2015届南通市高三第三次调研测试及答案讲评建议.doc

南通市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合A=3，m，B=3m，3，且A=B，则实数m的值是 【答案】02已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 【答案】33已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 【答案】-3（第5题）开始输入xy5x<4yx2-2x+2输出y结束YN（第4题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251504为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在中的频数为100，则n的值为 【答案】10005在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 【答案】-46从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 【答案】7在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 【答案】8在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），则该数列的通项公式an= 【答案】2n+19给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“coscos”的必要不充分条件；“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（xR）为奇函数”的充要条件其中正确命题的序号为 【答案】10已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积（第10题）ABCDEF（第11题）PV= cm3【答案】11如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F若P为劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】12已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 【答案】（-5，0）13在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 【答案】3或-214已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 【答案】1，二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDA1B1C1（第15题）E15（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE平面ABC1解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1CBC12分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF又B1CAB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C平面ABC1 5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE又D为A1C1的中点，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC1 10分同理，EF面ABC1因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF，故DE面ABC114分xyO2-2（第16题）16（本小题满分14分）已知函数（其中A，为常数，且A0，0，）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的解析式； （2）若，求的值解：（1）由图可知，A=2，2分T=，故，所以，f(x) =4分又，且，故于是，f(x) =7分（2）由，得9分所以，12分=14分17（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(ab0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)（1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17题）D求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一依题意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4故所求椭圆方程为： 离心率e=5分方法二由椭圆的定义知，2a=4，即a=22分又因c=，故b2=1下略（2）设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2=8分方法一由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=411分又2=，故所以，OB2+OC2 =514分方法二由知，k3k4=k1k2=将直线y=k3x方程代入椭圆中，得9分同理，所以，=411分下同方法一18（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CDAB；OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 mABCDPQ（第18题）O（1）试确定A，B的位置，使OAB的周长最大？（2）当OAB的周长最大时，设DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值解：（1）设，在中，即，2分所以，4分所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时周长取得最大值ABCDPQ（第18题答图）OEF答：当都为50 m时，的周长最大6分（2）当AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形过作OFCD交CD于F，交AB于E，则分别为AB，CD的中点，所以，由，得8分在中，又在中，故10分所以，=，12分（一直没有交代范围扣2分）令，又y=及y=在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数因0，故0在上恒成立，于是，在上为单调递增函数 14分所以当时，有最大值，此时S有最大值为答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m216分19（本小题满分16分）已知数列an，bn中，a1=1，nN*，数列bn的前n项和为Sn（1）若，求Sn；（2）是否存在等比数列an，使对任意nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a1a2an，求证：0Sn2解：（1）当an=时，bn=2分所以，Sn=4分（2）满足条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=证明：在中，令n=1，得b3=b1设an=，则bn=6分由b3=b1，得若q=，则bn=0，满足题设条件此时an=1和an=8分若q，则，即q2 =1，矛盾综上，满足条件的数列an存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=10分（3）因1=a1a2an，故，01，于是01所以，0，n=1，2，3，所以，Sn=b1+b2+bn013分又，=故，Sn=b1+b2+bn=2所以，0Sn216分20（本小题满分16分）已知函数（aR）（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；（3）若有两零点x1，x2(x1x2)，求证：2x1+x2-1解：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减2分所以在(1，e2)上至多只有一个零点又0，故函数在(1，e2)上只有一个零点4分（2）=，令=0，得x=1当x1时，0，在上单调递减；当0x1时，0，在(0，1)上单调递增，故=f(1)=a-16分当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；8分当0，即a1时，f(x)0恒成立，不合题设；当0，即a1时，一方面，1，0；另一方面，1，2a-ea0(易证：exex)，于是，f(x)有两零点，不合题设综上，a的取值集合为110分（3）证：先证x1+x22依题设，有a=，于是记=t，t1，则，故于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=记函数g(x)=，x1因0，故g(x)在上单调递增于是，t1时，g(t)g(1)=0又lnt0，所以，x1+x2213分再证x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的两零点由=a-1-lnx=0，得x=(记p=)仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有 作函数h(x)=，则0，故h(x)单调递增故，当xp时，h(x)h(p)=0；当0xp时，h(x)0于是，ax1-1=x1lnx1整理，得0，即，0同理，0 故，于是，综上，2x1+x2-116分21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）CABOP（第21（A）题）H如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AHPB于H求证：PAAH=PCHB证：连AC，AB因BC为圆O的直径，故ACAB又AHPB，故AH2=CHHB，即5分CABOP（第21（A）题答图）H因PA为圆O的切线，故PAC=B在RtABC中，B+ACB=90在RtACH中，CAH+ACB=90所以，HAC=B所以，PAC=CAH，所以，即所以，即PAAH=PCHB10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求的面积解：因，即6分故10分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r0）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值解：由，得，即直线l的方程为3分由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，6分所以，圆心到直线的距离，由，则10分D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：证：因abcd，故a-b0，b-c0，c-d0 故，6分所以，10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出ABCDA1B1C1D1（第22题） 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，求的值解：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，ABCDA1B1C1D1（第22题答图）xyz建立如图所示空间直角坐标系D-xyz设，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2） 2分（1）设与面所成角的大小为，设平面的法向量为n=（x，y，z），则，即令，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为6分（2）设E(1，0，)，02设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），由，得，令，则，由，得，令z2=1，则x2=2，y2=-2，所以，得所以10分23（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式解：（1）由题意可知X2=3，4，5当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=；当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)=；当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=3分所以随机变量X2的概率分布如下表：X2345P（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E(X2)=5分（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，7分所以，E(Xn+1)=3p0+4(p0+p1)+5(p1+p2)+6(p2+p3)+7(p3+p4)+8(p4+p5)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1 9分由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8)又E(X1)-8=，所以E(Xn)=10分南通市2015届高三第三次调研测试数学 讲评建议第1题 考查集合相等的概念，集合的性质. 第2题 考查复数及模的概念与复数的运算，考查运算求解的能力.第3题 考查简单的线性规划第4题 考查简单统计知识，直方图，频率、 第5题 考查算法流程图、简单的不等式运算，考查阅读图表的能力和计算能力. 第6题 考查概率的基本概念及古典概型的基本计算方法. 第7题 考查双曲线、抛物线的标准方程及几何性质点到直线之间的距离公式 第8题 考查等差数列，数列的通项公式，考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力第9题 考查命题的概念，充要条件，指数函数，三角函数的性质，函数的奇偶性，考查学生分析问题解决问题的能力 第10题 空间几何体，几何体的展开图，棱柱、棱锥的体积第11题 考查向量的概念，向量的数量积，向量的坐标运算知识，建系等 法一：设P(cos，sin)，0，D(0，2)，C(2，2)，则(cos，2sin)(2cos，2sin)52cos4sin52sin(+)52 法二：设PAB，()()24+1 52cos4sin(下同一) 法三：设P(x，y)，则x2+y21，(x，2y)(2x，2y)52 x4y， 因为(x+2y)2(1+22)(x2+y2)5，所以，52第12题 考查函数与方程、函数性质、分段函数、递推关系等基础知识. 考查数形结合和分类讨论的思想方法，考查抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力解:因为2x3+3x2+m在区间0,1上是增函数，所以mx+5在区间(1，)函数， f(1)0，f(0)0，得(5,0)第13题 考查圆与直线的位置关系，直线方程，直线的斜率等知识，考查数形结合，式的恒等变换等数学思想方法提示：由条件，得，所以，点(1,0)在直线PC上，其中C是圆心由些可得a=3，或2又解：，两式相减由得代入上式又代入上式，得，求解后，检验。第14题 考查不等式的概念，基本不等式，求最值的取值范围 解法一：令xy=t，则x=，代入x+3y+10，得所以，10=，解得1t当时，得y=当t=1时，y=1，x=1；当t=时，y=，x=2 所以，1t为所求 法二：提示由(1)可得(1+)x210x+2+3t=0，由1004(1+)(2+3t)0，得1t，以下同一第15题 本题主要考查空间几何体中线面、面面的平行与垂直的判定，考查空间想象能力试题基本讲评时要强调规划书写与答题，注重逻辑板块条理的清晰，定理使用的规划与完整，作图的简洁规范本题的另一证法为先找线线平行，这可以通过找AC1的中点O，连接OB，证明OBDE，进而得到线面平行 第16题 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数的图象，考查三角恒等变换及两角和与差的三角函数，考查同角三角函数的诱导公式本题中要注意变角方法在三角恒等变换中的重要应用，注重整体思想的培养 第17题 本题主要考查直线与圆锥曲线的基础知识及其基本运算要注重学生关于字母运算能力的培养解决解析几何大题中，既要有较为容易的问题，又要有一定运算要求的中档问题甚至较难的问题命题时要不落俗套，要改变位置，通过位置难度进一步培养学生对各种问题难度的适应度 第18题 本题是一道应用类的问题，主要考查应用所学知识独立分析问题与解决问题的能力，考查基本不等式，解三角形，三角恒等变换，导数等基础知识及基本运算讲评中还是要强调计算能力，要不断培养学生的解题自信心，要敢于下手，争取多得分得高分得全分第19题 本题主要考查数列及等比数列的通项公式与求和公式，考查分类讨论意识，考查独立分析问题与解决问题的能力讲评中可将第（2）问，加强为“是否存在等比数列an，使对任意k，nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，说明理由”；并可研究下列问题：“对于任意给定的实数0c2，是否存在数列an，有无穷多个正整数n使得Snc？若存在，试举一例；若不存在，试说明理由” 第20题 本题主要考查函数的综合应用，考查函数与方程思想，考查创新能力零点问题，今年提高了要求，复习教学时应引起必要的重视零点问题，应给以必要的赋值，不要完全通过图形的直观解决问题，要规范对于难题，对于最后的问题，也要留有一定的时间去写一些答案，以增加夺分机会 第21题A 本题主要考查平面几何中圆的有关知识，考查推理与论证能力 第21题B 本题主要考查矩阵与变换的基础知识，考查计算能力 第21题C 本题考查极坐标与参数方程的有关知识，考查圆中有关量的计算第21题D 本题考查柯西不等式等基本知识，考查应用综合法、分析法证明不等式，考查学生推理论证能力第22题 本题主要考查空间想象能力，考查计算能力第23题 考查概率分布与数学期望的基础知识，考查运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查推理与计算能力