福建师范大学22春《复变函数》综合作业一答案参考37

福建师范大学22春复变函数综合作业一答案参考1. 设f是上的实函数，(x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy是连续的证明f在上Borel可测设f是上的实函数，(x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy是连续的证明f在上Borel可测证明注意两Borel函数的和、差、积、商以及Borel函数列的极限仍然是Borel函数现在对x所在的每个区间j，j+1(j)k等分，构作fk(x，y)以0，1为例，当时，令        按题设，每个fx是Borel可测的，又因为与显然是Borel函数，于是，fk(x，y)是上的Borel函数从而fk(x，y)是Borel函数以下证明fk(x，y)=f(x，y)只须证其在0，1×上成立设0由于fy连续，0，当x1，x20，1，|x1-x2|时，有|f(x1,y)-f(x2,y)|/2；又因为，kk0，有|ai-ai-1|=1/k(i=1，2，k)；故对xai-1，ai(i=1，2，k)有        |f(ai-1,y)-f(x,y)|    +|f(ai，y)-f(x，y)|，这表明，由此可知f是上的Borel函数 2. 计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)当R1时，L不包含原点，因此P、Q在L所围的闭区域D上具有一阶连续偏导数，由格林公式，原式=    当R1时，原点在L所围的区域内，需删除此点才可用格林公式，如图10-3所示，作小椭圆l：4x2+9y2=2(应小到使l包含在L内)，l取顺时针方向在L与l所围的复连域D'内，P、Q具有一阶连续偏导数，满足格林公式条件，于是有        原式=  (在l上总满足4x2+9y2=2)      (l-上应用格林公式)             3. ，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域积分区域D如图8.24所示，0y，0xy                 4. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：  甲：88，87，92，90，91  乙：89，89，90，84，88  假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高5. 设有方程组，问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?设有方程组5a+3b=r（A/B），问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?线性代数，计算呗，最后我的结果 a0,b1，有唯一解 a1/2,b=1，无解 a=1/2,b=1，无穷多解6. 求微分方程xy"=y&39;-xy&39;2的通解求微分方程xy"=y'-xy'2的通解方程属于y"=f(x，y')型令y'=p，则，方程化为伯努利方程        因此，可化为        解该方程，得            即        故        是方程的通解 7. 下列数列收敛于0的有( ). A，0，0，0， B1， C D下列数列收敛于0的有(  ).  A，0，0，0，  B1，  C  DABCD因为这些数列的奇数项和偶数项都收敛于08. 试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组特征方程        有2重特征根=0 直接利用矩阵指数函数式        通解为或x=(1+2t)c1+4tc2，y=-tc1+(1-2t)c2其中c1，c2为任意常数$特征方程为        得单根=0，2重特征值=1 对应=0的特征向量满足        ，    其中0为任意常数对应2重特征值=1的特殊向量满足                    其中，是不全为零的任意常数    对初值条件x(0)=有=u+v，即    ，        由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解    x=u+etE+t(A-E)v            依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得    $特征方程为        得单根=1，2重特征值=2 对应=1的特征向量满足                其中0为任意常数对应2重特征值=2的特殊向量v满足            ，    其中，是不全为零的任意常数    对初值条件x(0)=有=u+v，即                由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解    x=etu+e2tE+t(A-2E)v            依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得     9. 已知，证明级数收敛，并求级数的和已知，证明级数收敛，并求级数的和                    即有    因此                则    所以，级数收敛，其和为 10. 如果m=m1m2,且(m1,m2)=1，有m|xy,则m1|xy,m2|xy.( )如果m=m1m2,且(m1,m2)=1，有m|x-y,则m1|x-y,m2|x-y.( )正确答案： 11. 设A，B是同阶方阵，且满足， 求证：A2=A的充分必要条件是B2=E设A，B是同阶方阵，且满足，  求证：A2=A的充分必要条件是B2=E由于B与E可交换，故(B+E)2=B2+2B+E，故                 12. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设    都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得  对f(x)与g(x)施行辗转相除法        由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而                从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 13. 试证明： 设，且m*(A)，m*(B)，则 |m*(A)-m*(B)|m*(AB);试证明：  设，且m*(A)，m*(B)，则  |m*(A)-m*(B)|m*(AB);证明 因为，所以m*(A)m*(B)+m*(AB).从而可知m*(A)-m*(B)m*(AB).类似地，又可得m*(B)-m*(A)m*(AB)综合此两结论，即得所证14. 试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y"'+y"-y'-y=015. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证  ，从而    =(f'x·cos+f'y·sin)2+(-sin·f'x+cos·f'y)2    =f'x2cos2+f'y2sin2+2sincosf'xf'x    +f'x2sin2+f'y2cos2-2sincosf'xf'y     16. 若f，gBV，则|f|，f+，f-，fg，fg属于BV。( )A.正确B.错误参考答案：A17. 利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数                $            $两边同时求微分得            xdx+ydy=xdy-ydx    移项得 (y-x)dy=-(x+y)dx    解得    ， 18. 设函数u=u(x，y)由方程组 所确定，求设函数u=u(x，y)由方程组    所确定，求首先 du=fxdz+fydy+fzdz+ftdt，    又由方程组有        解之，有            所以    因而 19. 求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积20. 某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人 每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人  每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台预报下雨他就带伞，即使预报无雨，他也有一半的时候带伞。求他没带伞而遇雨的概率21. 使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为_。使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为_。y=na+bt    ty=at+bt2 22. 当拉格朗日中值定理中，f(x)满足_时，即为罗尔定理当拉格朗日中值定理中，f(x)满足_时，即为罗尔定理正确答案：f(a)f(b)f(a)f(b)23. 利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6, s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17, x2-x4+2x5-x6+x7=-22,利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6,  s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17,  x2-x4+2x5-x6+x7=-22,  x3+x4+x5-x6+x7=-33,  xi0(i=1，2，7)添加人工约束：x4+x5+x6+x7=M，对扩充问题迭代两次得表7，从表中x2的对应行可知问题无可行解    表7     x1 x5 x6 x7 f -frac175 -frac15-frac95-4-frac15 x8 x2x3x4 M-frac175-22+frac175-33-frac175frac175 -frac15 frac65 0 frac45frac15 frac95 0 frac65-frac15 frac65-2 frac45frac15-frac15 1 frac1524. 若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1( )若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1(  )参考答案：错误错误25. 在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?自反性，传递性     结点vi与vi显然连通(可达)，满足自反性；若vi可达vi，vj可达vk，则vi可达vk，满足传递性；由于有向图中的边是有方向的，vi可达cj，未必有另一条边使vj，可达vi，故不满足对称性 26. 设随机变量X的分布律为 X 0 p 0.4 r 0.1设随机变量X的分布律为 X0p0.4r0.1  且E(X)=0，D(X)=2，试求待定系数，r，其中由离散型随机变量分布律的性质得1=0.4+r+0.1r=0.5    又由数学期望与方差的定义得    E(X)=0=0.4+0×0.5+0.10.4+0.1=0=-4，    D(X)=2=0.4(-0)2+0.5×(0-0)2+0.1(-0)20.42+0.12=2，解得=±1，=4    又，故=-1，=4，r=0.5小结随机变量的分布律(或概率密度)的性质、数学期望和方差的定义在确定待定系数的题目中经常用到，要灵活掌握三者之间的相互转化关系 27. 对原始资料审核的重点是_。对原始资料审核的重点是_。资料的准确性28. 设3阶矩阵已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_。已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_。正确答案：3；3；29. 若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群( )若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群(  )正确30. (1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续  (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)由题意有    因此fg(x)处处连续，自然fg(x)也在x=0点处连续    (2)当0xe时，有        当xe时，有        于是有        又由于    可知f(x)在x-=e点连续，从而f(x)的定义域x0上连续 31. 求(U，V)的相关系数求(U，V)的相关系数正确答案：32. 在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中 x=1，2，3， y=2，3， 证明：(T)由满足|1的一切点组成，在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中  x=1，2，3， y=2，3，  证明：(T)由满足|1的一切点组成，T的特征值由满足|1的一切点组成，对于|=1，I-T是单映射。(1)T=1显然，所以|1时，(T)    (2)|1时，        它有非零解    x=11，2，)lp(10)，    故|1时，|p(T)(特征值)。从而    (T)=1，(T)=|1    (3)|=1时，由(I-T)x=0可知x必具有形式    11，2，    故当且仅当1=0时有xlp所以在lp中(I-T)x=0只有零解，即|=1时，(I-T)是单映射。 33. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示，        定点在(0，0，a)处    则    dF的三个分量为    ，        所求力F=Fx，Fy，Fz    则由对称性知    Fx=Fy=0    而    球面参数方程为    x=Rcossin，y=Rsinsin    z=Rcos    所以    dS=R2sindd，    故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加        令a2+R2-2aRcos=t2    则        所以    此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力    注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为        所以  (aR)    所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 34. 求下列函数的极值： (1) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1求下列函数的极值： (1) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1正确答案：解 (1) D(f)()y5x45 令y0得驻点x11x21rn列表rn解(1)D(f)(,),y5x45令y0得驻点x11,x21列表35. 自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?正确答案：36. 讨论函数f(x)=xex的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，讨论函数f(x)=xe-x的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，函数f(x)=xe-x的定义域为(-，+)，为非奇非偶函数再求其一、二阶导数：   f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)，   f"(x)=-e-x(1-x)-e-x=e-x(x-2)   令f'(x)=0，得驻点x1=1；没有导数不存在的点   令f"(x)=0，得x2=2 讨论f'(x)和f"(x)的符号，列表如下：(-，1)1(1，2)2(2，+)f'(x)+0-f"(x)-0+y=f(x)升凸极大值f(1)=e-1降凸拐点(2，2e-2)降凹   再求渐近线   曲线y=f(x)有水平渐近线y=037. 试证明： 设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零试证明：  设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零证明 由题设可知，对任意的xF以及0，存在自然数指标n，使得fn(x)因为f(x)是连续函数，所以存在x0，使得fn(t)(tB(x，x)注意到B(x，x)是F的开覆盖，故存在有限个开球    B(xi，xi)  (i=1，2，m)，        记与xi相应的自然数指标为ni(i=1，2，m)，则令N=maxn1，n2，nm，我们得到    fn(x)  (nN，xF)    这说明fn(x)在F上一致收敛于0 38. 给定数据 x 0.1 0.2 0.3 f(x) 5.1234 5.3053 5.5684 求一次最小二乘拟合多项给定数据  x0.10.20.3f(x)5.12345.30535.5684  求一次最小二乘拟合多项式设所求一次拟合多项式为    y=0+1x    记x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3，y1=5.1234，y2=5.3053，y3=5.5684，则s0=3，    ，正规方程组为        即        解得0=4.8874，1=2.2250 因而所求一次拟合多项式为y=4.8874+2.2250x 39. 节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节水洗衣机  我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价40. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关  向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量41. 在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y&39;： (1)ycosx=e2y (2)y2+1=exsiny在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y'：  (1)ycosx=e2y  (2)y2+1=exsiny(1)   (2)42. 若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( ) Ady=f&39;(esinx)desinx Bdy=f&39;(esinx)esinx·cosx·dx Cdy=f若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有(  )  Ady=f'(esinx)desinx  Bdy=f'(esinx)esinx·cosx·dx  Cdy=f'(esinx)dx  Ddy=f(esinx)'desinxAB令u=esinx，则y=f(u)    dy=f'(u)du=f'(esinx)desinx，故(A)符合，(C)排除    又desinx=esinx·(sinx)'dx=esinx·cosxdx    dy=f'(esinx)desinx=f'(esinx)·esinx·cosxdx，所以(B)符合    (D)中dy=f(esinx)'desinx=f'(esinx)esinxdesinx，所以(D)也排除 43. 计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。 oplus 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3     otimes 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1     ominus 0 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 1 1 0 4 3 2 2 2 1 0 4 3 3 3 2 1 0 4 4 4 3 2 1 0 44. 欧几里得算法又称辗转相除法。( )欧几里得算法又称辗转相除法。( )正确答案：45. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义：            所以偶函数的导函数为奇函数    法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即    f(-x)=f(x)    两边同时对x求导，得    -f'(-x)=f'(x)，即f'(-x)=-f'(x)，    所以f'(x)是奇函数    类似可以证明可导的奇函数的导函数为偶函数 46. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_47. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。48. 用图解法解下面线性规划问题 max S=x1+x2用图解法解下面线性规划问题  max S=x1+x2  满足约束条件的点为如下图所示的阴影部分，其中BA和CD可延伸到无穷远，所以可行域无界作出等值线x1+x2=0，因为目标函数的截距式为x2=-x1+S(S前面符号为正号)，所以增值方向是使截距向上平移的方向由于可行域无界，所以等值线簇可以无限远离原点，目标函数无上界，从而该问题有可行解但无最优解      另外，由图可知，该线性规划问题有最小值的最优解，其对应点就是无界区域ABCD的一个顶点C(1，0)，此时最优值为1 49. 设A是n阶矩阵，满足(A-E)5=0，则A-1=_设A是n阶矩阵，满足(A-E)5=0，则A-1=_正确答案：A4-5A3+10A2-10A+5EA4-5A3+10A2-10A+5E50. 设区域D为：由以点为顶点的四边形与以点， 为顶点的三角形合成，随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的设区域D为：由以点为顶点的四边形与以点，为顶点的三角形合成，随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘概率密度51. 设数量场，则div(gradu)=_设数量场，则div(gradu)=_     52. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.53. 拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、1.0D、2.0拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、-1.0D、-2.0正确答案： C54. 2xydy=(2y2x)dx2xydy=(2y2-x)dx55. 设X(t)，tT与Y(t)，tT为相互独立的实平稳过程，且EX(t)=mX，EY(t)=mY。令Z(t)=X(t)Y(t)，tT。设X(t)，tT与Y(t)，tT为相互独立的实平稳过程，且EX(t)=mX，EY(t)=mY。令Z(t)=X(t)Y(t)，tT。EZ(t)=EX(t)Y(t)=EX(t)EY(t)=mX·mY=mZ=常数    Z2=EZ2(t)=EX2(t)Y2(t)=EX2(t)·EY2(t)=X2Y2+    RZ(t1,t2)=EZ(t1)Z(t2)=EX(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)=EX(t1)X(t2)EY(t1)Y(t2)=RX(t2-t1)·RY(t2-t1)故Z(t)为宽平稳过程，且    RZ(t2-t1)=RX(t2-t1)·RY(t2-t1)即    RZ()=RX()·RY()$因为EP(t)=EX(t)-mX=mX-mX=0    EQ(t)=EY(t)-mY=mY-mY=0而    RZ(t1,t2)=RX(t1,t2)·RY(t1,t2)令=t2-t1,则    RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=E(P(t1)+mX)(P(t2)+mY)=EP(t1)P(t2)+mXP(t2)+mXP(t1)+mX·mX=Rp(t1,t2)+mX2=e-a|+mX2同理    RY(t1,t2)=RQ(t1,t2)+mY2=e-b|+mY2    RZ(t1,t2)=RX(t1,t2)·RY(t1,t2)=(e-a|+mX2) (e-b|+mY2)所以     56. 唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法正确答案： A57. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：  设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.58. 就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间(几何法)考虑曲线y=lnx与y=-kx的关系知，若k0，则方程有唯一实根；k=0时，根为x=1，k0时，根在(0，1)区间，如图4.47所示因此，讨论k0的情况      过原点，作y=lnx的切线y=ax，则在交点lnx=ax处有，故x=e，a=e-1，即直线与y=lnx相切于点(e，1)，于是知：    若-ke-1即k-e-1时，方程无实根    若-k=e-1，即k=-e-1时，方程有重根x=e    若k-e-1，则方程有两个根x1x2，其中x1在(1，e)内，x2在(e，+)内    讨论的结果如下：    当k0，方程有唯一实根在(0，1)内；    当k=0，方程有唯一实根x=1    当-e-1k0方程有两根其中小根在(1，e)内，大根在(e，+)内；    当k=-e-1，方程有重根x=e；    当k-e-1，方程无实根 59. 试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件试给出函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件必要性    设函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，由于点x关于x=a对称的对称点为2a-x，    故有f(x)=f(2a-x)    令x=t+a，则f(t+a)=f(a-t)，即f(x+a)=f(a-x)    充分性显然    因此f(x+a)=f(a-x)是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件 60. 证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R是地球半径证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R是地球半径取地心为原点O，建立如图6-20所示的坐标系，y轴向上题设引力常数为G，故作功元素，则                    由于在地球表面上，所以GM=gR2，代入上式