求函数值域最值的方法大全

值 域 的 概 念 和 常 见 函 数 的 值 域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域常见函数的值域：一次函数y kx b k 0的值域为R.4ac b?二次函数y ax例3、求函数y=x -2x+5 , x -1 , 2的值域。 bx c a 0，当a 0时的值域为, ，当a 0时的值域为4a4ac b2，4ak反比例函数y k 0的值域为y R y 0 .x指数函数y ax a 0且 a 1的值域为 y y 0 .对数函数y loga x a 0且a 1的值域为R.正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象性质能较容易得出值域（最值）的简单函数例1、求函数y= J 的值域x2 1解:x2 11, 01x2 11显然函数的值域是:0,1例2、求函数y=2 , x的值域。解： x >0 x < 02 、x <2故函数的值域是：-22、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如y ax2 bx c a 0或2F x a f x bf x c a 0类的函数的值域问题，均可用配方法求解当 X=1 时，ymin=解得：1- ,2 W yW 1+、2但此时的函数的定义域由 x (2-x ) > 0,得：0WxW 2。当 X=-1，时 ymax=8故函数的值域是：4 , 8例4、求函数的值域：yX?6x_5解：设X x R, =4 (y+1)- 8y>0 6x 50，则原函数可化为：些 _ .又因为x2 6x 5 x 3 2 4 4，所以 04，故，、:0,2，所以,y x2 6x 5 的值域为 0,2 .3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为2A(y)x B(y)xC(y) 0的形式,再利用判别式加以判断。x2 xy解:Qx2x 10恒成立，函数的定义域为R.由2x2 y 2>x 2得y 22xy 1 x y20。xx 1当y20即y2时,3x 00, x0r ；当y20即y2时，Q x R时，方程y2 x例5、求函数的值域22y 1 x y 20恒有实5且 y 2.原函数的值域为1,5 .例6、求函数y=x+ . x(2 x)的值域。解：两边平方整理得：2 x2- 2 ( y+1)x+y 2 =0( 1)由0,仅保证关于x的方程：2x2-2 (y+1) x+y2 =0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区 间0，2上，即不能确保方程(1)有实根，由40 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此1 3函数的值域为丄，3。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。2 20< x< 2,y=x+ x(2 x) > 0,y min=0,y=1+ .2代入方程(1)，解得:2 224 2刘=一20 , 2，即当刘=2 .2 24 22时，原函数的值域为：0 , 1+ .、2 。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大 的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数 (即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类 型。2x例7、求函数y的值域。x 1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x,从而便于求出反函数。2x反解得x知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：y (,2) (2,)。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用sinx 1,1, cosx 1,1等。例8、求函数xey=-xe的值域。解：由原函数式可得:ex >0,-1 >0y 1解得：-1 v yv 1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y= C0S X的值域。sin x 3解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：.y21 sinx (x+ 3) =3y即 sinx (x+ 3)=3yy21/x R,. sinx(x+ 3) -1 , 1。即-1w3y wiJ厂解得：-? < yw丄2故函数的值域为-2 , 44446、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。(原理：同增异减)例10、求函数y log1 (4x X2)的值域。2分析与解：由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令：f (x) x2 4x( f(x) 0)配方得：f(x) (x 2)2 4所以f(x) ( 0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知：y 2,)。例11、求函数y= 2 §log3 Jx 1 ( 2w x w 10)的值域解：令y2x 5，y2 = log3'X 1，贝y y1，y 在2 , 10上都是增函数。所以y=yy2在2 , 10上是增函数。3 :1当 x=2 时，y min =2 +log3 2 1=6 , 当 x=10 时，ymax=25+|og39 =33。故所求函数的值域为：1 , 33。8例12、求函数y= . x 1 - , x 1的值域。解：原函数可化为:y= .x令y1=Yx1 ,y2= Vx 1，显然y1，y 在1,+m)上为无上界的增函数，所以y=yt+y2在1,+m)上也为无上界的增函数。 2所以当x=1时，y=y 1 y2有最小值. 2，原函数有最大值 =.2 。J2显然y > 0，故原函数的值域为（0,、2。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换 元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y=x+ .X 1的值域。o解：令 x-1=t , (t > 0)贝U x=t +11 3 y=t2+t+1= （t ）2+ ，又t >0,由二次函数的性质可知2 4当 t=0 时，ymin=i，当 t t0 时，yt +m°故函数的值域为1 , +8）。例14、求函数y=x+2+ . 1 (X 1)2的值域解：因2 21- (x 1) > 0，即(x 1) wi故可令x+ 仁cos0 ,n 。 y=cos 3 +1+ . 1cos2 B =sin 3 +cos3 +1=,2 sin (3 +n/4 ) +1/ 0<3<n,0<3 +n /4 w 5n /4血w iw sin2(3 +n /4)wi(3 +n /4)+1 w 1+。故所求函数的值域为0 ,1+、2 。3例15、求函数y=¥xX2x2的值域解：原函数可变形为:1y=-22x1 x21 x21 x2可令x=tg 3,则有-1空7 =sin2 3，1x12=cos2 31xy=-32cos2 3 = - sin4 34当 3 =kn/2 - n/8 时，ymax=l 。41当 3 =kn/2+ n/8 时，ymin= -14而此时tg 3有意义。1 1故所求函数的值域为-1 ,丄。4 4例 16、求函数 y= (sinx+1 ) (cosx+1 ), x - n/12 n/2的值域。解：y= ( sinx+1 ) ( cosx+1) =sinxcosx+sinx+cosx+11 2令 sinx+cosx=t ，贝U sinxcosx=( t -1)21 2 1 2y= (t -1) +t+仁一(t 1)2 2由 t=sinx+cosx= 、2sin (x+n/4 )且 x -n/12 , n/2可得：2 < t 22当时，皿=汁2，当T时,y十于 故所求函数的值域为3 + 242例17、求函数y=x+4+5 x2的值域解：由5-x>0,可得I x 1<.5故可令 x= . 5 cos 3,3 0 ,ny= . 5 cos 3 +4+ . 5 sin 3=10 sin (3 +n/4 ) +4/0<3<n,.n /4<3 +n/4<5n/4当 3 =n/4 时，ymax=4+'10，当 3 =n时，y min =4- ' 5。故所求函数的值域为：4- . 5 , 4+ .10 。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形 结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型例18、求函数y (x 2) + (x 8)2的值域。E PA-8 0 2解：原函数可化简得：y= lx -2 I + I x+8 I上式可以看成数轴上点 P (x)到定点A (2), B (-8 )间的距离之和。由上图可知：当点 P在线段AB上时，y= I x-2 I + I x+8 I = I AB I =10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y= I x-2 I + I x+8 I > I AB I =10故所求函数的值域为：10 , +s)例19、求函数y x2 6x 13 + x2 4x 5的值域2 221)0VA (3, 2)B /(-2, -1)上式可看成x轴上的点P (x, 0)到两定点 A (3, 2) , B (-2 ,-1 )的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=I ABI =(3 2)2 (2 1)2= 43,解：原函数可变形为：y= (X 3)(0 2) + (x 2)(0故所求函数的值域为.43 , +8)。例20、求函数y= x2 6x 13 - x2 4x 5的值域I22 f22解:将函数变形为：y= (x 3) (0 2) - (x 2) (0 1)上式可看成定点A(3,2)到点P ( x,0)的距离与定点B (-2 , 1)到点P (x,0)的距离之差。即:y= I API - I BPI由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P1,则构成 ABP1根据三角形两边之差小于第三边，2 2有 II API I - I BP1 llvl ABI= .(32)(21)= 26即：-26 v yv , 26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有I I API - I BPII = I ABI= , 26。综上所述，可知函数的值域为：(-,26 , - , 26 。注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A, B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A, B在x轴的同侧。如：例17的A, B两点坐标分别为：(3，2)，( -2，-1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：(3，2),(2，-1 )，在x轴的同侧。3 sin x例21、求函数y 3 "心的值域.2 cosx分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式Bk 吐一y1，将原x2 x-i函数视为定点(2,3)到动点(cos x,sin x)的斜率，又知动点(cosx,sin x)满足单位圆的方程，从而问题就 转化为求点(2, 3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切 时取得，从而解得：y 663?3 39、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。(如：a2 b2 2ab，a b 2 ab)其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。例 22、求函 y=( sinx+1/sinx ) +( cosx+1/cosx )的值域解：原函数变形为：2 2 2 2尸(sin x+cosx)+1/sin x+1/cosx2 2 2 2=1+cscx+secx=3+tg x+ctg xI 223 3 tg xctg x+2=5当且仅当tgx=ctgx，即当x=kn±n/4时(k z)，等号成立。故原函数的值域为：5 , +8)。例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=42sinxcosx242y =16sin xcosx2=8sin x2sinx (2-22sin x)c /22八2、w8 (sin x+sin x+2-sin x)2223=8 (sin x+sin x+2-sin x)/3=64272 2 2当且当sin x =2-2 sin x，即当sin %=时，等号成立。2 64由y w 64，可得:27故原函数的值域为：-8.398.39例24、当x 0时，求函数f(x)8x分析与解：因为f (x) 8x4x42的最值，并指出f(x)取最值时x的值。x4可利用不等式a b c 33 abc 即:4x 2xf(x)33 4x?4x?所以f (x) 12当且仅当4x号即x 1时取”=”当x 1时xf (x)取得最小值12。例25、2双曲线务a2£1的离心率为q，双曲线b2 y_ b22x21的离心率为e2，则qae的最小值是()。A2 一 2 B4C2D., 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：e e2a2 b2a2_bb，我们知道所以e e22、a b (当且仅当2 bV ab2 b2a时取“=”)而ba2 b2x y 2 xy2ab故e1 e22 2 (当且仅当a b时取“=”)所以G e2)min2 2 。10、导数法设函数f x在a,b上连续，在 a,b上可导，则f x在a, b上的最大值和最小值为f x在a,b内的各极值与fa , f b中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值，通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法应该引起足够重视。例 26、求函数 f xx3 3x2 6x 2, x令 f'(X)f(x)1(x 1)2 11,等号成立条件是x1.解：f ' X3x26x 6,令 f ' x0,方程无解Q f ' x3x26x63x1230 函数f x在x1,1上是增函数故当X1时，fminx f 112，当 X 1 时,fmax Xf 121,1的最大值和最小值。例27、求函数f(x)的最值.x 2x 2解析：函数f(x)是定义在一个开区间，上的可导函数2x 22(x2 2x 2)得f(x)的唯一驻点x1即为最点.x 1时，f'(x)0,函数递增x 1时，f'(x)0,函数递减故f(x)有最大值f ( 1)1.【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数yf (x)有导函数f (x) g(x)存在，那么f (x)是否有最值的问题可转化为f (x)的导函数g(x)是否有最根的问题来研究：(1 )若导函数g(x)无根，即g(x) 0,则f (x)无最值;(2)若导函数g(x)有唯一的根X。，即f'(Xo) 0，则f (x)有最值f(xo).此时，导函数f (x)的根X。即是函数f(x)最根X。.(3)若导函数g(x)有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性11、多种方法综合运用例28、求函数沪必 2x的值域3解：令t= . x 2(t > 0),则x+3=t2 +1(1)当 t > 0 时,ty=pt11-=w ，当且仅当t=1，即x=-1时取等号1 t 1/t21所以0vyw2当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为:0, 。先换兀，后用不等式法。例29、求函数y=231 x 2x x242x x解：y=12122x4x4x3X x22x4x的值域。=(11 2 21 <)2丿x令 x=tg -，则(112 2x、=2)=cosx1=sin ,22-y= cos1 .+ sin22171 .+ sin21=-(s in 4)+1当 sin =时，4_17mJ。sin =-1时,y min=-2。此时tg 都存在，故函数的值域为:2,17 。16注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法,，般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。学生巩固练习2 111函数y=x +(xw _)的值域是()x2B : 7,+ m )4C33 22D( s, 33 2 :22函数y=x+ . 1 2x的值域是()A( g ,1 B( g, 1 CR D 1,+ g )3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达 B市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全,两列货车间距离不得小于(乂)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要 小时(不计货车20的车身长)4设X1、X2为方程4x2 4mxm+2=0的两个实根，当 m=时，X12+X22有最小值5某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为 500台，销售的收入函数为F(x)=5x !x2(万元)(0 w xw5),其中x是产品2售出的数量(单位百台)(1) 把利润表示为年产量的函数；(2) 年产量多少时，企业所得的利润最大？(3) 年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数 f (x)=lg (a2 1)x2+(a+1)x+1(1) 若f (x)的定义域 为(一g，+ g)，求实数a的取值范围；(2) 若f (x)的值域为(一g，+ g),求实数a的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空 调器、彩电、冰箱共 360台，且冰箱至少生产 60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8在Rt ABC中，/ C=90°,以斜边 AB所在直线为轴将厶 ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为$, ABC的内切圆面积为BC CAAB(1)求函数f (x)=邑 的解析式并求f (x)的定义域S2(2)求函数f(x)的最小值参考答案1解析T mi=x2在(g,-)上是减函数， m=在(g2xg, 1)上为减函数，2o 117y=x + - (x<-)的值域为一，+g ) x24r11 )上是减函数,2y=x2+1 在 x (x2解析令 1 2x=t(t > 0),则1 t2x=21 t2+t =1 (t 1)2+1wi2答案B值域为(g,1 答案A3 解析 t = 4°°+16X( V )2/V=40°+ >216 =8V20 V 400答案84解析由韦达定理知 x计X2=m X1X2= m_2 ,422 .、2c 2 m 2.1.217 X1+X2 =(X1+X2) 2x1X2=m=( m-),2416又 X1, X2为实根， A >0二 m< 1 或 m>2,1217y=(m- 1 )2 17在区间(一g,1 )上是减函数，在2, +g )上是增函数，又抛物线 y开口向上且以4 161m=-为对称轴故m=1时，4_ 1y min=2答案-1 125解(1 )利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 Qx)之差，由题意，当x<5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以y=5x1 2 X2(0.50.25x)(0 x 5)1 24.75x x 0.5(02X5)(515 -252)(0.5 0.25x)(x 5)12 0.25x(x1)(2 )在0< XW5时,1 2y= x +475x 05,当当 x= =475(百台)时,yma)=10 78125(万元)，当 x>5(百22a台)时，yv 12 025X 5=107 5(万元)，所以当生产475台时，利润最大0x5x (3 )要使企业不亏本，即要求1 2或x 4.75x 0.5012250.25x0解得 5> x>475 .21.5625 01(百台)或 5v xv 48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本6解(1 )依题意(a2 1)2 2x +(a+1)x+1>0对一切 x R恒成立，当a 1工0时，其充要条件是a2 10(a 1)2 4(a21)d十 5-a v 1 或 a> 3又a= 1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意5故aw 1或a>为所求3(2 )依题意只要t=(a2 1)x2+(a+1)x+1能取到(0 , +R)上的任何值，贝Uf(x)的值域为 R,故有2a210525a u,解得1vaw 5 ,又当a 1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a= 1时不合题意，二1w aw 5为033所求7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得x+y+z=3601 1 1-x yz 120234x>0, y>0, z>60假定每周总产值为 S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件之下，为求目标函数S的最大值，由 消去乙得y=3603x将代入得 x+(360 3x)+ z=360, z=2x T z >60, x > 30再将代入 S中，得S=4x+3(360 3x)+2 2x,即S= x+1080由条件及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S= 30+1080=1050(千元)得x=30分别代入和得 y=360 90=270, z=2X 30=60每周应生产空调器 30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元ab8解(1 )如图所示设 BOa, CA=b, AB=c,则斜边AB上的高h= ,cab Si= n ah+ n bh=(a b)，S(a bc)2(丿，c/. f (x)= §S24ab(a b) b c)2c(aa bx 又 c2,2a bc2a b cx2c 2 ab (x21)2代入消c,得f(x)=空 9x 1在 Rt ABC中，有 a=csin A, b=ccosA(0 v Av 一 )则2 ，x= a_b =sin A+cos A= . 2 sin( A+ ) 1 v x< . 2 c422(x x)2、八 f(x)=2(x 1)+6,x 1x 1设 t=x 1,则 t (0,、2 1), y=2(t + 2)+6t在(0 ,. 2 1 上是减函数，当 x=( ,2 1)+1= .2 时，f(x)的最小值为 6.2+8