北京市高考数学试卷理科

数学（理）（北京卷）第I部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.101,2,3，则 AI(1)已知集合 A x| x| 2 , B(A) 0,1(B) 0,1,2(C)1,0,1(D)1,0,1,22x y&0,(2)若 x, y满足 x y<3,贝U2xx> 0,y的最大值为（(A) 0(B) 3(C) 4(D) 5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a值为1, 则输出的k值为（）(A) 1(B) 2(4)设a, b是向量.则“(C)|a|b|”(D) 4是 “ | a b | |ab|”的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件（C）充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知x, y R,且x0,则（）(A) - - 0(B) sinx sin y 0(C)1x y2(D) ln x ln y 0（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（(B)1侧（左）视图(C)(D)正（主）视图将函数y sin(2x _)图象上的点3P(,t)向左平移4s(s 0)个单位长度得到点P .若P位于函数y sin 2x的图象上，则(1一一 ，一(A)ts的最小值为26,.1一一 ，一(C) t ,s的取小值为一23(B) t , s的最小值为26(D) t , s的最小值为一23(8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入内盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球(B)乙盒中红球与内盒中黑球一样多(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球(D)乙盒中黑球与内盒中红球一样多第R部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.(9)设a R,若复数(1 i)(a i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a .(10)在(1 2x)6的展开式中，x2的系数为.(用数字作答)(11)在极坐标系中，直线 cos73 sin 1 0与圆 2cos交于A, B两点，则|AB| .22(13)双曲线与1 aa b(12)已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 6, 83 85 0 ,则0 0, b 0的渐近线为正方形OABC的边OA, OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a(14)设函数f(x)x3 3x, x<a, 2x, x a.若a 0 ,则f (x)的最大值为 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (15)(本小题13分)在 ABC 中，a2 c2 b2 应ac.(I)求 B的大小；(U)求2 cosA cosC的最大值.(16)(本小题13分)A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周 的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A组66.577.58B组6789101112C组34.567.5910.51213.5(I )试估计C班的学生人数；(H)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人， A班选出的人记为甲，C班选出的人记为 乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(m)再从A, B,C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7, 9, 8.25(单位:1 ,表格中数据的平均数记为在,小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明)(17)(本小题14分)如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD,PA PD , PA PD , AB AD , AB 1 , AD 2 , AC CD 75 .(I )求证：PD 平面PAB;(H)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；求器的化若不存在，说明理由.(m)在棱PA上是否存在点M ,使得BM /平面PCD ?若存(18)(本小题13分)设函数f(x) xeax bx,曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为y (e 1)x 4 .(I )求a, b的值；(H )求f (x)的单调区间.(19)(本小题14分)已知椭圆C:xr匕1(a b 0)的离心率为 ,A(a,0) , B(0,b), O(0, 0) , OAB的面积为1.a2 b22(I)求椭圆C的方程；(H)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N.求证： |AN | | BM |为定值(20)(本小题13分)设数列A:ai,a2, ,aN (Nn2) .如果对小于n(2 & nw N)的每个正整数k都有ak小，则称n是数列A的一个“ G时刻”.记G(A)是数列A的所有“ G时刻”组成的集合.(I)对数列A: 2, 2, 1,1,3,写出G(A)的所有元素；(H)证明：若数列 A中存在小使得an则G(A) ;(m)证明：若数列A满足a。an i<1 (n 2,3, , N),则G(A)的元素个数不小于aN ai .2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合 A x| 2 x 2,集合 B x| 1, 0, 1, 2,3,所以 AI B 1, 0, 1.2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为1, 2 ,最大值为2 12 4.3. B【解析】开始a 1 , k 0 ;第一次循环a 1 , k 1 ；第二次循环a 2 , k 2 ,第三次循环a 1 , 条件判断为“是”跳出，此时k 2.4. D r r . r r . . .一 .一.一一 、一. r r r r .【解析】若a = b成立，则以a, b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b, a b表 rr r r示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b = a b不一定成立，从而 一、 rrrr.r . 一 .一.，.、一 .不是充分条件；反之，a+b=a b成立，则以a, b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以a=b不一定成立，从而不是必要条件5. C【解析】A.考查的是反比例函数y 1在0,单调递减，所以即1二0所以A错；B.xx y x y考查的是三角函数y sin x在0,单调性，不是单调的，所以不一定有sinx sin y , Bxxyxy错；C.考查的是指数函数y 1在0,单调递减，所以有11即11022222所以C对；D考查的是对数函数y lnx的性质，ln x ln y ln xy ,当x y 0时，xy 0不一定有lnxy 0,所以D错.6. A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过嗯如得高h 1,底面积S 11-2, 所以体积V 1Sh 1.7. A36,【解析】点P 7, t在函数y sin 2x 上，所以t sin 2 1 sjA -V<1,然后434 362y sin 2x -向左平移s个单位，即y sin 2（x s） - sin2x 所以s - +kTt, k Z,所以s 33，6的最小值为-.68. B【解析】取两个球往盒子中放有 4种情况：红+红，则乙盒中红球数加1个；黑+黑，则内盒中黑球数加1个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1个;黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1个.因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多，和的情况完全随机.和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次 数一样.综上，选B.9. 1【解析】1 i a i a 1 a 1 i;其对应点在实轴上. . a 1 0, a 110.60【解析】由二项式定理得含X2的项为C2 2x 2 60x211.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算X cos , y sin直线的直角坐标方程为x J3y 1 0222.22-2cos , sin cos 2 cos x y 2x圆的直角坐标方程为x 1 2 y2 1圆心1,0在直线上，因此AB为圆的直径，AB 212.6【解析】: a3 a5 2a4. a 0a16 , a4 a1 3d , , d 26 6 1S6 6a1 d 6213. 2【解析】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图V OABC 为正方形，OA 2 ； c |OB 2尬， AOB -4直线OA是渐近线，方程为y bx,- tan AOB 1a a又 ; a2 b2 c2 8. a 214. 2 , a 1.【解析】由x3 3x3x2 3 0 ,得x1,如下图，是f x的两个函数在没有限制条件3x时的图象. f x max f 12 ；当a> 1时，f x有最大值f 12；当a 1时，2x在x a时无最大值，且 2a所以，a 1.15.【解析】 a2 c2 b2 版acb2 2ac2ac2ac22. 2cosBa c b2ac_ 兀B 4: A B C 兀,八 3 A C 兀4,2cosA cosC. a 3 3.A C 一兀4“小3、.A （0,兀）4sin(A J最大值为1416.【解析】上式最大值为1 100 40, C班学生40人 20在A班中取到每个人的概率相同均为-5设A班中取到第i个人事件为A，i 1,2,3,4,5C班中取至IJ第j个人事件为Cj , j 123,4,5,6,7,8A班中取到A Cj的概率为P所求事件为DWJ P(D) 1P 1P2 1P3 3 1P5 5555510三组平均数分别为7,9,8.25，总均值0 8.2但1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08 ,比。小, 故拉低了平均值17.【解析】.面 PAD I 面 ABCD AD面 PAD 面 ABCD: AB AD , AB 面 ABCD AB 面 PADPD 面 PAD AB PD又 PD PAPD 面 PAB取AD中点为O ,连结CO , PO: CD AC 5 CO ADPA PD二 PO AD以。为原点，如图建系易知 P(0,01) , B(110) , D(0r , LUVUJIV1,0) , C(2,0,0), LUUV1), PC (2,0, 1),Vn (比，y0,1)ULUVCD ( 2, 1,0)V ULUV n PDV ULUV n PC 假设存在 设幽AP 由 .UULU 有AMLULU /. BMv 1n -, 1,1 ,贝 PB与面PCD夹角 2点使得BM II面PCDM 0, y',z'知 A 0,1,0LUUAP M1,UlU,P 0,0,1 , AP 0, 1,1 , B 1,1,0 ,0,1,UULUlAM 0,y' 1,z': BM II 面 PCD , luui r/. BM n 0uu为PCD的法向量贝U PB (1,1, 1) , PD (0, 1, 设(为面PDC的法向量，令即1 2 =14综上，存在M点，即当AM 4时，M点即为所求.18.【解析】 Q f (x) xea x bxf (x)ea x xeax b(1x)eax b;曲线y f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y (e 1)x 4 f (2)2(e 1) 4 , f(2)e 1即 f(2)2ea 2 2b 2(e1)4 f (2) (1 2)ea 2 b e 1由解得：a 2, b e(II)由(I)可知：f(x) xe2 x ex, f (x) (1 x)e2 x e令 g(x) (1 x)e2x,2 x2 x2 x . g (x) e (1 x)e (x 2)e极小值g(x)的最小值是 g(2) (1 2)e2 21. f (x)的最小值为 f (2) g(2) e e 1 0 即f (x) 0对x R包成立19.【解析】f(x)在 ， 上单调递增，无减区间,由已知， c Jab 1 ,又a2 b2 c2 a 2 2解得 a 2,b 1,c 、3.2椭圆的方程为-y2 1.4方法2设椭圆上一点P %,先，则包y0 1.42 yoXo2直线 PA : y y0 x 2 ,令 x 0 ,得 yM X 2BM12yoxo2直线PB： y _y0x 1,令yXoXoyo1Vo 12将x° y2 1代入上式得AN BM =44故AN| |BM|为定值.方法设椭圆上一点P 2cos ,sin ,直线 PA：y -nx 2 ,令 x o ,得 yM 、n一 2cos 21 cos.sin cos 1 BM1 cossin 12cos直线 PB: y x 1,令 y o ,得 xn .2cos1 sin2sin 2cos 2-AN 1 sin故AN| |BM|为定值.20.【解析】(1) G A 2,5 因为存在an a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak a1 > a , 其中 2< i < k 1 ,所以 k G A , G A .设A数列的所有“ G时刻”为i1 i2 L i对于第一个“ G时刻” ir有a“ a1>ai, i 2,3,L J 1,则a1 a, w 为 为 1 w 1 .对于第二个“ G时刻” i2 i1，有和 %> ai ( i 1,2,L j 1).则 ai2 ai1 w 叱 ai2 1 < 1 .类似的 ai3 a? w 1 aik ak 1 < 1 . 32k k I于是，k>aikai色aik 2L %/a1aika1.对于 aN ,若 N G A ,则 aik aN ；与只有k个若N G A ,则aN w q ,否则由，知 ,即1, L , aN中存在" G时亥 “G时刻”矛盾.从而，k > aik a1 > aN ai ,证毕.