全国大学生数学模型联试题的解课程

1992年全国大学生数学模型联试题(1992年11月27-29日)A题 施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N),钾(K),磷(P)某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨, kg表示公斤,当一个营养素的施肥量变化时,总将另二个营养素的施肥量固定在第7个水平上,例如N做实验时,P与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha.土豆:NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha) 施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)0 3467101135202259336404471024497398147196245294342  04793140186279372465258251生菜:NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha) 施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)028568411216822428033639204998147196294391489587685 6.399.4812.4614.3317.1021.9422.6421.3422.0724.53 04793140186279372465558651试分析施肥量与产量之间关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价本题是由北京理工大学应用数学系叶其孝建议的,可参看Tony Barnes, Estimating fertilizer roquirements of vegetable crops, Mathematical ModellingA Source Book of Case Studeies,Edited by I.D.Huntley and D.J.G.James, Oxford University Press, 1990,341356.全国一等奖论文本题用回归模型解决,让我们看一个例子例 对8个学生调查其智商iq和课后复习某门课时间t,该门课考试成绩g,得下表试建立由智商和复习时间预测该课程考试成绩的公式表 8个学生学习成绩iqtg10510751101279120668116385122169l13087911420981021576这个问题中,学生考试成绩g受他的智商iq和复习某门课时间t影响,3个变量g,iq,t间存在密切关系但是它们的关系不是确定性关系而是相关关系对本例我们假设分数是可连续取值的,并且认为:智商越高,成绩越好;复习时间越多,学习成绩越好;并且假设智商与复习时间对考试成绩的影响是线性的但每个人会遇到其它方面的影响,如精力旺盛与否,学习积极性,亲友对该课程知识的介绍,报纸杂志对该课程的介绍等因此g与iq及t的关系只能是相关关系,于是对一般的学生成绩建立数学模型 用计算机软件却可以方便地完成回归计算,SAS的REG,RSREG,ORTHOREG和GLM过程都可以用来作回归其中REG过程具有许多功能,例如模型选择回归诊断等,所以一般情况下总用REG作线性回归REG过程主要有两个语句:PROC REG语句和MODEL语句,其功能如下(1)PROC REG语句用以调用REG过程,同时可以加上若干选项,其中DATA=用以说明线性回归所用的数据集,如果没有这一选项,就用最新产生的数据集作回归 (2)MODEL语句中有等号,等号前的变量被指定为响应变量,等号后的变量被指定为自变量 对于上例可以采用如下SAS程序data score;input iq t g;cards;105 10 75110 12 79120 6 68116 13 85122 16 91130 8 79114 20 98102 15 76;proc reg data=score;/*调用reg过程*/model g=iq t;/*解释变量是iq和t,应变量是g*/run;执行程序后计算机打出2个数表:方差分析表(表头Analysis of Variance),参数估计表(表头Parameter Estimate)以下分别介绍这2个表所反映的信息 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F表的上半部分是方差分析表,即表,SourceDFSum of SquaresMean SquareF ValuePr>FModel2Error5.Corrected Total7.第1列指出各行平方和来源:第2行是回归平方和;第3行是残差平方和;第4行是前两行之和第2列(DF)表示自由度,分别是2,5和2+5=7;第3列是平方和:SSR=596.11512,第第第6列是自由度为2,5的F分布随机变量大于32.57的概率,这概率小于0.01等价于F大于0.99分位数点,因而线性关系是显著的表的下半部分给出 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|上表为参数估计表,即VariableDFParameter EstimateStandard Errort ValuePr>|t|Intercept1iq1t1各列各行含义如下:第1列为变量,从中可见第2行是(intercept), 第3行是(iq的系数),第4行是(t的系数)第2列为自由度,各变量自由度都是1第3列为参数估计值:=0.73655,=0.47308,第4列为标准误,第5列为t值:,第概率小于由此可见智商和复习时间对得分的作用是显著的;而常数的作用是不显著的常数反映教师的作用,由检验可以看出教师的教学效果是不好的 让我们回到1992试题查文献可知:土豆产量是N,P,K产量的二次多项式于是建立回归模型用土豆-N,P,K数据代入,得SAS程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards;proc reg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk;run;执行後出现“Model is not full rank. Least-squares solutions for the parameters are not unique”说明模型不满秩,可用逐步回归筛选主要因子采用程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards;proc reg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk/selection=stepwise;run;得到输出 Stepwise Selection: Step 7 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 5 1588.02719 317.60544 52.46 <.0001 Parameter Standard Variable Estimate Error Type II SS F Value Pr > F Intercept 34.21183 1.51322 3094.73186 511.15 <.0001 nn -0.00032100 0.00003116 642.51487 106.12 <.0001 kk -0.00007747 0.00001300 215.00773 35.51 <.0001 np 0.00037276 0.00005818 248.56345 41.05 <.0001 nk 0.00030883 0.00003063 615.31969 101.63 <.0001由此可得回归方程若再加上市场价格就能寻求最佳施肥方案练习题为了制造猪饲料,采用4种辅料,使用量分别是X1-X4,相应的猪饲料产量是y,试验16次,得到结果如下表找出X1-X4的最好二次多项式,用来预报Y方案序号X1X2X3X4y11012753104851041072455201261062024757204845820725109301255103024410113048710123072651350124101450245515504865165072710