初一数学讲义三角形部分

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。飞跃初中数学培优讲义第一讲初中几何定理、定义（一）线与角：1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、对顶角相等平行线：1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 3、同位角相等，两直线平行 4、内错角相等，两直线平行 5、同旁内角互补，两直线平行 6、两直线平行，同位角相等 7、两直线平行，内错角相等 8、两直线平行，同旁内角互补 三角形角、边关系：1、三个内角的和等于180°；2、三个外角的和等于360°3、一个外角等于和它不相邻的两个内角之和4、三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。5、在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。大边对大角，大角对大边.角平分线：1、角平分线上任一点到角的两边距离相等。2、三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；三角形的中线：1、三角形的三条中线相交于一点（重心）2、它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍三角形的高：1、三角形的三条高相交于一点（垂心）垂直平分线：1、线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 4、三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；5、外心到三角形三个顶点的距离相等。三角形的中位线：1、三角形两边中点的 连线叫三角形的中位线2、三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。飞跃初中数学培优讲义第二讲初中几何定理、定义（二）等腰三角形1、等腰三角形的两个底角相等；2、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，即三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；等边三角形1、等边三角形每个内角都等于60°2、等边三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，即三线合一；3、 三个角都相等的三角形是等边三角形 4、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形1、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即勾股定理。a²+b²=c²2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。3、直角三角形的两个锐角互为余角。4、直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形5、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 平移：1、平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。2、在平面内，一个图形经过平移后，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。旋转：1、在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2、在平面内，一个图形经过旋转得到的图形与原来图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心的连线所成的角都是相等的角，它们都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。飞跃初中数学培优讲义第三讲初中几何定理、定义（三）三角形全等1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、全等三角形对应角（边）相等、对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。3、三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。4、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。5、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。6、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。7、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。三角形相似1、形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 2、 相似三角形对应边成比例，相似三角形对应角相等，相似三角形对应边的比叫做相似比3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）成比例4、两角对应相等两三角形相似简写成AA。5、两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似. 简写成SAS。6、三边对应成比例,两个三角形相似.SSS7、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. 8、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。轴对称：1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样图形叫做轴对称图形。2、关于轴对称的两个图形是全等的。3、如果两个图形关于某直线对称，那么，对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分 。4、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 。中心对称：1、把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称2、关于中心对称的两个图形是全等的 3、关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 4、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 飞跃初中数学培优讲义第四讲1、如图，已知在四边形ABCD中， B D90°，AE、CF分别是DAB及DCB的平分线求证：AECF（）2、在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若EF5，= （）3、ABC为等边三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且CE = 1/2 BC，求证： BD = DE（）4、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。（）飞跃初中数学培优讲义第五讲1、已知：如图5129，ABC的B、C的平分线相交于点D，过D作MNBC交AB、AC分别于点M、N，求证：BMCNMN（）2、已知：如图，在ABC中有D、E两点，求证：BDDEECABAC（）3、如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的定点，且BE=5，EC=7. 点P是BD上一动点， 则PE+PC的最小值是？（）4、如图：ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D， 若BCD的周长为8，求BC的长； 若BC=4，求BCD的周长（）飞跃初中数学培优讲义第六讲1、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC（）2、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。（） 3、如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，则FC=_ （）4、如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC，AB=30，矩形DEFG的一边在AB上，顶点G、F分别在AC、BC上，若DG：GF=1：4，则矩形DEFG的面积为 （）飞跃初中数学培优讲义第七讲1、P是BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB（）2、锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为ABC的角平分线，L与M相交于P点若A60°，ACP24°，则ABP的度数为何？() （）3、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.（）4、将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果 3=32°，那么 1+ 2=多少度？（）飞跃初中数学培优讲义第八讲1、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC，求证：A+C=180°（） 2、如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。（） 3、在 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？（）4、用面积为1，2，3，4的4张长方形纸片拼成如下图所示的一个大长方形。问：图中阴影部分面积是多少？（）飞跃初中数学培优讲义第九讲1、如图，C为线段AB上一点，ACM、CBN都是等边三角形，若AC3，BC2，则MCD与BND面积比为_。（）2、如图，ABC中，AE交BC于点D，C=E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）（）3、如图，ABCE，ACDE，且CE=DE=2AB=2AC，则CQ：CP=_。（） 4、ABC是边长为2的正三角形，F是AB边的中点，延长BC至D,使CD=BC,连接FD,求EC的长。（）飞跃初中数学培优讲义第十讲1、如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似答案：1 2.5（）2、已知：如图，在ABC中，ACB90°，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，求证：AE=BE（）3、如图，ACB=90°，CDAB，AE=EB，BCD: ACD=1:3，求证：DC=DE。（） 4、如图在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于E,DFAC于F,求证EFAD（）飞跃初中数学培优讲义第十一讲1、在ABC中，BAC=90°，AB=AC,D为斜边上任一点，求证：BD+CD=2AD （）2、如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB？（2）当ACPPDB时，求APB的度数（）3、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F（）（1）求F的度数； （2）若CD=2，求DF的长4、已知：如图RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的长；（2）过B作BEDC于E，求BE的长（）飞跃初中数学培优讲义第十二讲1、如图,在ABC中,DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求ABC的面积。（）2、如图，已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。（）3、如图，在ABC中，AB=AC,等边DEF的三个顶点D, E, F分别在AB, AC, BC上，BFD=,ADE=, CEF=,求证：2=+（）4、如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，求证：DCE的大小为45°。（）飞跃初中数学培优讲义第十三讲1、BOD=COG如图，ABC中，三条内角平分线AD、BE、CF相交于点O，OGBC于点G求证BOD=COG（）2、在ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF,设EF交BC于G,求证:EG=FG（）3、如图：已知ABC中 ,AC=AD,BC=BE, ACB=100°，求ECD的度数。（） 4、如图，已知中，°，为垂足，平分交于，交于，求证：（）飞跃初中数学培优讲义第十四讲1、在ABC中，AEEB=1 2，EFBC，ADBC交CE的延长线于D，求SAEFSBCE的值。（）2、AD为BAC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为P，EBC周长记为Q.求证QP. （）3、如图，在RtABC中，ACBC,D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上。且DEDF,求证：EF=AE+BF（）4、如图，ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，则四边形DEFC的面积等于 。（）飞跃初中数学培优讲义第十五讲1、如图所示，在等边三角形ABC中，B、C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证BE=EF=FC的道理（）2、等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是等边三角形？（）3、如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N，使MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。求证：x，m，n为边长的三角形是直角三角形。（）4、已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由（）飞跃初中数学培优讲义第十六讲1、如图所示，在ABC中，E为AB的中点，CD平分ACB，ADCD于点D试说明：（1）DEBC（2）DE=1/2（BC-AC）（）2、如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有ABED，AFCD，BCEF，对角线FDBD，已知FD=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？（）3、如图，BE、CD相交于点A，CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线。求证：F=1/2（B+D）（）4、如图，ABC中，AB=AC=BD，E是AB的中点，求证：CB平分DCE. （）飞跃初中数学培优讲义第十七讲1、如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E。求证：BD=DE+CE（）2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. （）3、AOB=30°，点P位于AOB内，OP=3，点M 、N分别是射线OA、OB上的动点，求PMN的最小周长？（）4、已知：如图，在POQ内部有两点M、N，MOP=NOQ（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）写出AM+AN与BM+BN的大小关系（）飞跃初中数学培优讲义第十八讲1、如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE（）2、如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B（）3、ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE。求证：1）AEBE 2）AE=2 CM + BE（）4、如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF（）飞跃初中数学培优讲义第十九讲1、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. （）2、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。（）3、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BCD=30°，以D为顶点做一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，求证：MN=BM+CN（）4、已知：如图，四边形ABCD中，A=BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。求证：CD2=DFDA（）飞跃初中数学培优讲义第二十讲1、在ABC中，BE、 CF分别为AC、AB上的高，M为BC边上的中点，MNEF于N，求证FN=EN （）2、已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（）3、已知ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD=AB，求证CD=2CE（）4、已知ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC，求证：BC= AB+ CD （）飞跃初中数学培优讲义第二十一讲1、（1）如图所示，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连接FG，求证：即：FG= 1/2(AB+BC+AC）（）（2）如图，若BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？ （3）如图，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？ 2、如图，在ABC中，ACB为直角，BAC=30°，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正三角形ABE和正三角形ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD（）飞跃初中数学培优讲义第二十二讲1、如图，在等边ABC中，AE=CD,AD,BE交于点Q,BPAD于P，求证：BQ=2PQ（）2、如图在RTABC中，BAC=90°，AE平分BAC交BC于F，交BC的垂直平分线DE于E，求证：DAE=DEA （）3、等边三角形ABC中，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证CE=DE（）4、如图，中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CDAC （）飞跃初中数学培优讲义第二十三讲1、如图，已知点A在直线EC上，且RTADERTBAC, ADE=60°，连接DB,M为DB的中点，连接EM,CM,求证EMC为等腰直角三角形。（）2、如图，在ABC中，点D在CA的延长线上，且AD=1/2AC，E为BC的中点，DE交AB于F,过F引直线MNDE,P为MN上一点，求证：PD=PE（）3、如图，M、P分别为ABC的边AB、AC上的点，且AM =BM，AP=2CP,如果BP与CM交于N，求证：BN=3PN（）4、如图，ABC中，ACB90°，CDAB，CM平分AB，CE平分DCM，则ACE的度数是_（） 飞跃初中数学培优讲义第二十四讲1、如图，已知在ABC中，AB=AC，A=100°BD平分ABC求证：BC=BD+AD（）2、在ABC中，B=22.5°，边AB的垂直平分线，交BC于D, DFAC于点 F，交BC边上的高AE于G，求证：EG=EC（） 3、在五边形ABCDE中，ABC=AED=90°，BAC=EAD，M是CD中点，求证：BM=EM（）4、在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则CME=BNE（）飞跃初中数学培优讲义第二十五讲1、已知：如图，AD是RTABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证： （）2、在四边形ABCD中，连接AC，BC=CD，BCA-ACD=60°，求证 AD+ CDAB（）3、如图3所示，在四边形ABCD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC，四边形ABEM ,MEFN ,NFCD的面积分别记为和，求证 =1/2（）4、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点F，求证：FE=FD（）飞跃初中数学培优讲义第二十六讲1、如图，ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由（） 2、如图，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。求证：FD2=FB*FC。若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。（）3、在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论（）4、如图，在等腰直角ABC中，ACB=90°，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：ADCF；(2)连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由（）飞跃初中数学培优讲义第二十七讲1、如图：BE是等腰直角三角形ABC的角平分线，C=90°，延长BC到D,使CD=CE,连接AD与BE的延长线交于F，求证：AE×AC=2AF2（）2、在四边形ABCD中,已知AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ABD+BDC=90°,求四边形ABCD的面积. （） 3、如图，已知锐角三角形ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线相交于P，连接AP，若BPC=40°，求CAP的度数？（）4、已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形ACM和BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q求证：PQAB（）飞跃初中数学培优讲义第二十八讲1、以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB=90°，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为、，求三角形OBE的面积（）2、在等腰直角ABC中，ABC=90°，D为AC边上的中点，过点D作DEDF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF多长。（）3、如图，在ABC中，B=2C,BC=2AB,AD是中线，求证：ABD是等边三角形。（）4、如图，已知在ABC内，BAC=60°，C=40°，AP，BQ分别是BAC和ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP （）飞跃初中数学培优讲义第二十九讲1、已知ABD和ACE都是直角三角形，ABD=ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC，求证MB=MC（）2、在ABC中,ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若AMD=BMD,求证：CDA=2ACD（）3、P为ABC内部一点，使得PBC=30°，PBA=8°，且PAB=PAC=22°，求APC的度数（）4、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB的度数答案：150°（）飞跃初中数学培优讲义第三十讲1、ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，求证，BEMCNE ECNMEN（）2、已知BAC=DAE=90°，M是 BE的中点， AB=AC，AD=AE，求证AMCD（）3、已知：如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=ABE求证：（1）DEFBDE；（2）DGDF=DBEF（）飞跃初中数学培优讲义第三十一讲1、如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE（）2、已知，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA,ABC的外角角平分线和CDA的外角平分线交于P, 求证：APB=CPD（） 3、在等腰ABC中， AB=AC，ABC=，在四边形BDEC中，DB=DE，BDE=2， M为CE的 中点，连接AM， DM，求证：AMDM （）4、如图，已知ADBC，ABE和CDF是等腰直角三角形，EABFDC90°，AD2，BC5，求四边形AEDF的面积。（） 飞跃初中数学培优讲义第三十二讲1、如图，在等腰梯形ABCD，ABCD，AD= BC，AC与BD交于点O，AOB=60°，P，Q，S分别是OA，BC， OD的中点，求证：PQS是等边三角形（）2、已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA求证：DBC：ABC=1:3（）3、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数答案：30°（）4、在ABC中，AB=AC，BAC=30°，PQ分别为AB、AC上的点，且QPC=45°，PQ= BC，求证： BC=CQ（） 32 / 32