2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题08指数与指数函数理(含解析)新人教A版

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题08指数与指数函数 理(含解析)新人教A版【高频考点解读】1 .了解指数函数模型的实际背景.2 .理解有理数指数哥的含义，了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算.3 .理解指数哥的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4 .知道指数函数是一类重要的函数模型.【热点题型】题型一指数式与根式的计算(5 1、计算(1)7 3/333/246扉+弋333 =.一 / 0.52.10 2037(2) 29 + 0.1 + 227 3- 3兀 +48 =.【答案】(1)0 (2)100【解析】原式=7 W - M沁6 R十(3垃卜3 63+可=2乂区-韶3 乂3；1 1二2N,一2乂石二0原式=映导 飘74=阚+100+肺-3+畜5937= -+100-i-y- + =031648【提分秘籍】化简指数哥的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数哥化为正指数哥的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数的，先要化成假分数；若是根式，应化为分数指数哥，然后再尽可能用哥的形式表示，便于运用指数哥的运算性质.【举一反三】若 x>0,则（2x：+3；）（2 x；3J 4x 2（x X2）=.【答案】231311111【解析】原式=（2x；）2（32）24x'2+ 4x ；+ 2 = 4x；-33-4x；+4=- 23.题型二指数函数的图象问题（例2、若方程| ax1| = 2a（a>0,且aw 1）有两解，则a的取值范围是 1【答案】0, 2【解折】 令用尸回-典0二孙 画出它们的图象，如图，由图可知则【提分秘籍】y = ax, y= | ax| , y= a|x1（a>0 且 aw 1）三者之间的关系：y = ax与y = | ax|是同一函数的不同表现形式.函数y= 2凶与y = ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x>0时两函数图象相同.【举一反三】已知c<0,下列不等式中成立的一个是 （ c1 CA. c>2B. c> 2C. 2c< 1 cD . 2c> 1 c22【答案】C1 v vy=x, y= 2 , y= 2的图象（如图），显然【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出一x 1 xx<0 时，x<2 < 2 .1 .即 c<0 时，c<2c<2c.故选 C.题型三 指数函数性质的应用1例 3、设 a=40.8, b= 80.46, c= 2 ：则 a, b, c 的大小关系为()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD . c>b>a【答案】A【解析】力=郎*=21%十=©-12=212,又；L6>L3黔42 一"423'21三即 妙宓吃【提分秘籍】(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)指数型函数中参数的取值范围问题.在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论.1 一，x<0, x【举一反三】 11,若函数f(x) =1 x3 ， x>0,3则不等式一qWf(x)Ww的解集为()33A. -1,2) U3 , +8)B. ( 8, - 3 U 1 , +oo)3c. 2，+°°D. (1 , U3, +oo)【答案】B【解析】函数加)=，和函数次)=刍的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限 即，却区间.当M0时，是区间(一叫一刃，当启。时j是区间L +可，故不等式一颉自的解集为(-电-3Ub E【局考风向标】x3. x a 【2015局考湖南，理15】已知f(x) 2，右存在头数b,使函数g(x) f (x) bx ,x a有两个零点，则a的取值范围是 【答案】(,0) (1,).【解析】分析题意可知，问题等价于方程x3 b(x a)与方程x2 b(x a)的根的个数和为2,1Na若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组 在 a有解，a2 b a3,从而b a若方程x3 b(x a)无解，方程 x2 b(x a)有2个根：则可知关于b的不等式组1b3a有解，从而b aa 0,综上，实数a的取值范围是(，0) (1,).、 0,0x 1【2015局考江苏，13】已知函数 f(x) |lnx|, g(x) 2，则方程|x2 4| 2,x 1| f(x) g(x)| 1实根的个数为由题意得：求觥3与2 一或公文点个数以及函数*=侬与"-1一宜力交点个数之和，因 1,0-，1为I/T1CM2 ,所以国数T-/W与八-8有两个交点，又-L0<E> =-1-写在)=声“,T132,所以曲股"工)与g有两个交点，因此共有4个交点一，一2x1.2(2014 湖南卷)已知函数f(x) =x+e 2(x<0)与g(x) = x + ln( x+a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()1A. (-00,7C.-上事【答案】B【解析】依题意,设存在P(m n)在f(x)的图像上，则 Qm n)在g(x)的图像上，则,. 2m 12,、有 m+e 2=m+ ln( mi+ a),解得 mua=ee m1- 2即 a= ee m( m rm> 0),可得 a ( -oo,(2014 天津卷)已知函数f ( x) =|x2+3x| ,xCR.若方程f(x)-a|x-1| =0恰有4个互异的实数根，则实数 a的取值范围为【答案】(0, 1)U(9, +oo)【解析】在同一坐标系内分别作出y=f (x)与y= a| x1的图像如图所示.当 y=a|x ax + a x3x,1|与y = f (x)的图像相切时，由整理得x2+(3a)x+ a=0,则 = (3a>0,a) 2 4a= a2 10a+ 9= 0,解得a= 1或a = 9.故当y= a| x 1|与y = f (x)的图像有四个交点时，0<a<1 或 a>9.(2014-浙江卷)已知函数f(x) = x3+ax2+bx+ c,且 0<f( 1) = f( 2) = f (3)W3,则()A. c<3 B . 3<c<6C. 6<c<9 D . c>9【解析】由式一 l)= 次-2)=灭3)得1 +4-力+心=-8+%-助+心，9 + 4以一 +- 27 -I- Qcc7+ %一5二 0195a+&=0故选C.Q6 ,n 则抬尸术+s2 + m+c而口它-1)少，故(X-6+区3,一-x +2x, x<0,(2013 新课标全国卷I 已知函数 f(x)=若|f(x)| >ax,则a的ln (x+ 1) , x>0.取值范围是()A. (8, 0 B . (8, 1C. 2, 1 D . -2, 0【答案】D【解析】方法一：若 x<0, |f(x)| =|x+2x| =x2x, x= 0时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变为 a>x- 2,而x-2<-2,可得a>- 2;In (x+1)(育 x>0, |f(x)|= |ln(x +1)| =ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 a<恒成立)xln (x+1),再令 g(x) =xr-ln(x +1),则x I 1x令 h(x) =x±,则 h，(x)=x x一 xg' (x) = (x+ 1)2<0，故 g(x)在(0 , +00)上单调递减，所以 g(x)<g(0) =0,可得 h' (x)xln(X+1) x I I2x<0,故h(x)在(0 , +°°)上单调递减，x + 8时,h(x) -0,所以h(x)>0aW0.综上可知，2WaW0,故选 D.y = ax的图像，如下图,y = x22x, x<0在原点处因为yx -2x, x<0, 方法二：数形结合：画出函数 |f(x)|=与直线ln (x+1) , x>0要使|f(x)|>ax恒成立，只要使直线 y= ax的斜率最小时与函数的切线斜率相等即可，最大时与x轴的斜率相等即可, =2x-2,所以 y' |x=0=-2,所以一2WaW0.(2013 安徽卷)若函数 f(x) =x + ax +bx+c有极值点xb x2,且f(x 1) =xb则关于x的方程3(f(x)2+ 2af(x) +b= 0的不同实根个数是()A. 3 B.4 C .5 D . 6【答案】A【解析】因为/+3(屯),42西冲+1>=0且3炉42亚+卜=0的酉根分另忱)沟电，所以可#=均或H#=x如当*1是极大值点时r f(3tJ = X17也为根小倩点，且出"11如图(1)所示f可知方程式乂)=箓1有两个刘艮 flW=却有一个实根，故方程30OF + 2或犬)+B二。共百3个不同实根5当为是极小值点时，取刈=3，整为极大值点J且泡51,如图(2)所示，可知方程式X)=X1有两个实根J邱L)有一个实根？故方程3(即0F + 2咽刈+k二口共有3个不同实根5综合以上可知方程又取犷十切十匕二Q共有3个不同实根.(2013安徽卷)函数 y=f(x)的图像如图1 2所示，在区间a, b上可找到n(n>2)A. 3 , 4 B . 2 , 3, 4f (xi)使得xif(X2)f (Xn)Xn,则n的取值范围是(C. 3,4,5 D . 2, 3【答案】B【解析】问题等价于直线y二kx与国数y=H#图像的交点个教：从图中可以看出交点个数可以为& 3, 4；故口的取值范围是但，3,小(2013湖南卷)函数 f(x) =2ln x的图像与函数g(x) =x24x+5的图像的交点个数为()A. 3 B . 2 C . 1 D . 0【答案】B2【解析】法一：作出函数f(x) =2ln x , g(x) = x 4x+5的图像如图：7>可知，其交点个数为 2,选B.法二：也可以采用数值法:x124f(x) = 21n x021n 2 = In 4>1In 4 2<52g(x) = x 4x +5215可知它们有2个交点，选B.(2013山东卷)设函数f(x) =4+c(e =2.718 28是自然对数的底数，cCR).e求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程11n x| =f(x)根的个数.【解析】解：(L)f8 二。一"工由英)=0,解得又*<r苜痣时，的双 师倬调递物当姆同，F(x)Y)fl>)里调建遍.所以，困数 处的电调递增区间是现输单调递减区间是;，十可最大值为 崂二犷十心一【2了令台(幻二|lnx|一犬X)二|血1|一M一舞一口又曰2+»).当xE(1k +g)时，InxX,则以用二Inx一1吧一与-c.所以度乂)二”工；+笈一1一因为2x-l>0, 3N),所以或工)乂>.因此虱R在。，+网上单调递增.当 xE(0/ 1)时, luxe, JJ g(x)=-lux-xe-21 -<所以 8'00=一九一1+231- L因为¥),6>1k>0,所以一在一L又 2xTl,所以一号十道一1<0,即或*)<0一 A因此g(R在(0, 1)上单调递减.综合可知，当 xC(0, +8)时，g(x)>g(1)= e 2-c.当g(1) = e 2-c>0,即c<e 2时，g(x)没有零点，故关于 x的方程|lnx| =f(x)根的 个数为0;当g(1) = - e 2-c= 0,即c= e-2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程11nxi =f(x) 根的个数为1;当 g(1) = e 2 c<0,即 c>e-2时，(i )当 x C (1 ,+8)时，由(1)知 g(x) = Inx xe 2x c>1nx e 1 + c>lnx 1 c,要使 g(x)>0 ,只需使 Inx - 1 - c>0,即 xC(e1+c, +0°)；(ii)当 x C (0 , 1)时，由(1)知 g(x) = Inx xe 2xc> Inx e 1+ c> Inx 1 c,要使 g(x)>0 ,只需一Inx -1 - c>0,即 xC(0, e 1 c);所以c> e-2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程11nxi =f(x)根的个数为2.综上所述，当c< e2时，关于x的方程11nxi = f(x)根的个数为0;当c=e-2时，关于x的方程|lnx| =f(x)根的个数为1;当c> e-2时，关于x的方程|lnx| = f(x)根的个数为2.x2+2x+a, x<0,(2013 四川卷)已知函数 f(x)=其中a是实数.设 A(xi, f(x 1),1nx , x>0,B(x2, f(x 2)为该函数图像上的两点，且xi<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点 A, B处的切线互相垂直，且x2<0,求x2 x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合，求 a的取值范围.【解析】解：口由 可幻的单调建遍区间为(一吗-1),单调递增区间为 1, 6,十Q)由导致的几何意义可知，点A处的切线斜率为门工以点B处的切线斜率为式加工故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有F3亚冠=-I.当20时J对函数电)求导，得出产X + Z因为弱弋通？所以(入什2)(笈2-2)=15所以 2xi+k0j 2x?+2>0.因此出一十二技一(力+ 2)+(2X1-K2) C2xj + 2) = 1.当且仅兰-<2X1 + &二加+2 j 即小二一黜治二一%等号成立.所以，的敝3)的助像在点A, B处的切线互相垂直时j尔-制的最小值为1.(3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时，f ' (x 1)(x 2),故 x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1, f(x 1)处的切线方程为 ,2y (x 1+2x+a) = (2x 1+2)(x x4,2即 y = (2x 1 + 2)x x1 + a.当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2, f(x 2)处的切线方程为y In x 2= (x x2), 即 y= x+ In x 21. x2x2两切线重合的充要条件是1 =2xi+2,X22 ln x 2 1 = xi + a.由及 Xi<0<X2,知一1<Xi<0.212由得，a=X1+ ln-1=X1-ln(2x d2) 1.2x1 + 2设 h(x 1) = x2 ln(2x 1 + 2) 1( 1<X1<0),1则 h' (x 1) = 2x1 x；<0.所以，h(x 1)( 1<X1<0)是减函数.则 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1,所以 a> In 2 1.又当X1C(1, 0)且趋近于一1时，h(X1)无限增大，所以a的取值范围是(一ln 2 -1, +8).故当函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合时，a的取值范围是(一ln 2 1,十).(2013 天津卷)函数 f(x) =2X|log o.5x| 1的零点个数为()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4二-24O&X-1在（0, 1上递减且北接近于。时，接近于正无守大，通）=- 10,，联在。上有一零点3又TfiW:XSgpi1在40上递增J且草1=3旬？ .再为在（1, +向上有 一零点.加世洪有2个零点.【高考押题】1 .当x>0时，函数f(x) =(a21)x的值总大于1,则实数a的取值范围是()A.1<|a|<2B.|a|<1C.| a|> 2D.|a|<2【答案】C【解析】 x>0时,f(x) = (a21)x的值总大于1, a21>1,a2>2, 1-1 a|> 2.2 .设 a= 30.5, b= 4 0.4, c= log 3(log 34),则()434A. c<b<aB. a<b<cC. c<a<bD. a<c<b【答案】C【解析】0< a= 7 0.5< 7°= 1 , b= -0.4> -0 = 1 ? c= log %log34)<log(log33)= 0,443344c<a<b,故应选 C.3.若y=e|x1(xCa, b)的值域为1 , e2,则点(a, b)的轨迹是图中的(A.线段BC和OCB.线段AB和BCC.线段AB和OAD.线段O绰口 OC【答案】B【解析】r 据题意当fl= -2,但2时，瞄的值域符合条件,苴轨迹为国中线段如3当-2S&),白=2时,函数 值域符合条件,此时其凯迹为图中线段&C,故选B4.设函数y=f(x)在(00,+8)内有定义.对于给定的正数K,定义函数fx)='' 取函数f(x) = 2 xe-x.若对任意的xC(8 +°0)恒有f«x)K, f x >K = f(x)()A. K的最小值为1B. K的最大值为2C. K的最大值为1D. K的最小值为2【答案】A【解析】K> f (x)对xC(8, +oo)恒成立，f (x)在(一8, 0)上递增，(0 , +OO)上递减，f (x) max= f (0) =1,Knin=1.5.设函数y= f (x)在(00,+8)内有定义.对于给定的正数K,定义函数f<x)= ' x ' / x :K'取函数f(x) =2小1.当K=(时，函数fK(x)的单调递增K,f x > K2区间为()A. ( 8, 0)B, (0 , +oo)C. ( 8, 1)D. (1 , +oo)【答案】C2 |x| x< 1 或x>1,即得其【解析】由2T、1 = 1得*=±1.结合条件可知f1(x)= 12 若 2x= 16,3y=,则 x + y=7.2- i<x<i,单调递增区间是(一8, 1).-70+8；*4/2- -3!【答案】22 1312 1【解析】原式=33X1+24X24- 3 3=2.7.定义：区间x1, x2( x1<x2)的长度为x2x1.已知函数y=21x1的定义域为a, b,值域为1,2,则区间a, b的长度的最大值与最小值的差为 【答案】1【解析】如图满是条件的区间依，句，当口二一1,或。=0,白=1时区间长度是小最小值为1,当日二一 L3=1时区间长度最大，最大值为3故其差为1-8.给出下列结论：一.。3 Q当 a<0 时，(a)2 = a ； n/On= | a|( n>1, nCN*, n 为偶数)；10 一7函数 f (x) = ( x 2)2 (3x 7)的te义域是x| x>2 且 xw3；其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】:启。时,（嘎a 魂，错j_ _x_2>07_显燃正确4解”1 1. ；得点2且有解正确,|3x-7-O）助,3=44=3巳，尸一3,工十产4+1 -3）=1,，错.故冠正确.