电磁场与电磁波电子教案

第三章 静态电磁场及其边值问题的解 31 真空中静电场的基本方程 场的基本方程 由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。 一、真空中静电场的散度 高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明，真空中静电场的散度为 静电场高斯定理微分形式 说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小； 2）对于真空中点电荷，有 2、高斯定理 讨论：1）物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关）； 2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场； 3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。 二、真空中静电场的旋度 环路定理 当A点和B点重合时， 静电场环路定理的积分形式由斯托克斯公式， 环路定理的微分形式讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。三、真空中静电场性质小结1、 微分形式 积分形式2、静电场性质：有源无旋场，是保守场3、静电场的源：电荷讨论：对于静电场，恒有 ，而 为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。补充内容：利用高斯定理求解静电场 1、 求解关键：高斯面的选择2、 高斯面的选择原则：1） 场点位于高斯面上2） 高斯面为闭合面3） 在整个或分段高斯面上，或为恒定值。3、 适用范围：呈对程分布的电荷系统。电位函数一、 电位函数与电位差1、 电位函数可用一标量函数表示 讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中， 2、 电位差（电压） 电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算： 电场空间中两点间电位差为： 说明：1）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功； 2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。3、电位参考点 电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性 设 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则：1） 应使电位表达式有意义；2） 应使电位表达式最简单；3） 同一个问题只能有一个参考点；4） 电位参考点的电位值一般为零。二、 电位函数的求解1、 点电荷的电位 Q q p 选取Q点为电位参考点，则 若参考点Q在无穷远处，即，则 点电荷在空间产生的电位 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。2、 无限长线电荷的电位 Q p 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取柱面为电位参考点，即，得 无限长线电流在空间产生的电位3、 分布电荷在空间产生的电位体电荷：面电荷：线电荷：说明：若参考点在无穷远处，则 。综上所述，电位是一标量电位是一相对量，与参考点的选取有关电位差是绝对的 引入电位函数的意义：简化电场的求解间接求解法在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系得到电场解。三、电位的微分方程 1、方程的建立有源区 即 电位的泊松方程无源区 电位的拉普拉斯方程（不同坐标系下方程的表示略）电位的边界条件 有 若 有 3 电容一、电容 1、孤立导体的电容 定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即 电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关；例： 空气中半径为a的孤立导体球 2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容） C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等） 3.1.4电场能量一、空间总电场能量1、 分布电荷总能量空间电荷分布 ，在空间中产生的电位为，空间总电场能量为： 说明：1）此公式只适用于静电场能量求解； 2） 不表示能量密度； 3）为空间中自由电荷分布； 4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。2、带电导体系统总能量若电量为的电荷分布在导体上，导体电位为，空间总静电场能量为 导体所带电量N个导体， 导体电位二、 电场能量密度 第一项： 电场能量密度例 P102三、静电力(虚位移法)虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为： (力为广义力) 该虚功等于电荷体系能量的减少 若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为，则该系统的能量关系为 3.2恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场） 一、恒定电场基本方程基本量 基本方程： 有源无旋场 恒定电场空间中电荷分布不变 由电流连续性方程， ，有 均匀导电媒质，=常数由 二、欧姆定律体积元：电导率，电场由欧姆定律 单位矢量讨论：1）在理想导体内，恒定电场为0； 2）恒定电场可以存在于非理想导体内； 3）在导电媒质内，恒定电场和的方向同。三、焦耳定律 在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量，运动速度为，则电场力在时间所做的功为 功率 电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为焦耳定律的微分形式体积为V的导电媒质内的损耗功率为焦耳定律的积分形式 四、恒定电场边界条件 的边界条件 的边界条件 电位边界条件讨论： 若 ，则 在理想导体表面上，和都垂直于边界面。静电场和性质的比较：相同点： 不同点：1、 场性质相同，均为保守场； 1、源不同；2、 场不随时间改变； 2、存在区域不同，静电场只能 3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内 。静电场 恒定电场 静电比拟 真空中恒定磁场基本方程1、磁场基本方程 恒定磁场性质：1） 无源场，磁感应线无头无尾且不相交；2） 有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。 注意：1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关； 2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，为回路C内外的电流共同产生。2、边界条件 若，则 3.3.2 矢量磁位一、矢量磁位的引入 （）二、库仑规范 要求：与间满足一一对应关系1、 矢量位的任意性设 为任意标量场 而 有 而 上式表明和为性质不同的两种矢量场，这意味着满足的有无限多个。2、 库仑规范条件由上所述，必须引入新的条件对进行限定。由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，的旋度已知，必须对其散度进行限定。令 库仑规范条件注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁位的求解1、矢量磁位满足的方程