惯性张量.doc

转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。对于一个有多个质点的系统，。若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。如果一个质量为 m 的物件，以某条经过 A 点的直线为轴，其转动惯量为 IA。在空间取点 B，使得 AB 垂直于原本的轴。那么如果以经过 B、平行于原本的轴的直线为轴，AB 的距离为 d，则 IB = IA + md2。力距在直线运动，F = ma。在旋转运动，则有 = I，其中是力矩，是角加速度。动能一般物件的动能是。将速度v和质量m，用转动力学的定义取代： 得出， 简化得 。 如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角座标系 Qxyz ，一个刚体的惯性张量 是。(1) 这里，对角元素 、 、 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。设定 为微小质量 对于点 Q 的相对位置。则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为， ，(2) 。 而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为， ，(3) 。 导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz 的角动量 定义为。 这里， 代表微小质量 在 Gxyz 座标系的位置， 代表微小质量的速度。因为速度是角速度 叉积位置，所以，。 计算 x-轴分量，相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为， ， 。 如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量 ，让角速度 为 ，那么，。(4) 平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 ，而质心 G 的位置是 ，则刚体对于原点 O 的惯性张量 ，依照平行轴定理，可以表述为， ，(5) ， ， ，(6) 。 证明：图 Ba) 参考图 B ，让 、 分别为微小质量 对质心 G 与原点 O 的相对位置：， 。 依照方程式 (2)， 。 所以，相似地，可以求得 、 的方程式。b) 依照方程式 (3)，。 。 因为 ， ，所以相似地，可以求得对于点 O 的其他惯性积方程式。对于任意轴的惯性矩图 C参视图 C ，设定点 O 为直角座标系的原点，点 Q 为三维空间里任意一点，Q 不等于 O 。思考一个刚体，对于 OQ-轴的惯性矩是。 这里， 是微小质量 离 OQ-轴的垂直距离， 是沿着 OQ-轴的单位向量， 是微小质量 的位置。展开叉积，。 稍微加以编排，特别注意，从方程式(2)、(3)，这些积分项目，分别是刚体对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩与惯性积。因此，。(7) 如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。那么，对于 OQ-轴的惯性矩，可以用此方程式求得。主惯性矩因为惯性张量 是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯性积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵1。所得到的三个特征值必是实值；三个特征向量必定互相正交。我们需要求解。(8) 或者，。 展开行列式，可以得到一个三次方程式。方程式的三个根 、 、 都是正的，实值的特征值。将特征值代入方程式 (8)，再加上方向余弦方程式， 我们可以求到特征向量 、 、 。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主惯性矩。假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主惯性矩分别为 、 、 ，角速度是 。那么，角动量为。 动能刚体的动能 可以定义为， 这里， 是刚体质心的速度， 是微小质量 相对于质心的速度。在方程式里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能，第二个项目是刚体旋转运动的动能 。由于这旋转运动是绕着质心转动的，。 这里， 是微小质量 绕着质心的角速度， 是 对于质心的相对位置。 因此，。 或者，。 所以(9)假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主惯性矩分别为 、 、 ，角速度是 。那么，刚体的动能为。(10)