线面角的求法

2021/6/301直线与平面的夹角直线与平面的夹角高二、二部刘静2021/6/302一、教学目标：1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式解决一些问题。2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。二、教学重点和难点：重点：线面角的概念、最小角定理难点：线面角的求法三、教学方法：启发探究四、教学过程：2021/6/303问题问题1 1：直线与平面的位置关系有哪几种？直线与平面的位置关系有哪几种？900规定：规定：如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线和平面的夹角为直线和平面的夹角为 。如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线和平面的夹角为们规定这条直线和平面的夹角为 。问题问题2 2：平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？2021/6/304aOABCDEAOB最小2021/6/305研究斜线与平面内的任意直线所成角的研究斜线与平面内的任意直线所成角的关系：关系：0AM已知OA是平面 的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面内的射影。设OM是平面内通过点O的任意条直线 OA与OB所成的角为 OB与OM所成的角为 OA与OM所成的角为aa1q2qq1q2qq证明： （向量法）1qq2021/6/306OAOBBA=+ OA mOB mBA m=+ 下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：M1q2qqA0在直线OM上取单位向量m m0BA m = OA mOB m= 2coscosOAOBqq= 2coscosOBOAqq= 12coscoscosqqq=所以20cos1q1coscosqq1090qq（）cos,a ba ba b= 2021/6/307斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角1、最小角定理：、最小角定理： 斜线斜线和它在平面内的和它在平面内的射影射影所成的角，是斜所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中线与这个平面内所有直线所成角中最小最小的角。的角。 2、规定：、规定：斜线斜线和它在平面内的和它在平面内的射影射影所成的角叫所成的角叫做做斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。（或斜线和平面的夹角）。2021/6/3081 1 11ABCD ABCD- 1A B11BDD B1A B1A1C1B1D证明111111111tan14545A AACABA BACA BARtABCA AABA AA BAABA BAA BABC D = =平 面是在 平 面就 是在中 ，与 平 面所 成 的 角 是所求的线面角O2021/6/3091 1 11ABCD ABCD- 1A B1 1BDDB1A B1A1C1B1DO111BOA BBB D D是在平面的射影1111111111111111111111,A CB DA CBBB DBBBB DBB D DBBBB D DA CBB D D=面面面连接 交 于点 ，连接11A COBO11B D11BB D D301A B解：1A BO 就是所求的线面角111111122 ,21sin230RtA BOA BA OA OA BOA BA BO= =在中 ，直线 与平面 所成的角为2021/6/30101 1 11ABCD ABCD- 1A B11BDD B1A B1A1C1B1DO以点D为原点建立空间直角坐标系D;X,Y,Z, 如图所示向量法：1(0,1,1)A B =-1(1, 0,1)(1,1, 0)(1, 0, 0(0,1, 0)(0, 0, 0)ABACD）11111n=0 0 1n12cos, n22n, n, n135ABCDA BA BA BA BA B = 90 180 = 面的 法 向 量 是（ ，）S145A BABCD与面所成的角是2021/6/3011（2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论2021/6/3012练习练习:选择题：1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA平面ABCD所成角的余弦值等于（ ）21,A22,B32,C33,D2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD与底面所成角的正弦值为（ ）22,A31,B33,C36,D3、三棱锥P-ABC中， 为等边三角形，且 ,D是PC中点，则BD与平面ABC所成角的正切值为（ ）,PAPB PBPC PCPAABC2021/6/3013小结：小结：作业：作业：课本课本108108页课后题。页课后题。 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！