福建师范大学22春《常微分方程》离线作业二及答案参考11

福建师范大学22春常微分方程离线作业二及答案参考1. 下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin2xDcos2x下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin2xDcos2x，2cos2x正确答案：D同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选D.2. 若一个向量乘以 i，则可以理解为：A、旋转90度B、旋转180度C、乘以1D、乘以1若一个向量乘以 i，则可以理解为：A、旋转90度B、旋转180度C、乘以-1D、乘以1正确答案： A3. 设总体XN(8，22)，抽取样本X1，X2，X10求下列概率设总体XN(8，22)，抽取样本X1，X2，X10求下列概率$4. 仿射变换把圆变成_。仿射变换把圆变成_。参考答案：椭圆5. 当x0时，下列函数是无穷大量的是( )。A.1/exB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D6. 设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设l(cos，cos)，由于    fl(x，y)fx(x，y)cos+fy(x，y)cos0，    所以gradf(x，y)l 7. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格8. 对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%可信区间。正常男子的空腹血糖值的95%可信区间是    96.3m104.9 9. 在实际工作中，经常会遇到只有各组的标志总量和各组的变量值，缺少_的资料，这时计算平均数就需要利用加在实际工作中，经常会遇到只有各组的标志总量和各组的变量值，缺少_的资料，这时计算平均数就需要利用加权调和平均数公式计算。各组单位数10. 设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问 (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论. (2) 4设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问  (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论.  (2) 4能否由1，2，3线性表出?证明你的结论.(1) 解法1 1能由2，3线性表出.因为已知2，3，4线性无关，所以2，3线性无关，又因为1，2，3线性相关，由定理3.7即知1能由2，3线性表出.    解法2 1能由2，3线性表出.因为已知1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使    k11+k22+k33=0    其中k10.因为若k1=0，则k2，k3不全为零，使k22+k33=0，即2，3线性相关，从而2，3，4线性相关，这和已知矛盾，故k10，于是得        (2) 4不能由1，2，3线性表出.用反证法：设4可由1，2，3线性表出，即有数1，2，3，使得4=11+22+33.由(1) 知，有1=l22+l33，代入上式，得    4=(2+1l2)2+(3+1l3)3    即4可由2，3线性表出，从而2，3，4线性相关，这与已知矛盾.因此，4不能由1，2，3线性表出.本题主要利用了部分组与整体组的线性相关性之间的关系.注意，由本题(1) 的结论已说明2，3是向量组1，2，3的一个极大无关组，由于在线性表出问题中，极大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，则本题(2) 的结论是显然的. 11. 二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例( )二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例(  )正确12. 曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_(0，-2)13. 设f(x，y，z)=Ax2By2Cz2DxyEyzFzx，试按h，k，l的正数幂展开f(xh，yk，zl)设f(x，y，z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx，试按h，k，l的正数幂展开f(x+h，y+k，z+l)14. 偏序集合的哈斯图一定是一个连通图( )偏序集合的哈斯图一定是一个连通图(  )错误15. 寄存器A是一个8位寄存器，输入为x，寄存器操作为以下语句描述 P:A8x，AiAi+1 试说明该寄存器的功能。寄存器A是一个8位寄存器，输入为x，寄存器操作为以下语句描述  P:A8x，AiAi+1  试说明该寄存器的功能。从高位输入的8位串行移位寄存器。16. 设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明： a)设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且  li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明：  a)  b)a)    (1)        由此直接得    (2)    由于矩阵    (3)    是从正交基(i，j，k)到正交基(l1，l2，l3)的过渡矩阵，故矩阵(3)是正交矩阵，由式(2)直接得出等式a)    b)先求是式(1)中的第一个等式：        类似求，再把所得三个等式相加得        利用矩阵(3)的正交性，由此直接得等式b) 17. 证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。正确答案：18. 函数y=sinx在其定义域内有界。( )A.错误B.正确参考答案：B19. 以下数列中是无穷大量的为( )A.数列Xn=nB.数列Yn=cos(n)C.数列Zn=sin(n)D.数列Wn=tan(n)参考答案：A20. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是Sl2，所以饲养食物量l221. 顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)2(3x+4y+z-10)2=13(x-2)2+(y-1)2+z222. 求下列二元函数的二阶偏导数：求下列二元函数的二阶偏导数：计算一阶偏导数    z'x=y4-2xy    z'y=4xy3-x2    所以二阶偏导数    z"xx=-2y    z"xy=z"yx=4y3-2x    z"yy=12xy2$计算一阶偏导数    z'x=exy(xy)'x=yexy    z'y=exy(xy)'y=xexy    所以二阶偏导数    z"xx=yexy(xy)'x=y2exy    z"xy=z"yx=exy+yexy(xy)'y=exy+xyexy=(1+xy)exy    z"yy=xexy(xy)'y=x2exy 23. 设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得  证明令F(x)=lnf(x)，则    因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得    F(b)-F(a)=F'()(b-a)，即        分析将要证的等式变形为        可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)，在a，b上应用拉格朗日定理 24. 求y"3y&39;4y=0满足初始条件y(0)=1，y&39;(0)=1的特解。求y"-3y'-4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=1的特解。答案：25. 试用常数变易法求方程 y"-y&39;-2y=ex-2xex的一个特解试用常数变易法求方程  y"-y'-2y=ex-2xex的一个特解相应齐次方程的通解是    y=C1e2x+C2e-x    要得到非齐次方程的通解，C1、C2不能是常数，而令y=u1(x)e2x+u2(x)e-x，出现两个待定函数u(x)、u2(x)，需要两个独立方程，其中一个是y应当满足原题所给方程另一个可以由我们自由确定由    y'=u'(x)e2x+u'2(x)e-x+2u1(x)e2x-u2(x)e-x    令    e2xu'1(x)+e-xu'2(x)=0    (1)    这时，y'=2u1(x)e2x-u2(x)e-x，    y"=4u1(x)e2x+u2(x)e-x+2u'1e2x-u'2e-x    代入题中的非齐次方程，得    2u'1e2x-u'2e-x=ex-2xex    (2)    联立(1)、(2)，解之得    3e2xu'1=ex-2xex    3e-xu'2=2xex-ex    求得u1，u2各一特解为            故得所求方程的一个特解为        =xe-x本题介绍求二阶线性非齐次方程特解的常数变易法请与上题比较两种常数变易方法的异同点，并用待定系数法求本题的通解 26. ( )是函数f(x)=1/2x的原函数。A.F(x)=ln2xB.F(x)=-1/x2C.F(x)=ln(2+x)D.F(x)=lnx/2参考答案：D27. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为    试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立    相关系数为 28. 对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( ) A离散型分布对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为(  )  A离散型分布    B连续型分布  C只能为正态分布  D任何类型分布D29. 设u=f(r),证明: .  设u=f(r),证明:  .因为    所以    故    . 30. 下列论断哪些是对的，哪些是错的?对于错的举出反例，并且把错误的论断改正过来 (i) (ii) (iii) (iv)下列论断哪些是对的，哪些是错的?对于错的举出反例，并且把错误的论断改正过来   (i)  (ii)  (iii)  (iv)(i)对      (ii)错 例如，A=1，2，B=2)应改为    (iii)错 例如，以、B同(ii)所设，应改为    (iv)对 31. 已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正确的是( ) AP(A+B)=1 B C D已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正确的是(  )  AP(A+B)=1 B CDD32. 以下两种陈述有何差别? (1)A1，An有一个发生； (2)A1，An恰有一个发生以下两种陈述有何差别?  (1)A1，An有一个发生；  (2)A1，An恰有一个发生在陈述(1)，(2)中都包含了A1，An只发生一个的情况但在陈述(2)排除了A1，An中有2个或2个以上同时发生的情况，而对陈述(1)并未将这些情况排除在外，事实上我们可表述如下：    A1，An有一个发生=A1An，     33. 设X0是函数f(x)的可去间断点，则( )A.f(x)在x0的某个去心领域有界B.f(x)在x0的任意去心领域有界C.f(x)在x0的某个去心领域无界D.f(x)在x0的任意去心领域无界参考答案：A34. 设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值证 由假设，f(x)在a，+)上取得正值，故有x0a，+)，f(x0)0.由于，故对=f(x0)0，当xX时，有        显然x0a，X.由于f(x)在a，X上连续，故f(x)在a，X上必取得最大值M，且Mf(x0)而当xX时，f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa，+)这就证明了f(x)在a，+)上必取得最大值    类似地，可以证明f(x)在a，+)上必取得最小值. 35. f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；正确答案：f(x1x2x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3都大于零所以这个二项型是正定的f(x1,x2,x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3,都大于零所以这个二项型是正定的36. 下列各微分式不正确的是( )。A.xdx=d(x2)B.cos2xdx=d(sin2x)C.dx=-d(5-x)D.d(x2)=(dx)2参考答案：ABD37. 运输问题有可行解的充要条件是运输问题有可行解的充要条件是  必要性，设xij(0)是问题的可行解，则有        从而有        充分性记,令    (i=1，2，m；j=1，2，n)，则易验证(xij)满足问题，即xij)是运输问题的一个可行解 38. y"+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y"+4y'+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式(  )正确39. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正确B.错误参考答案：B40. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算    (1)积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单 41. 设Aa是Cn×n上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何A设Aa是Cn×n上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何ACn×n，Ab=BACa定义了Cn×n上的一个相容矩阵范数正确答案：首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性 对任意A0则BAC0即BACa>0且BACa=0当且仅当A=0齐次性 Ab=B(A)Ca=BACa=Ab. rn 三角不等式A1+A2b=B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aBA2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性对任意A0,则BAC0,即BACa>0,且BACa=0当且仅当A=0齐次性Ab=B(A)Ca=BACa=Ab.三角不等式A1+A2b=B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aBA2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕42. 函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于( )A.2008B.cosx-sinxC.sinx-cosxD.sinx+cosx参考答案：B43. 自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=0.05下，检验下列假设：自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=0.05下，检验下列假设：是2未知，单总体均值的双侧检验，=0.05，待检假设H0：=3 由n=100，s2=2.2727，=2.7，计算T检验统计量，得        查表得t0.025(99)z0.025=1.96，经比较知，|t|=1.9894t0.025(99)=1.96，故拒绝H0，认为3$由于已知，可用检验统计量，待检假设    H0：0=2.5    这是双侧检验，查表得，而    ，故接受H0，认为2=2.5 44. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。因为        f(0)=1    又由题设f(x)在x=0处连续，知        即a=lnb=1  则a=1，b=e 45. 设总体X的概率密度为 其中0为待估参数从X中抽得样本X1，Xn试求的矩估计和最大似然估计设总体X的概率密度为    其中0为待估参数从X中抽得样本X1，Xn试求的矩估计和最大似然估计46. 测定预测误差的统计指标主要有( )。 A总预测误差 B平均绝对误差 C相对误差 D均方根误差 E平均误测定预测误差的统计指标主要有(  )。  A总预测误差  B平均绝对误差  C相对误差  D均方根误差  E平均误差ABCD47. 已知函数y=|x|/x，则下列结论正确的是( )。A.在x=0处有极限B.在x=0处连续C.在定义域内连续不可导D.在定义域内连续可导参考答案：D48. 设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1|sinx|)，则f(0)=0是F&39;(0)存在的( ) (A) 必要但非充分的条件 (设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F'(0)存在的(  )  (A) 必要但非充分的条件  (B) 充分但非必要的条件。  (C) 充分必要条件  (D) 既非充分也非必要条件49. 设y=sintdt，求y&39;(0)，设y=sintdt，求y'(0)，y'(x)=sinx，     y'(0)=0， 50. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：  设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：  证明 必要性  依题设知，对任给0，/2，存在N，使得    m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2  (kN).    从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得所证    充分性  记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得    m(xE：|fk(x)-f(x)|)  (kN)    这说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 51. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等；问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等； (4)对角线互相平分； (5)对角线互相垂直； (6)对角线是角的平分线； (7)对角线相等； (8)面积等于一边的平方正确答案：(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质52. 在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立现从该班中任在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立现从该班中任取一名学生，求该生的数学、外语两门课中只有一门及格的概率记A=该学生数学及格，B=该学生外语及格    由题意，A与B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.8    所求概率为：    题中不相容，而，注意理解其区别，不要相混。所求的是“只有一门课及格”的概率，勿写成P(AB)(“AB”是“至少一门课及格”) 53. a是a与0的一个最大公因数。( )a是a与0的一个最大公因数。( )正确答案：54. 若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶群有_个若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶群有_个1$255. 试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性： x&39;=y+x-x3，y&39;=-x-y3试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性：  x'=y+x-x3，y'=-x-y3当0时取定正函数V=x2+y2，因V'=2x2-2(x4+y4)定负，方程组的零解渐近稳定而当0时因线性近似方程组的特征方程2-+1=0的根有正根，方程组零解不稳定56. 设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵，57. 两个无穷小的差也为无穷小。( )两个无穷小的差也为无穷小。( )正确答案： 58. 在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面的解法是否正确?如不正确，错在哪里?解法：因试验可能结果只有两个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而此解法是错误的，这种解法是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的两部分不是等可能的，因而不能据此进行计算    正确的解法如下：掷两枚骰子的样本空间可形象地表为=(i，j):i，j=1，2，6，数对(i，j)表示两枚骰子分别出现的点数，因而一个数对即对应着一个样本点，一共含有62=36个这样的数对，每个数对出现的可能性都等于，而事件A只含有(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)这样四个数对，因而在几何概型的概率计算中，关键在于正确地刻画出事件A所对应的子区域SA在下例中找出SA是什么    例甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率    我们记该事件为A，甲、乙到达时间分别为x，y(单位：h)，则=(x，y)：0x24，0y24.为求SA，注意到，A发生当且仅当甲、乙到达时间之差不超过6h，即|x-y|6，因而    SA=(x，y)：0x24,0y24,|x-y|6,即图2.1中阴影部分区域，所以       59. 设A为n阶正交矩阵，Rn，求证设A为n阶正交矩阵，Rn，求证60. 已知是全微分表达式则a=( ) (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2已知是全微分表达式则a=(  )  (A) -1  (B)0  (C) 1  (D) 2D用凑全微分法：由于分母是x+y的平方，故分子应凑为(x+y)及d(x+y)的形式为此考察    (x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy与(x+y)-2恰好构成全微分：    因此a=2        解2  用即可得a=2    解3  用待定系数法，原函数必为的形式，作全微分得                比较得A=1(B=0，C=-1)，因而a=2