2010年高三数学计算试题分类汇编-数列.doc

2010 年高考数学试题分类汇编 数列 2010 上海文数 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 6 分 第 2 个小 题满分 8 分 已知数列 na的前 项和为 nS 且 58na N 1 证明 1 是等比数列 2 求数列 nS的通项公式 并求出使得 1nS 成立的最小正整数 n 解析 1 当 n 1 时 a 1 14 当 n 2 时 a n Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以 15 6nna 又 a1 1 15 0 所以数列 a n 1 是等比数列 2 由 1 知 156n 得 156nna 从而157906nS n N 由 Sn 1 Sn 得 125n 562log14 9 最小正整数 n 15 2010 湖南文数 20 本小题满分 13 分 给出下面的数表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从第 2 行起 每行中的 每个数都等于它肩上的两数之和 I 写出表 4 验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推广 到表 n n 3 不要求证明 II 每个数列中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 nb 求和 324121nb 2010 全国卷 2 理数 18 本小题满分 12 分 已知数列 na的前 项和 2 3nnS A 求 limn 证明 1223naa 命题意图 本试题主要考查数列基本公式 1 2nnsa 的运用 数列极限和数列 不等式的证明 考查考生运用所学知识解决问题的能力 参考答案 点评 2010 年高考数学全国 I 这两套试卷都将数列题前置 一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基本 方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 估计以后的高考 对数列的考查主要涉及数列的基本公式 基本性质 递推数列 数列求和 数列极限 简单的数列不等式证明等 这种考查方式还要持续 2010 陕西文数 16 本小题满分 12 分 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2 an 的前 n 项和 Sn 解 由题设知公差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 2d 8 解得 d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知 2ma 2n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 12 n 2n 1 2 2010 全国卷 2 文数 18 本小题满分 12 分 已知 na是各项均为正数的等比数列 且1212 34534516 aa 求 n的通项公式 设 2 nnba 求数列 nb的前 项和 nT 解析 本题考查了数列通项 前 项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1与 d的方程求得 1a与 d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 BN 的通项公式 由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得 2010 江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得 22abc 成等差数列 2 存在无穷多个互不相似的三角形 n 其边长 nn 为正整数且22nnabc 成等差数列 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 22acb 类似勾股数进行拼凑 证明 考虑到结构特征 取特值 1 57满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正整数 a 均能成立 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形 再证明互不相似 且无穷 证明 当 22nnbc 成等差数列 则 22nnbacb 分解得 na 选取关于 n 的一个多项式 241做两种途径的分解2 241 24 1 对比目标式 构造 2 1nbnc 由第一问结论得 等差数列成立 考察三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m n相似 则三边对应成比例22211n 由比例的性质得 nn 与约定不同的值矛盾 故互不相似 2010 安徽文数 21 本小题满分 13 分 设 12 nC 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在 x轴的正半轴上 且都与直线3yx 相切 对每一个正整数 n 圆 C都与圆 1n 相 互外切 以 nr表示 的半径 已知 nr为递增数列 证明 为等比数列 设 1r 求数列 nr的前 项和 命题意图 本题考查等比列的基本知识 利用错位相减法求和等基本方法 考察抽象概括 能力以及推理论证能力 解题指导 1 求直线倾斜角的正弦 设 nC的圆心为 0 n 得 2nr 同理得12nr 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系 得两圆半径之间的关系 即 n中 与 的关系 证明 nr为等比数列 2 利用 1 的结论求 nr的通项公式 代入数 列 nr 然后用错位相减法求和 nnn n 1 1n 1n n11nn n12331 si 2r1r22rr3qrr3 3r rxC 解 将 直 线 y 的 倾 斜 角 记 为 则 有 ta 设 的 圆 心 为 0 则 由 题 意 得 知 得 同 理 从 而 将 代 入 解 得故 为 公 比 的 等 比 数 列 由 于 故 从 而 记 S21n1 121n 11 r 3 3 3 3 93923 424nnnnnn nnnS 则 有 得2S 方法技巧 对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 得出关 于数列相邻项 na与 1 之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出通项 公式或其他所求结论 对于数列求和问题 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时 通常是利用前 n 项和 nS乘以公比 然后错位相减解决 2010 重庆文数 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知 na是首项为 19 公差为 2 的等差数列 nS为 a的前 项和 求通项 及 nS 设 nb 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 nb的通项公式及其前n 项和 T 2010 浙江文数 19 本题满分 14 分 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数 列 a n 的前 n 项和为 Sn 满足 56 15 0 若 5 5 求 6及 a1 求 d 的取值范围 2010 重庆理数 21 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 在数列 na中 1 1 112 nnacN 其中实数 0c I 求 的通项公式 II 若对一切 kN 有 21kz 求 c 的取值范围 2010 山东文数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 na满足 37 5726a na的前 n 项和为 nS 求 及 S 令 21nba nN 求数列 nb的前 n 项和 nT 2010 北京文数 16 本小题共 13 分 已知 n为等差数列 且 36a 0 求 a的通项公式 若等差数列 nb满足 18 2123ba 求 nb的前 n 项和公式 解 设等差数列 的公差 d 因为 36 0a 1 a 所以 125d 解得 所以 0 1nan 设等比数列 b的公比为 q 因为 21234 8ab 所以 8q 即 3 所以 nb的前 项和公式为 1 4 3 nnnqS 2010 北京理数 20 本小题共 13 分 已知集合 121 0 2 n nSXxxin 对于12 Aa BbS 定义 A 与 B 的差为12 nBa A 与 B 之间的距离为 1 idAab 证明 nnCSBS 有 且 dACBdA 证明 d三个数中至少有一个是偶数 设 P nS P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 证明 I 设 12 nAa 12 nBb 12 nCc S 因为 i 0ib 所以 0i i 从而 12 nnBaS 又 1 niiidACcb 由题意知 ia ib i 0 2 in 当 0ic 时 iiicab 当 1i时 1 ii iiiab 所以 1 niidACBabdAB II 设 12 na 2 n 12 nCc S dk dl dh 记 0 nOS 由 I 可知 ABAOBk dCdCl h 所以 1 2 iban 中 1 的个数为 k 1 2 ican 的 1 的 个数为 l 设 t是使 iic成立的 i的个数 则 hlkt 由此可知 klh三个数不可能都是奇数 即 dAB C d三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 ABPm 其中 ABP 表示 中所有两个元素间距离的总和 设 P种所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1 imt 个 0 则 ABPd 1 niit 由于 it im2 4i 所以 ABPd 2n 从而 22 1 4 1 ABPmmnCC 2010 四川理数 21 本小题满分 12 分 已知数列 a n 满足 a1 0 a 2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a 2n 1 2a m n 1 2 m n 2 求 a3 a 5 设 bn a 2n 1 a 2n 1 n N 证明 b n 是等差数列 设 cn a n 1 a n qn 1 q 0 n N 求数列 c n 的前 n 项和 Sn 本小题主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决 问题的能力 解 1 由题意 零 m 2 n 1 可得 a3 2a 2 a 1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2a 3 a 1 8 20 2 分 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a 2n 1 2a 2n 1 8 于是 a 2 n 1 1 a 2 n 1 1 a 2n 1 a 2n 1 8w w w k s5 u c o m 即 b n 1 b n 8 所以 b n 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 b n 是首项为 b1 a 3 a 1 6 公差为 8 的等差数列 则 bn 8n 2 即 a2n 1 a 2n 1 8n 2 另由已知 令 m 1 可得 an n 1 2 那么 an 1 a n 2 2n 1w 8 2n 1 2n 于是 cn 2nq n 1 当 q 1 时 S n 2 4 6 2n n n 1 当 q 1 时 S n 2 q 0 4 q 1 6 q 2 2n q n 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q 1 4 q 2 6 q 3 2n q n 上述两式相减得 1 q S n 2 1 q q 2 q n 1 2nq nw 2 2nq n 2 11 nq 所以 Sn 2 12 nnq 综上所述 S n 12 1 nnq A 12 分 2010 天津文数 22 本小题满分 14 分 在数列 na中 1 0 且对任意 k N 2k12k 1a 成等差数列 其公差为 2k 证明 456 成等比数列 求数列 n的通项公式 记 223nnTaa A 证明 n3T2 解析 本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式 等比数列的定义 数列求和等基 础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 证明 由题设可知 21a 324a 348a 541a 68 从而 5432a 所以 4a 5 6成等比数列 II 解 由题设可得 214 kakN 所以 21 21331 k kaaa 4 kN 由 10a 得 21k 从而 221kak 所以数列 n的通项公式为 2 n 为 奇 数为 偶 数 或写为 214nna N III 证明 由 II 可知 21ka 2k 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 则 2nka 若 2 则 22221 121 144nmmkkkkkka 2 114 12mk kk 132mn 所以 23nka 从而 2 46 8 ka 2 当 n 为奇数时 设 1 nmN 2 2221 134nmkkaa 422n 所以 231nka 从而 23 35 7 nka 综合 1 和 2 可知 对任意 N 有 2 nT 2010 天津理数 22 本小题满分 14 分 在数列 na中 10 且对任意 k 21ka k 21 成等差数列 其公差为 kd 若 kd 2 证明 2ka 1 成等比数列 N 若对任意 N 2k 2k 成等比数列 其公比为 kq 解析 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式 前 n 项和公式 等比数列的定义 数 列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法 满分 14 分 证明 由题设 可得 4 21akNk 所以 1 31 2 2a aak 4 4 2k k 1 由 1a 0 得 222 1 1 21kakakk 从 而 于是 2 ak 所 以 所以 212kdkNak 时 对 任 意 成等比数列 证法一 i 证明 由 成等差数列 及 212akk 成 等比数列 得 12 122kkaaqkka 当 1q 1 时 可知 kq 1 k N 从而 111 1 2 2 kqk kk 即 所以 1qk 是等差数列 公差为 1 证明 10a 2 可得 34a 从而 12 q 1 1 由 有 1 kkqNq 得 所以 2 221 1aakkNk 从 而 因此 222 2 1 2 14 2 kaak kkakNk 以下分两种情况进行讨论 1 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 若 m 1 则 2ka 若 m 2 则222211 1 4nmmkkkkkaa 2 211 14 12 3 mmk k kkmn 所以 2 231 46 8 n nk kaa 从 而 2 当 n 为奇数时 设 n 2m 1 mN 222 21 31 4mkkaa 142 2n 所以 231 nka 从而 23 35 7nka 综合 1 2 可知 对任意 2n N 有 2nk 证法二 i 证明 由题设 可得 2122 1 k kkdaqaq 21212 kkkkkdaqa 所以 1d 3211 22k kkkk kq qa 由 1 可知 1 kN 可得 1 1kkkq 所以 kq 是等差数列 公差为 1 ii 证明 因为 120 a 所以 121da 所以 3214d 从而 312q 1q 于是 由 i 可知所以 1kq 是公 差为 1 的等差数列 由等差数列的通项公式可得 k 1 故 k 从而 1kdq 所以 121212 1kkdkk 由 12d 可得kd 于是 由 i 可知 221 kkaaN 以下同证法一 2010 全国卷 1 理数 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 na中 1 nnac 设 51 2ncba 求数列 nb的通项公式 求使不等式 13n 成立的 c的取值范围 2010 四川文数 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 na的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 的通项公式 设 1 4 0 nnbqN 求数列 nb的前 n 项和 nS 2010 山东理数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 na满足 37 5726a na的前 n 项和为 nS 求 及 S 令 bn 21a n N 求数列 nb的前 n 项和 T 解析 设等差数列 na的公差为 d 因为 37a 5726 所以有12706da 解得 13 2 所以 3 n n nS 1 2n 由 知 21na 所以 bn 2a 2 1 4n 1 n 所以 nT 1 43 1 4 即数列 nb的前 n 项和 T 4 命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 裂项法求数列的和 熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键 2010 湖南理数 21 本小题满分 13 分 数列 naN 中 是函数 3221 3nnnfxaxa 的极 小值点 当 a 0 时 求通项 na 是否存在 a 使数列 是等比数列 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请 说明理由 2010 湖北理数 1nln232 证 明 1 2 2010 安徽理数 20 本小题满分 12 分 设数列 12 na 中的每一项都不为 0 证明 n为等差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有12311nnaa 2010 江苏卷 19 本小题满分 16 分 设各项均为正数的数列 na的前 n 项和为 nS 已知 312a 数列 nS是公差为d 的等差数列 1 求数列 n的通项公式 用 d 表示 2 设 c为实数 对满足 nmk 且3的任意正整数 knm 不等式knmS 都成立 求证 c的最大值为 29 解析 本小题主要考查等差数列的通项 求和以及基本不等式等有关知识 考查探索 分析 及论证的能力 满分 16 分 1 由题意知 0d 11 nSdand 232323 aa 2211 a 化简 得 22110 adad nnSdS 当 2 时 2221 1 n nd 适合 1n 情形 故所求 2 a 2 方法一 2222mnkScdnckdmnck 2mnk 恒成立 又 且3 2229 9 故 92c 即 的最大值为 9 方法二 由 1ad及 1 nSad 得 0 2nSd 于是 对满足题设的 km 有2222 9 mn kSddS 所以 c的最大值 max9 另一方面 任取实数 2 设 k为偶数 令 31 2mkn 则 knm 符合条件 且 2223 1 94 mnSdd 于是 只要 2294ka 即当 9ka 时 2mnkSaS 所以满足条件的 c 从而 maxc 因此 的最大值为 2