专题十二一元二次方程实根的分布讨论

学习好资料欢迎下载专题一 一元二次方程实根的分布讨论本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。一.一元二次方程实根的基本分布一一零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的 两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理)即可判别。2一元二次方程ax bx 0 ( a = 0 )的两个实数根为 为、x2，贝Ux-i、x2 均为正= > 0, x1 + x2 >0, x1 x2 >0；xi、x2 均为负0, xi+ x2 v 0, xi x2 > 0;x-i、x2 一正一负x1 x2 v 0。例1.关于x的一元二次方程 8x (m 1)x m-7 = 0有两个负数根，求实数m取值范围。：> 0解：设两个实数根为 x1、x2，依题意有+x2 <0 x1x> 0由得：(m 1)2 -32(m-7)0 , (m-15)20 ,恒成立。，口m +1”、由得：v 0，解之 m > -1。8m -'7由得：> 0,解之，m > 7。8综上，m的取值范围是m > 7。例2.若n >0，关于x的方程x2-(m-2n)xmn = 0有两个相等的正实数根，求的4n值。丄=0解：设两个实数根为 x1、x2，依题意有 x1 x2> 0x1x202由得：(m2 n)mn =0, (mn )(m4n )=0, m=n或 m = 4 n。学习好资料欢迎下载若 m = n，贝U xi + x2 = m - 2n = n _2n = -n v 0,不符合，舍去。故m =4n,此时均符合、，-m_4n_4 on n二.一元二次方程实根的非零分布一一k分布设一元二次方程 ax bx 0 ( a = 0)的两实根为 x1、x2，且x x2, k为常数。则一元二次方程实根的 k分布指x“ x2相对于k的关系，例如x“ x2均比k大，或者x1、x2均 比k小，或者xi、x2 一个比k大，一个比k小等等。xi、x2 均比常数 k 大 u 0,( xi k) + ( x2 k )> 0,( xi k)( x2 k )> 0；x-i、x2 均比常数 k小二 > 0,( x1 -k) + ( x2 k) v 0,( x-i k )( x2 k ) > 0；x-i、x2一个比 k大，一个比 k小二 > 0, ( x1 k) ( x2 k) v 0。例3.若方程x2 -2ax 4a - 3 = 0的两根均大于1，求实数a的取值范围。解：设两个实数根为 x1、x2，由韦达定理得：x1 + x2 = 2a ,论乂2=48-3。A > 0I依题意有 <(捲一1)+(x2-1)>0/捲1)(X2 -1)> 02由得：4a -4(4a-3)0 ,解之，a<1或a>3。由得：2a > 2，解之，a > 1。由得：4a-3-2a，1> 0,解之，a > 1。综上，a的取值范围是a3。当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间(不包括 2和4),或者两根中一根介于 0与1之间，另一个根介于 3与4之间，这时用根的判别式及韦达 定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数 量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。2我们知道，如果二次函数f (x) =ax bx c(a =0)的图像与x轴有交点，那么交点的横坐学习好资料欢迎下载标即为二次方程 ax2 bx 0(- 0)的实数根。反之亦然。利用这一点来看, 2问题1：什么条件下，二次方程ax ，bx，c = O(a严0)两个实数根Xi、x2一个比t大，另一个比t小(t是给定的常数)？上面问题等价于：什么条件下，二次函数f (x)二ax2 bx c(a = 0)图像与x轴两个交点分布在点(t,0)两侧？利用图像说明(简单起见，只画横轴，不画纵轴)。显然，当 a>0 时，f(t)v0 ；当 avO 时，f(t)>0。2问题2：什么条件下，二次方程 ax bx c = 0(-= 0)两个实数根x1、x2都比常数t大?构造二次函数 f (x)二ax2 bx - c(a = 0)，结合图形，当 a>0 时，0, >t, f (t)>0 ；当 av0 时，0, >t , f (t)v 0。2a2a2问题3：什么条件下，二次方程 ax bx c = 0(a = 0)两个实数根x1、x2都比常数t 小?构造二次函数f (x)二ax2 bx c(a = 0)，结合图形，bb当 a>0 时，0, - vt, f (t)>0 ；当 av0 时，0, - vt, f (t)v 0。 2a2a2问题4：什么条件下，二次方程 ax bx c = 0(a = 0)两个实数根x1、x2满足x1 v s , x2> t (其中s、t为给定常数且s v t)?构造二次函数 f(x)=ax2 bx c(- 0)，结合图形，X2均介于s、t之2问题5：什么条件下，二次方程ax bx 0(- 0)两个实数根X1、间(其中s、t为给定常数且s v t) ?2构造二次函数f (x) =ax bx c(a = 0)，结合图形,当 a>0 时， >0,当 av0 时， >0,bsv v t ,2ab .sv v t ,2af(s)>0 , f(t)>0 ;f (s)v0 , f (t)v0。看几个具体事例。例4: a为实数，关于x的二次方程7x2 - (a 13)x 2a 2 = 0有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a的取值范围。解：构造二次函数 f (x) =7x2 - (a 13)x 2a 2，结合图形，有故a取值范围是f(0)>0f (1)v 0 ,J(2)> 0解之,2a 2>0二 a> -1I*7 -a 13 + 2a +2<0n av4,28 2a26 + 2a+2>0二 4>0,恒成立例5:已知解：显然,Tv av 4。2m为整数，且方程3x93 mx - 2 = 0两根都大于且小于一，求m值。7 - m 4 3 (一2)二 m224>0 。构造二次函数 f (x) = 3x2 mx - 2 ,则其图像与X轴两个交点均介于93(,0)、(3,0)之间(不包括两个端点)。如57-9v569f(-)>05图，则有75819193由得：3m-2>0 ,解之得mK,255459371由得：3m '2>0，解之得m> 。49721故m的取值范围是71193k mK2145。所以m可取的整数值为2例6：若b、c为整数，方程5x bx 0的两个实数根都大于 -1且小于0 ,求b与c的 值。2f (x) = 5x bx c，则其图像与X轴的两个交点均在(-1,0)与(0,0)之解：构造二次函数间(不包括两个端点)。如图,由得：b -20c > 0 ,/由得：c>0,由得：5 _ b c>0 ,由得：0< bK10。显然，c > 1，二 b2 > 2/. b可取的值有5,6,7,8,9则有0f (0)>0f(-1)>0-1K - K0I 102b > 20c,c>b -5,20 b > 5 ,当 b=5时，25> 20c ,二 c=1,符合 c>b-5 ;当 b = 6 时，36 > 20c , - c = 1,不符合 c>b - 5 ； 当 b=7时，49> 20c，二 c=1,2，均不符合 c>b-5 ;当 b=8 时，64 > 20c，二 c =1,2,3，均不符合 c>b-5 ;学习好资料欢迎下载当 b=9 时，81 > 20c，二 c =1,2,3,4，均不符合 c>b-5。故本题的解为b = 5 , c =1。2例7：方程mx -2(m 5)x m 20的所有实根介于 2与5之间(不包括2、5)，求m 的值。简析：本题与上述问题的最大区别在于针对二次项系数m要进行分类讨论。解：当m=0时，-10x22=0，x=22，符合题意。2当 m = 0 时，令 f (x)二 mx -2(m 5)x m 22 ,首先，二 4(m - 5)2 -4m(m - 22) > 0 ,解之,25 m < 12其次，抛物线的对称轴应介于直线2V1 - V 5,m5由此可知，m>0,解得 vm<5x=2与直线x = 5之间，有2<- 一如5) <5,即2m5 1< V 4m。由于抛物线开口向上，故有f (2) = m 2>0= m> - 2f (5)=16m-28>0二 m> 7I4或者m = 0。例8：关于x的方程2x3 (2-m)x2 -(m 2)x-2 =0有三个实数根分别为 、：、冷,其中根X。与m无关。(1) 如(二"')x-3，求实数m的值；(2) 如:V av bv 一：，试比较： 牛卬与4bm的大小，并说明理由。a2 +1 b2+1简析：问题(1)的关键是将原方程降次。问题(2)的关键是由条件式:V av bV 联想到一元二次方程实根的分布。2x2(x 1) mx(x 1) 2(x 1) =02(x 1)(2x _mx _2) =02x - -1 或 2x mx2 = 0可知沧=一1，方程2x2 -mx -2 =0的两个实数根是:-> ' o(1 )由韦达定理=m，:-1 o 2-巴=3 解之m =6，经检验符合。2(2)作差 色|_-m，通分后显然分母为正，只要考查分子。a +1b+1分子=(4am)(b21)-(4bm)(a21)= 4ab 4- mb - m4 2a b4 b m a m=4a -4b 4a% -4a b ma- rm b=4 (a -b)-4ab(a- b) m( a t) ( a b=(a -b) (4- 4 b m a m b构造二次函数 f (x) =2x2 -mx -2，则其图像与x轴两个交点为(，0)、( - ,0) o由图知：f(a)< 0 , f(b)< 0 o2 22a -ma-2< 0 , 2b -mb-2< 0 ,将上两式相加，得：2 2 2 22a 2b - ma - mb - 4v 0 , ma mb 4>2a2b ,2 2 2 4 - 4ab ma mb >2a 2b -4ab=2(a-b)2由于 a<b，所以 a -bx 0 , 4-4ab ma mb> 2(ab)> 0(a -b)(4 -4ab ma mb)x 04a -m 4b -m2 V 2°a 1 b 1