高等数学（上册）：13－第13讲高阶导数

第四节 高阶导数第二章 一元函数的导数与微分一. 高阶导数的概念2高阶导数的运算法则 3隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数一. 高阶导数的概念,cos)(sinxx例例,sin)(cosxx. sin 连续求两次导数的结果是x , sin 记为的二阶导数称为函数xxxxxsin)(cos)(sin)(sin )( )( ,仍然的导函数如果函数一般说来xfxf的二的导数为原来函数则称可导 )( )( ,xfxf . ) )()( , xfxf记为阶导数推而广之: , , 1 )( 的函数它仍是阶导数存在的设xnxf . ,阶导数数的则称它的导数为原来函若它可导n : 阶导数的记号为n .dd ,d)(d , ),()()(nnnnnnxyxxfyxf , ) )()()1()(xfxfnn ,d)(dddd)(d11nnnnxxfxxxf ,dddddd11nnnnxyxxy , )( )1()(nnyy按照一阶导数的极限形式, 有xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(00)1()1(0)()()()(lim)(00 xxxfxfxfynnxxnxxn和 一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为.)( ) I ()(nnCxfCxf或 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为.)( ) I ()(CxfCxf或1)(nnxnxy21) 1()()( nnxnnxnyy3)2( ) 1()( nxnnnyyknkkxknnnnyy) 1()2( ) 1()()1()(. , 的高阶导数求幂函数Znxyn)1(nk 解解例例1注意, 当 k = n 时!123)2( ) 1()()(nnnnxnn综上所述：. 0)( , 1 ,)(knxnk时当从而knknxknnnx) 1() 1()()()1(nk 0)()(knx)1( nk)()()(knkbaxy. )( 的高阶导数求nbaxy, 1 时当nk kknabaxknnn)(1() 1( , 1 时当 nk0 )(ky解解例例2多项式的高阶导数.nnnnnaxaxaxaxP1110)(231202)2)(1() 1( nnnaxnnaxnnay!0)(nayn0)2() 1(nnyy解解12110) 1(nnnaxnanxay例例3对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 . 求 y = ex 的各阶导数.解解xey y = ex 的任何阶导数仍为 exxnxee)()()(Nnxxeeyy )()(xney)(例例4求 y = ax 的各阶导数.解解aayxln运用数学归纳法可得)( )(ln)()(Znaaanxnx2)(ln)ln()( aaaayyxxkxkaay)(ln)(例例5求 y = lnx 的各阶导数.解解11xxy2122) 1() 1( xxy3)2)(1( xy111! ) 11 () 1(x212! ) 12() 1(x313! ) 13() 1(x设 kkkxky! ) 1() 1(1)(例例611)1()()!1() 1(kkkxkky)1(1)1(! 1) 1() 1(kkxk)( )!1() 1()(ln1)(Nnxnxynnnn类似地, 有)( )()!1() 1()(ln(1)(Nnbaxanbaxnnnn则故由数学归纳法得. 1 的高阶导数求xy 解解)(ln1 xxy)1()()()(ln)(ln nnnxxy)1(1)1(! 1) 1() 1(nnxn)1(!) 1(nnxn 注意这里的方法)( )!1() 1()(ln1)()(Nnxnxynnnn例例7即类似地, 有)1()()(!) 1(1nnnnbaxanbax)( !) 1( 1)1(Nnxnxnn解解xycosxysin xycos xysin)4(. cos , sin 的各阶导数求xyxyxysin 看出结论没有？)24sin(x)23sin(x)22sin(x)21sin(x例例8运用数学归纳法可以证得)( )2sin()(sin)(Znnxxn类似地 , 可求得)( )2cos()cos()(Znnxxn解解xxsincos)(cotdddd22xxxyx2csc.dd , sinln22xyxy求)sin(lnddddxxxyxcot例例9)sin(cossin2sinxexeyxx )sin(cos2sinxxex. ,sinyeyx 求解解xeyxcossin二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例例102)(d)(dyyy. )0,( dd , 1dd 322 yyyyyxyyx导出试从解解由复合函数及反函数的求导法则, 得)()(1dddddddd22yyyxyyx2)(ddd)(dyyxxy3)(yy 例例11 . dd , 22的导数对是的导数对是与yxyxxyyy 解解例例12 ).( ),()( , )( )(2xfxfxfxfn求且满足有任意阶导数设 , )()( 2得求导两边关于对等式xxfxf ),(2)()(2)(3xfxfxfxf ),(32)()(32)(42xfxfxfxf ),(! )( 1)(则有设xfkxfkk)()() 1( ! )()1(xfxfkkxfkk ,)( ! ) 1()(! ) 1(1)1(2kkxfkxfk 由数学归纳法得)(! )(1)(xfnxfnn2高阶导数的运算法则 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则(1)(2) 莱布尼兹公式)()()()()()()(xgxfxgxfnnn)()()()()()(0)(xgxfCxgxfkknnkknn. ! )( ! , knknCkn其中两个基本公式. 651dd 2100100 xxx求由于) 3)(2(16512xxxx,3121xx故31dd21dd651dd1001001001002100100 xxxxxxx101101)3(1)2(1!100 xx101100101100)3( !100) 1()2( !100) 1(xx解解例例13)1( )(1! ) 1()(nnnxnx解解. , sin )80(2yxxy求设由莱布尼兹公式)80(2)80()sin(xxy)(280sin2080 xxCxxxxxsin6320cos160sin2)(278sin2280 xC)(279sin)2(180 xxC例例14. 0)()() 12()( )1 ()(2) 1()2(2xfnxfxnxfxnnn证证0)()()1 ( 2 xfxxfx)(11)1 ()( 222xfxxxxxxf 满足下式证明 arcsin)( xxf看出一点什么没有？ 你打算怎么处理此式？例例15211)( xxf对上式关于 x 求导 n 次：)1(21)(20)()1 ()()(1 ( nnnnxfxCxfxC故)()2(! 2) 1()()2()()1 ()()1()2(2xfnnxfxnxfxnnn即0)()() 12()1 ()(2)1()2(2xfnxfxnfxnnn)2(22)()1 ( nnxfxC0)()()1(1nnxfxC0)(1)()()1(xfnxfxnn)(0)(nnxfxC3 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导. .dd , 4 2222xyyyxx求设对方程两边关于 x 求导:022yyyxyxyxyxy22 故解解 想想如何求二阶导数？例例16yxyxxy22dd 22从而3322)2(24)2()(6yxyxyyxx2)2()(3yxyxy2)2()21)(2()2)(2(yxyyxyxy2)2( 223yxyxyxxy 对方程两边关于 x 求导, 得:对该方程两边关于 x 求导:yeyeyxyyyxyx 2)1 (yxyxexyyey 2)1 (2.yxyxexyey解解)1 (yeyxyyx从而其中,例例17, .x yxyey求.dd , )(tan 22xyyxy求设方程两边对 x 求导)1()(sec2yyxy)(sec1)(secdd 22yxyxxy得)(sin12yx )(csc2yx 解解例例18xyxxydddddd22)(cot)(csc232yxyx)1 ()(cot)csc()csc(2yyxyxyx)csc()csc(2yxyx)(cscdd2yxx故.dd , arctan)1ln( 332xyttytx求设解解)1ln()arctan(dd2tttxy)1ln(2dd222ttxy21211122tttttttt41122122例例19 )1ln(41dd2233tttxy3422228112412ttttttt 参数方程求导 并不难啊 ！.dd , )sin1 ()sin( 22xytayttax求设解解) )sin() )cos1 (ddttataxy 2cottttcos1sin) )sin(2cotdd)(22ttatxy)cos1 (12sin212tat) ,2 ( Zkkt2)cos1 (1ta例例20.dd , )( , )( , )()( 22xytytxtyytxx求均有二阶导数已知解解)()(ddtxtyxytxxytxydddddddd22)()()(txtxty)()()()()()(2txtxtxtytxty 3)()()()()(txtxtytxty 例例21例例22 )( 是由方程组设xyy 01sin 03 2 3 2ytextty . 0 dd ,22txy求所确定的隐函数解解 3, , 03 3 3 0 2及得由txxtt, 2 6 ddttx 1 , 01sin 0 及得由tyyyte ,2 cos sin1cos ddytetetetyyyy, )2 6)(2( cos dd dd dd tytetxtyxyy故2 6cos2dddddddd 22ttyexxyxxyy从而2 6cosdd22dd2 6costtxyeyexttyy32)2 6)(2(cos6sin)2 6( dd)2)(2 (6 cos)3( tytttexyytteyyy.4 )32( 0 dd , 1 , 3 , 0 22eetxyyxt得代入? 2 是 : 2 6cosdd ttx计算xttttttxd d2 6cos dd2 6cosdd1d d2 6cos ddtxttt2 61)2 6(cos6sin)2 6( 2ttttt .)2 6(cos6sin)2 6( 3tttt2 6 ddttx作业 习题2-4（教材100页） 1; 2；3；4；5(1); 6；10