中心对称及其性质

第一部分中心对称一、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点0旋转180。的图案，并回答下列的问题:1 .以0为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2.各对称点绕0旋转180°后，这三点是否在一条直线上？解:像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.例1.如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答.(1) 这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由.(2) 如果是中心对称，那么A、BCD关于中心的对称点是哪些点.BC（例1）AB（例2）分析：(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，？对称中心就是旋转中心.(2)旋转后的对应点，便是中心的对称点.例2.如图，已知AD>ABC的中线，画出以点D为对称中心，与厶ABD成中心对称的三角形.分析：要再画出A关于D的对应点即可.二、应用拓展例3.如衅，在厶ABC中，/C=70°,BC=4AC=4现将ABC沿CB方向平移到A'B'C'的位置.若平移的距离为若平移的距离为与x的关系式.A因为D是对称中心且人。是厶ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只3,求厶A'B'C'重叠部分的面积.x(0wxw4),求厶ABAA'B'C'重叠部分的面积y,写出yD三、练习(一)选择题1 .在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有(C.3D.42.下面的图案中，是中心对称图形的个数有(）个A.1个.3.如图，把一张长方形ABCD勺纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为分别落在D'、C'的位置上，若/EFG=55，则/仁()A.55°C.70°D.110°G?点DCB.125°(二)填空题1关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过2把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，两个图形是图形.用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：(1)长方形；(2)菱形；(3)正方形；(4)一般的平行四边形；?梯形.(三)综合提高题仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ?那么就说这(?填序号)(5)等腰三角形；(6)对称形式轴对称旋转对称中心对称只有条对称轴有两条对称轴2.如图，在正方形ABCD中，作出关于.如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，？画出此图形关于点B成中心对称的图形.第二部分中心对称的性质一、画三角形ABC分两种情况作两个图形(1) 作厶ABC顶点为对称中心的对称图形；(2) 作关于一定点0为对称中心的对称图形.以厶ABC的C点(或0点)为中心，旋转180°画出A'B'和A'B'C',如图1和用2所示.从图1中可以得出分别连接对称点AA'、BB、CC,点0在这些线段上且0平分这些线段.下面，我们就以图2为例来证明这两个结论.证明：（1）在厶AB'C'中，OA=OA',OB=OB，/AOBMAOB/AOBAA'OB/AB=AB'同理可证：AC=AC,BC=BC'ABCAA'B'C'（2）点A'是点A绕点O旋转180。后得到的，即线段OA绕点O?旋转180?°得到线段OA，所以点O在线段AA'上，且OA=OA，即点O是线段AA'的中点.同样地，点O也在线段BB'和CC上，且OB=OB,OC=OC，即点O是BB'和CC的中点.因此，得到结论1 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.2 关于中心对称的两个图形是全等图形.例1.如图，已知ABC和点O,画出DEF,使厶DEFHAABC关于点O成中心对称.例2.如图，已知四边形ABCD和点O,画四边形AB?'CD'，使四边形AB'CD'和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）二、应用拓展例3.如图等边ABC内有一点O,试说明：OA+OB>OC三、练习（一）选择题1 .下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A直角B等边三角形C直角梯形D两条相交直线2 .下列命题中真命题是（）A.两个等腰三角形一定全等C.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形B.两直线平行，同旁内角相等D.正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知/CED=60°,则/AED的大小是（）A.60B.50°C（二）填空题，而且被对称中心所1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过2 .关于中心对称的两个图形是图形.线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是,?它的对称中心是.（三）综合提高题1分别画出与已知四边形顶点A为对称中心，（2）(1)?以ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：以BC边的中点K为对称中心.0,画一个圆，使它与已知圆关于点0成中心对称.（3）.如图，A、BC是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M,现计划修建居民小区D,其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D?的位置.第三部分关于原点对称的点的坐标的性质及其运用一、探索新知(例1)讨论的内容：关于原点作中心对称时，坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？坐标与坐标之间符号又有什么特点?它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点0的对称点P'（-x,-y）.例1.形.例2.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB?关于原点对称的图已知ABCA（1,2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出ABC关于原点对称的图形.二、应用拓展例3.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于AB两点，将直线AB绕点0顺时针旋转如图，在直角坐标系中已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、？D（2，2）、E（3,-3）、F（-2，-2），作出AB、C、DE、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答这些坐标与已知点的坐标有什么关系？90°得到直线AiBi.(1)在图中画出直线AB.(2)求出线段AB中点的反比例函数解析式.是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由.(选作)三、练习(一)选择题11.下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是()A.y=B.y=2x+1C.y=-2x+1xD.以上三种都不可能2如图，已知矩形ABCD周长为56cm,O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm,则矩形边长中较长的一边等于()A.8cmB.22cmC.24cmD.11cm(二)填空题1.如果点P(-3,1),那么点P(-3,1)关于原点的对称点P'的坐标是P33y=与y=具有的一个共同性质xx(三)综合提高题1.如图，在平面直角坐标系中，2.写出函数(用对称的观点写).对称的AB'C,再画出AB'C与厶ABC有什么关系，请说明理由.A(-3,1),B(-2,3),C(0,关于y轴对称的厶A2),画出ABC关于x轴BC，那么ABC(1)2.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于AB两点，且A(0,(2)3),B(3,0),现将直线AB绕点O顺时针旋转90。得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B仁(2)求出过线段AB中点的反比例函数解析式;(3)是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜率k相等)它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由.