中考数学专题-三角形全等与角平分线,垂直平分线

-2017-2018学年中考数学专题-"三角形全等与角平分线，垂直平分线"一选择题每题3份，共计36分1以下说法不正确的选项是A如果两个图形全等，则它们的形状和大小一定一样B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D全等三角形的对应边相等，对应角相等2不能使两个直角三角形全等的条件是A斜边、直角边对应相等B两直角边对应相等C一锐角和斜边对应相等D两锐角对应相等3如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则1+2+3=A90°B135°C150°D180°4如图，在ABC中，AD平分BAC，过B作BEAD于E，过E作EFAC交AB于F，则AAF=2BFBAF=BFCAFBFDAFBF第4题图 第5题图 第6题图 5如图，ABC中，B=C=EDF=，BD=CF，BE=CD，则以下结论正确的选项是A2+A=180°B+A=90°C2+A=90°D+A=180°6如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是A3BC2D27如图，在RtABC中，C=90°，BAC=30°，C的平分线与ABC的外角的平分线交于E点，则AEB是A50°B45°C40°D35°第6题图 第7题图 第8题图8如图，在ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则BDC的周长为A14B16C18D209AD和BE是ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则ABC的度数为A45°B135°C60°或120°D45°或135°10如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，AB=3，AD=4，则DE=DF；DF=EF；DCFDGE；EF=上面结论正确的有A1个B2个C3个D4个11如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、S，假设AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有PA平分BAC；AS=AR；QPAR；BRPCSPA4个B3个C2个D1个第10题图 第11题图 第12题图12如图，ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时点E不与A、B重合，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；2S四边形AEPF=SABC；BE+CF=EF上述结论中始终正确的有A4个B3个C2个D1个2017-2018学年中考数学专题-"三角形全等与角平分线，垂直平分线"题号123456789101112答案二填空题共6小题13如图：DAE=ADE=15°，DEAB，DFAB，假设AE=8，则DF等于14如图，RtABC中，C=90°，B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，假设CE=3，则BE=第13题图 第14题图 第15题图15如图，点O为CAB与ACD的平分线的交点，OEAC于E，假设OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是16如图，ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，假设边BC长为5cm，则ADE的周长为cm17如图，直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3把一块含有45°角的直角三角板如下图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为第16题图 第17题图 第18题图18如下图，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在*轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，假设点B与点C坐标分别为0，1与2，0，则k=三解答题19-21每题8分，22-25每题9分，共计60分19如图，C=F，ACEF，AE=BD，求证：ABCEDF；BCDF20如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高求证：1DEF=DFE；2AD垂直平分EF21如图：ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分BAC且MDAB，DNAC延长线于N求证：BM=22如图，四边形ABCD中，D=C=90°，AE平分BAD，点E是DC的中点，且E在DC上1求证：BE平分ABC；2求AEB；3求证：AD+BC=AB23如图，在ABC中，ACB=45°，AD是ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF1求证：AB=CE；2求证：BF+EF=FD24如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P1证明：AE=BD2如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由25情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MDMH，且MH交正方形ABCD的外角CBE的平分线BH于点H在AD上取中点G，连接MG，易证得：MBHDGM，则可得：MD=MH建模迁移：如图2，在等边ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M在AM右侧作AMH=60°，与ACB的邻补角A的平分线交于点H1猜测验证：MA=MH；2初步应用：点M在直线BC上运动时，上述1中结论还成立吗？说明理由；3延伸拓展：在2的条件下，过H作HNBC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论26如图，BCCA，BC=CA，DCCE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF1求证：ACEBCD；2求证：BFAE；3请判断CFE与CAB的大小关系并说明理由27如图，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结ADAG1求证：AD=AG；2AD与AG的位置关系如何28如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，EF垂直平分BD求证：ABD=BDF29如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC、BD，假设AB=AC且ABD=60°求证：AB=BD+CD30如图，等腰ABC中，AC=BC，BDC和ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G求证：G为AB的中点31如图，四边形ABCD中，ABC=90°，点E是AB上的点，ECD=45°，连接ED，过D作DFBC于F，DF=BC求证：EDFC=BE2017-2018学年中考数学专题-"三角形全等与角平分线，垂直平分线"参考答案与试题解析一选择题共12小题1以下说法不正确的选项是A如果两个图形全等，则它们的形状和大小一定一样B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D全等三角形的对应边相等，对应角相等【解答】解：A如果两个图形全等，则它们的形状和大小一定一样，正确，不合题意；B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；应选：C2不能使两个直角三角形全等的条件是A斜边、直角边对应相等B两直角边对应相等C一锐角和斜边对应相等D两锐角对应相等【解答】解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误应选D3如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则1+2+3=A90°B135°C150°D180°【解答】解：如图，在ABC和DEA中，ABCDEASAS，1=4，3+4=90°，1+3=90°，又2=45°，1+2+3=90°+45°=135°应选B4如图，在ABC中，AD平分BAC，过B作BEAD于E，过E作EFAC交AB于F，则AAF=2BFBAF=BFCAFBFDAFBF【解答】解：AD平分BAC，EFAC，FAE=CAE=AEF，AF=EF，BEAD，FAE+ABE=90°，AEF+BEF=90°，ABE=BEF，BF=EF，AF=BF应选B5如图，ABC中，B=C=EDF=，BD=CF，BE=CD，则以下结论正确的选项是A2+A=180°B+A=90°C2+A=90°D+A=180°【解答】解：A、正确A+B+C=180°，B=C=，2+A=180°B、错误不妨设，+A=90°，2+A=180°，=90°，这个显然与矛盾，故结论不成立C、错误2+A=180°，2+A=90°不成立D、错误2+A=180°，+A=180°不成立应选A6如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是A3BC2D2【解答】解：如下图：作BDa于D，CEa于E，则BDA=AEC=90°，ABD+BAD=90°，BAC=90°，CAE+BAD=90°，ABD=CAE，在ABD和CAE中，ABDCAEAAS，AE=BD=1，CE=2，由勾股定理得：AB=AC=，=，BC=应选：B7如图，在RtABC中，C=90°，BAC=30°，C的平分线与ABC的外角的平分线交于E点，则AEB是A50°B45°C40°D35°【解答】解：E在C的平分线上，E点到CB的距离等于E到AC的距离，E在B的外角的平分线上，E点到CB的距离等于E到AB的距离，E点到AC的距离等于E到AB的距离，AE是BAC的外角的平分线在RtABC中，C=90°，BAC=30°，ABC=60°，EB是ABC的外角的平分线，ABE=60°，AEB=180°60°75°=45°应选B8如图，在ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则BDC的周长为A14B16C18D20【解答】解：边AB的垂直平分线交AC于点D，AC=6，BC=4，AD=BD，BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=10+8=18应选C9AD和BE是ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则ABC的度数为A45°B135°C60°或120°D45°或135°【解答】解：有2种情况，如图1，2，BH=AC，BEC=ADC，AHE=BHD，HAE+C=90°，HAE+AHE=90°，C=AHE，C=BHD，HBDCAD，AD=BD如图1时ABC=45°；如图2时ABC=135°HEAC，C+EBC=90°，HDC=90°，H+HBD=90°，HBD=EBC，由可得，C=H，BH=AC，ADC=BDH，C=H，HBDCAD，AD=BD，ABD=45°，ABC=135°应选D10如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，AB=3，AD=4，则DE=DF；DF=EF；DCFDGE；EF=上面结论正确的有A1个B2个C3个D4个【解答】解；如图作EMBC于M四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，ADC=GDF=C=G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4EDG=CDF，在DEG和DFC中，DEGDFC故正确，DE=DF，故正确，设DF=FB=*，则CF=4*，在RTDCF中，DF2=CD2+CF2，*2=4*2+32，*=，DE=DF=，四边形AEMB是矩形，AE=BM=，ME=AB=3，MF=BCBMCF=44=，在RTEFM中，EF=故正确，错误假设DF=EF，DE=DF，EF=DE=DF，DEF是等边三角形，DFE=60°，BFE=DFE=DFC=60°，这显然不可能，假设不成立，故错误故正确的有3个，选C11如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、S，假设AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有PA平分BAC；AS=AR；QPAR；BRPCSPA4个B3个C2个D1个【解答】解：1PA平分BACPRAB，PSAC，PR=PS，AP=AP，APRAPS，PAR=PAS，PA平分BAC；2由1中的全等也可得AS=AR；3AQ=PR，1=APQ，PQS=1+APQ=21，又PA平分BAC，BAC=21，PQS=BAC，PQAR；4PRAB，PSAC，BRP=CSP，PR=PS，BRP不一定全等与CSP只具备一角一边的两三角形不一定全等应选B12如图，ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时点E不与A、B重合，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；2S四边形AEPF=SABC；BE+CF=EF上述结论中始终正确的有A4个B3个C2个D1个【解答】解：APE、CPF都是APF的余角，APE=CPF，AB=AC，BAC=90°，P是BC中点，AP=CP，在APE和CPF中，APECPFASA，同理可证APFBPE，AE=CF，EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=SABC，正确；故AE=FC，BE=AF，AF+AEEF，BE+CFEF，故不成立始终正确的选项是应选B二填空题共6小题13如图：DAE=ADE=15°，DEAB，DFAB，假设AE=8，则DF等于4【解答】解：作DGAC，垂足为GDEAB，BAD=ADE，DAE=ADE=15°，DAE=ADE=BAD=15°，DEG=15°×2=30°，ED=AE=8，在RtDEG中，DG=DE=4，DF=DG=4故答案为：414如图，RtABC中，C=90°，B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，假设CE=3，则BE=3【解答】解：C=90°，B=22.5°，DE垂直平分AB故B=EAB=22.5°，所以AEC=45°又C=90°，ACE为等腰三角形所以CE=AC=3，故可得AE=3故答案为：315如图，点O为CAB与ACD的平分线的交点，OEAC于E，假设OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是4【解答】解：作OGAB于G，OHCD于H，点O为CAB与ACD的平分线的交点，OEAC，OGAB，OHCD，OG=OE=2，OH=OE=2，OG+OH=4，点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是4，故答案为：416如图，ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，假设边BC长为5cm，则ADE的周长为5cm【解答】解：ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，AD=BD，AE=EC，边BC长为5cm，BD+DE+EC=5cm，AD+ED+AE=5cm，故答案为：517如图，直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3把一块含有45°角的直角三角板如下图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为【解答】解：别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，EBC+BCE=90°，BCE+ACF=90°，ACF+CAF=90°，EBC=ACF，BCE=CAF，在BCE与ACF中，BCEACFASACF=BE，CE=AF，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在RtACF中，AF=4，CF=3，AC=5，AFl3，DGl3，CDGCAF，在RtBCD中，CD=，BC=5，所以BD=故答案为：18如下图，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在*轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，假设点B与点C坐标分别为0，1与2，0，则k=6【解答】解：过A点作AD*轴，作AEy轴，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=CB，ACD+CAD=ACD+BCO，CAD=BCO，在ADC与COB中，ADCCOB，AD=CO=2，CD=BO=1，OD=DC+CO=3，矩形ADOE的面积是3×2=6，k=6故答案为：6三解答题共13小题19如图，C=F，ACEF，AE=BD，求证：ABCEDF；BCDF【解答】证明：AE=BD，AE+EB=BD+EB，即AB=ED，ACEF，A=FED，在ABC和EDF中，ABCEDF；ABCEDF，ABC=D，BCDF20如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高求证：1DEF=DFE；2AD垂直平分EF【解答】证明：1AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，DEF=DFE；2在RtAED和RtAFD中，RtAEDRtAFD，AE=AF，而DE=DF，AD垂直平分EF21如图：ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分BAC且MDAB，DNAC延长线于N求证：BM=【解答】证明：连接BD，DC，如图：DE所在直线是BC的垂直平分线，BD=CD，AD平分BAC，过点D作DMAB于点M，DNAC交AC的延长线于点N，DM=DN，在RtBMD与RtCDN中，RtBMDRtCDNHL，BM=；22如图，四边形ABCD中，D=C=90°，AE平分BAD，点E是DC的中点，且E在DC上1求证：BE平分ABC；2求AEB；3求证：AD+BC=AB【解答】1证明：过E作EFAB于F，D=90°，AE平分BAD，EF=DE，E为DC中点，DE=EC，EF=EC，EFAB，C=90°，BE平分ABC；2解：延长AE、BC交于点M，ADBCDAE=CME，AE平分BAD，DAE=BAM，BAM=CME，AB=BM，在ADE和MCE中ADEMCE，AE=EM，DAE=MAE平分BAD，DAE=BAE，M=BAE，AB=BM，AE=EM，BEAM，AEB=90°；3证明：ADEMCE，AD=CM，AB=BM，BM=BC+CM，AD+BC=AB23如图，在ABC中，ACB=45°，AD是ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF1求证：AB=CE；2求证：BF+EF=FD【解答】证明：1AD是ABC的高，ACB=45°，ADB=CDE=90°，ACD是等腰直角三角形，AD=CD，在ABD和CED中，ABDCEDSAS，AB=CE；2如图，在EC上截取EG=BF，ABDCED，B=CED，在BDF和EDG中，BDFEDGSAS，DF=DG，BDF=EDG，FDG=FDE+EDG=FDE+BDF=ADB=90°，DFG是等腰直角三角形，BF+EF=EG+EF=FG=FD，故BF+EF=FD24如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P1找出图中的所有全等三角形2找出一组相等的线段，并说明理由3如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由【解答】解：1BCDACE；BPCAQC；DPCEQC2BD=AE理由：等边三角形ABC、DCE中，ACB=ACD=DCE=60°，BCD=ACE，在BCD和ACE中，BCDACESAS，BD=AE3等边三角形理由：由BCDACE，1=2，BD=AEM是AE的中点、N是BD的中点，DN=EM，又DC=CE在D和ECM中，DECMSAS，=CM，NCD=MCE，MCE+DCM=60°NCD+DCM=60°，即NCM=60°，又CM=，CMN为等边三角形25情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MDMH，且MH交正方形ABCD的外角CBE的平分线BH于点H在AD上取中点G，连接MG，易证得：MBHDGM，则可得：MD=MH建模迁移：如图2，在等边ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M在AM右侧作AMH=60°，与ACB的邻补角A的平分线交于点H1猜测验证：MA=MH；2初步应用：点M在直线BC上运动时，上述1中结论还成立吗？说明理由；3延伸拓展：在2的条件下，过H作HNBC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论【解答】证明：1如图2，过M点作MDAC交AB于D，则BM=BD，ADM=120°AB=BC，AD=MC，CH是ACB外角平分线，所以ACH=60°，MCH=ACB+ACH=120°，又DMC=120°，AMH=60°，HMC+AMD=60°又DAM+AMD=BDM=60°，HMC=MAD，在ADM和MCH中，AMDMHCASA，MA=MH；2成立，如图3，过M点作MDAB交AC延长线于D，MDAB，D=BAC=60°，ACB=60°，DCM=60°，DMC=180°60°60°=60°，CDM是等边三角形，CM=MD，AMH=60°，CMD=60°，AMH+1=CMD+1，即AMD=CMH，在AMD和HMC中，AMDHMC，MA=MH；3由2证得AMNHMC，AN=CH，HDC=90°，HCD=60°，CHD=30°，CH=2CD，AC=BC，=CMAN=AC+=BC+=CB+CM，AN=CH，2CD=CB+CM，即：CB=2CDCM26如图，BCCA，BC=CA，DCCE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF1求证：ACEBCD；2求证：BFAE；3请判断CFE与CAB的大小关系并说明理由【解答】证明：1BCCA，DCCE，ACB=DCE=90°，BCD=ACE，在BCD与ACE中，ACEBCD；2BCDACE，CBD=CAE，BGC=AGE，AFB=ACB=90°，BFAE；3CFE=CAB，过C作CHAE于H，CIBF于I，BCDACE，AE=BD，SACE=SBCD，CH=CI，CF平分BFH，BFAE，BFH=90°，CFE=45°，BCCA，BC=CA，ABC是等腰直角三角形，CAB=45°，CFE=CAB27如图，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结ADAG1求证：AD=AG；2AD与AG的位置关系如何【解答】解：1BE、CF分别是AC、AB两边上的高，AFC=BFC=BEC=BEA=90°BAC+ACF=90°，BAC+ABE=90°，G+GAF=90°，ABE=ACF在ABD和GCA中，ABDGCASAS，AD=GA，2结论：AGAD理由：ABDGCASAS，BAD=G，BAD+GAF=90°，AGAD28如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，EF垂直平分BD求证：ABD=BDF【解答】证明：EF垂直平分BD，FB=FD，FBD=BDF，BD是ABC的平分线，ABD=FBD，ABD=BDF29如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC、BD，假设AB=AC且ABD=60°求证：AB=BD+CD【解答】证明：如图作AMCD于M，ANBD于NAB=AC，ABC=3，2=3，1=ABC，1=2，AMCD，ANDB，AM=AN，在RTABN和RTACM中，ABNACM，BN=CM，在RTADN和RTADM中，ADNADM，DN=DM，BD+CD=BN+ND+CD=BN+CM=2BN，在RTABN，ANB=90°，ABN=60°，BAN=30°，AB=2BN，AB=BD+CD30如图，等腰ABC中，AC=BC，BDC和ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G求证：G为AB的中点【解答】证明：CA=CBCAB=CBAAEC和BCD为等边三角形CAE=CBD，FAG=FBGAF=BF在三角形ACF和CBF中，AFCBCFSSS，ACF=BCFAG=BG三线合一G为AB的中点31如图，四边形ABCD中，ABC=90°，点E是AB上的点，ECD=45°，连接ED，过D作DFBC于F，DF=BC求证：EDFC=BE【解答】证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，DFBC，CBG=DFC=90°，在BCG和FDC中BCGFDC，CD=CG，1=2，1+DCF=90°，2+DCF=90°，DCE=45°，ECG=45°，DCE=ECG，在DEC和EGC中，DECEGCSAS，ED=EG，EDFC=BE. 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