于 A，B，C 三点，若 OP3，则球的体积为 ()2A.3B. 348C. 3D. 3C 设 OP 交平面 ABC 于 O，由题得 ABC 和 PAB 为正三角形，3 3所以 OA 3 AB 3 AP.8因为 AOPO，OAPA，OPAPAO3AO3所以 OA ，AB 3，AP3 ，AO所以 OAOP·OA3×31，AP3即球的半径为 1，所以其体积为 43×1343选. C.二、填空题5(2016 ·州二模广 )一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_.【导学号： 85952039】55 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r 1,其高 h 1，62h 21543453球半径为 Rr2 144，该球的体积 V3R3×4556.6如图 10-22，在三棱锥 A-BCD 中，ACD 与 BCD 都是边长为 4 的正三角形，且平面 ACD平面 BCD，则该三棱锥外接球的表面积为 _图 10-22803 取 AB，CD 的中点分别为 E， F，连接 EF，AF，BF，由题意知 AF1AF2 BF26，易知三棱锥的外接球球心O 在线BF，AFBF23， EF 2段EF上，9所以 OEOF6.设外接球的半径为R，连接 OA，OC，则有 R2AE2OE2，R2CF2OF2，所以 AE2 OE2CF2 OF2，(6)2OE2 22OF2，所以 OF2OE22，又 OE OF6，则 OF283，R2 203，所以该三棱锥外接球的表面积为4R280 3 .三、解答题7如图 10-23，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直， BAD ADC 90°，1ABAD 2CD，BEDF .图 10-23(1)若 M 为 EA 中点，求证： AC平面 MDF ；(2)若 AB2，求四棱锥 E-ABCD 的体积解 (1)证明：设 EC 与 DF 交于点 N，连接 MN，在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 中点，因为 M 为 EA 中点，所以 MNAC.2 分又因为 AC?平面 MDF ， MN? 平面 MDF ，10所以 AC平面 MDF .4 分(2)取 CD 中点为 G，连接 BG， EG，平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF 平面 ABCD CD，AD? 平面 ABCD， AD CD，所以 AD平面 CDEF，同理 ED平面 ABCD，7 分所以 ED 的长即为四棱锥 E-ABCD 的高 .8 分1在梯形 ABCD 中， AB2CDDG，ABDG ，所以四边形 ABGD 是平行四边形， BGAD，所以 BG平面 CDEF.又 DF? 平面 CDEF，所以 BGDF ，又 BEDF，BEBGB，所以 DF 平面 BEG， DF EG.10 分注意到 Rt DEG RtEFD ，所以 DE2 DG·EF8，DE22，所以 VE-ABCD 1梯形 ABCD· 分3SED4 2.128如图 10-24，在多面体 ABCDM 中， BCD 是等边三角形， CMD 是等腰图 10-24直角三角形， CMD 90°，平面 CMD 平面 BCD，AB平面 BCD，点 O 为 CD 的中点，连接 OM.(1)求证： OM平面 ABD；(2)若 ABBC2，求三棱锥 A-BDM 的体积解 (1)证明： CMD 是等腰直角三角形， CMD 90°，点 O 为 CD 的中点，OMCD.1 分平面 CMD 平面 BCD，平面 CMD 平面 BCDCD，OM? 平面 CMD ，OM平面 BCD.2 分11AB平面 BCD， OM AB.3 分AB? 平面 ABD，OM?平面 ABD， OM平面 ABD.4 分(2)法一：由 (1)知 OM平面 ABD，点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 .5 分过点 O 作 OHBD，垂足为点 H.AB平面 BCD，OH? 平面 BCD， OH AB.6 分AB? 平面 ABD，BD? 平面 ABD， AB BD B， OH平面 ABD.7 分ABBC2， BCD 是等边三角形，BD2，OD1，OH OD·sin 60 °32 .9分V 三棱锥 A-BDMV 三棱锥 M -ABD1×1×AB·BD·OH3211333×2×2×2×2 3 .11分三棱锥 A-BDM 的体积为33 .12分法二：由(1)知 OM平面 ABD，点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 .5 分ABBC2， BCD 是等边三角形， BD2，OD1.6 分连接 OB，则 OB CD， OBBD·sin 60 ° 3.7 分V 三棱锥 A-BDMV 三棱锥 M -ABDV 三棱锥 O-ABDV 三棱锥 A-BDO1×1×OD·OB·AB321133×2×1× 3×23 .11分三棱锥 A-BDM 的体积为33 .12分12