数学与应用数学毕业论文关于一类二次矩阵方程的解的进一步讨论

严益水 关于一类二次矩阵方程的解的进一步讨论关于一类二次矩阵方程的解的进一步讨论严益水（莆田学院数学系指导教师：陈智雄）摘 要：本文首先分析了形如的二次矩阵方程的解结论,及各种形式解之间的关系,得到解的一些新结论.然后讨论的方程的解,得到该方程具有某一类解的充要条件,并讨论形如的二次矩阵方程,利用合同标准型求出该方程在时的通解。最后，对于一个公开问题即时二次矩阵方程的通解作了初步的讨论.关键词：二次矩阵方程矩阵可逆矩阵特征值 Abstract: In this paper, basing on analyzing the solutions of a matrix equation of, and the relationship among all forms of its solutions, we obtain some new conclusions of the equation. Then, we discuss the solutions of the matrix equation and obtain a necessary and sufficient condition of a class of solutions. We also discuss the matrix equation ofand obtain the general solutions for this equation whenby applying congruent standard form. Finally, we preliminarily discuss an open problem: the general solutions forif.Keyword: Quadratic equation matrix Hermite matrix Invertible matrix Eigenvalue82对线性矩阵方程的解的讨论的文献已有很多，但对非线性的二次矩阵方程的解的讨论的文献很少见，本文对形如的矩阵方程的解进行研究。1、引言1.1记号表示体上的阶矩阵的全体表示阶单位矩阵即表示的共轭转置表示阶可逆矩阵的逆称为域上的矩阵称为域上的斜矩阵表示矩阵的秩1.2、研究的现状 文1讨论形如的二次矩阵方程的解，但只给出为非退化矩阵时的解的一类表示式（即利用使得为非退化矩阵的任意矩阵构造的解的表达式），其主要结论如下：命题1.2.1（见1定理1) 设为非退化矩阵，为任意矩阵使和均为可逆矩阵，则，是方程的解。命题1.2.2(见1定理2) 设为可逆矩阵，为方程的解，且,为可逆矩阵，则存在矩阵，使得与为可逆矩阵且，成立。推论1.2.1(见1推论1) 设为可逆矩阵，也可逆，则存在矩阵，使得。文2对体上形如的二次矩阵方程进行研究，并得到了矩阵方程有解的充要条件及当时的通解。本文主要工具是矩阵的秩分解（即的充要条件是存在非奇异矩阵，使得），其主要结论有：命题1.2.3(见2定理1) 设，且，其中为可逆阵，则有解的充要条件是，当时矩阵方程的通解为,其中为任意的阶非奇异矩阵，为任意矩阵。推论1.2.2(见2推论1) 体上二次矩阵方程一定有解，且通解为 ,其中为任意的阶非奇异矩阵，为任意的矩阵。文3把文1中形如的二次矩阵方程推广为形如、及的形式，并讨论这几种方程的解。其思想方法与文1相同，但其比较好的方面是给出了解的表达式的充要条件，并进一步得到解的这类表达式是唯一的结论，和一定条件矩阵方程、的解的表达式不唯一的结论，其结论有：命题1.2.4(见3定理1)设为（或）矩阵，为任意阶矩阵使均为可逆，则，或 为方程（）的解。推论1.2.3(见3推论1) 设为任意阶矩阵使均为可逆，则 是方程的解。推论1.2.4(见3推论2) 设为（或）矩阵，为任意阶矩阵使均为可逆，则 或 为方程的解。命题1.2.5(见3定理2) 设为（或）矩阵，已知是方程（或）的解，则存在阶矩阵使均为可逆，且可表示成 (1.2.1)或(1.2.2)式的形式的充要条件为为可逆矩阵。推论1.2.5(见3推论3) 设是方程的解，则存在阶矩阵使均为可逆，且可表示成(1.2.3)式的形式的充要条件为(或)为可逆矩阵。推论1.2.6(见3推论4) 设为（或）矩阵，已知是方程的解，则存在阶矩阵使均为可逆，且可表示成(1.2.4)或(1.2.5)式的形式的充要条件为为可逆矩阵。命题1.2.6(见3定理3) 设为（或）矩阵，如果方程、及的解可分别表示成(1.2.3)、(1.2.1) (1.2.2)、(1.2.4)(或(1.2.5)）式的形式，则这种形式表示法是唯一的。命题1.2.7(见3定理4) 设为阶矩阵且，已知是方程的解，则存在阶矩阵、，使均可逆，且可表示成 ，或 的形式的充要条件为均可逆。文4讨论矩阵方程的解，并给出解的表示式，其结论也是直接应用文1的思想方法，且有关结论如下：命题1.2.8(见4定理1) 设为非退化复矩阵，为任一斜阵，使和为非退化矩阵，则为方程的解。命题1.2.9(见4定理2)设为非退化复矩阵，为方程的解，且和均为非退化矩阵，则形如其中为任一斜矩阵。命题1.2.10(见4定理3)设为非退化复矩阵，为任一斜矩阵，且使和均为非退化，满足，则为方程的矩阵解。命题1.2.11(见4定理4)设为非退化复矩阵，为方程的非退化解，且与均为非退化矩阵，则形如且适合。文5对和的二次矩阵方程在为非负定矩阵时的解进行研究。主要工具是奇异值分解和广义逆解线性矩阵方程的理论，得到了如下的一些结果：命题1.2.12(见5定理3) 设，均为奇异值分解，则方程有解的充要条件是为负定阵。此时存在，使得是方程的非负定解。在有解时，的一般解为其中且有为任意列酉阵，是有的列酉阵，为任意阵，为满足反阵，为满足条件的列酉阵。命题1.2.13(见5定理4)设非负定矩阵，均奇异值分解，为矩阵，则矩阵方程有解的充要条件是存在，使得为非负定矩阵。当为正定矩阵时，存在使得为正定矩阵，此时的解为，其中 ， 为正定矩阵，为任意正定矩阵，为任意矩阵为奇异值分解，适合，中对角阵，其对角元适合条件；与是使得的列酉阵；是任一平方根，即适合条件或其显式为，其中是奇异值分解，而是任意的列酉阵。1.3、本文内容简介 本文首先对文献1至5中的问题及结论归结为三个定理及三个推论，并对此作了必要性的证明。接着给出文134中的条件的一个等价替换。由于考虑形如的矩阵方程已把形如、 、及的阵方程包含在内（即令或或或），因此对文3中的结论本文不作进一步的讨论。对文123中的方程的解作了进一步的讨论，得到了新的结论。利用文2中的思想方法给出形如的矩阵方程在时的通解，并得到文4中形如的矩阵方程的通解。上述内容都是以为基础进行讨论。对文2中的一个公开问题：当时形如的矩阵方程的通解是什么？进行讨论，找到部分解且具有一定的意义。最后得到当时矩阵方程在，为半正（或半负）定矩阵时的通解，这是本文对公开问题的讨论。在结束语部分主要针对更一般的二次矩阵方程的求解问题提出一种设想，但这个问题仍待以后给予解决。本文采用的主要工具是矩阵的三角分解及秩分解，也利用矩阵可逆的充要条件和行列式的一些性质。2、预备知识引理1(6) 设的充要条件是存在可逆矩阵、，使得。引理2 (6) 设为阶方阵，可逆的充要条件为。引理3(7) 在域上，若为半正定矩阵，则存在阶半正定矩阵使得。引理4(6) 设为阶方阵，则。引理5(8) 若为域上的矩阵，则存在可逆矩阵，使得，其中。引理6(7) 任一矩阵，则为半正定矩阵且主对角线上的元素都为正数。若。引理7(7) 对任一矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为的特征值，且。引理8(6) 设是的一个广义逆，有解，则其全部解为，其中为取遍任意维的列向量。引理9(2定理1) 矩阵方程有解的充要条件为。3、主要结果3.1、总结现有文献中矩阵方程的解的结论定理3.1.1(13) 设为可逆矩阵，为方程的解，则存在使得与为可逆矩阵，且可表为，的充要条件为或为可逆矩阵。证明 由于可逆，故若为方程的解，则也可逆。必要性 由于故，也为可逆矩阵，则 从而得，可逆。同理可得，可逆。充分性 不妨假设可逆，且令，有 显然，可逆，且又，得 所以 得证.同理可证 当为可逆矩阵时，命题任成立。因此命题得证.推论3.1.1(13) 设为可逆矩阵时，为方程的解，则存在使得与可逆，且可表为 或 充要条件为，或，为可逆阵。证明 必要性 若存在使得与可逆，且可表为 则有可逆,且有 由于可逆,故有.同理可证，若存在使得与可逆且可表为 则为可逆矩阵。充分性 不妨假设为可逆矩阵，且令，则显然有 从而有 由于且与都可逆，从而,得由(3.1.1)与(3.1.2)可得 同理可以证明当，为可逆矩阵时，命题任成立。 得证.根据推论3.1.1可以概括文3中形如、和矩阵方程的解表达式形式的充要条件,即相当于分别令和，因此不作过多的讨论。定理3.1.2(4) 设是上可逆的矩阵，为矩阵方程的解，则存在为任一斜矩阵，使得与可逆，且可表为形如的充要条件为为可逆矩阵。证明 必要性 由于是上可逆矩阵，又与可逆且可表为 故有 从而得 可逆充分性 由于为方程的解，且可逆，故也可逆。令 由，得 代入（3.1.3）式，得 由于 可得 从而有 即为一斜矩阵。 得证.推论3.1.2(4) 设为上的可逆矩阵，为方程的解，则存在为一斜矩阵且满足，使得与可逆且可表为的充要条件为为可逆矩阵。证明 必要性 由于，与可逆，而可表为有 从而得 可逆充分性 由定理2.1.2，知当为可逆矩阵时，存在为一斜矩阵，且使得与可逆且可表为。现证 是否满足.又为方程的解，从而有从而可得 即得 得证.文2给出体上的二次矩阵方程有解的充要条件及有解时在特殊情况下的通解。由于在体上和复数域上讨论矩阵方程的解无本质上的差别，从而利用文2的思想方法给出复数域上形如的矩阵方程在时的通解。定理3.1.3(2) 设、当时，形如的矩阵方程一定有解，且通解为 其中，且为可逆阵，为任意阶非奇异矩阵，为任意矩阵。证明令，则有因此，为的解。另一方面，为方程的任一解，即由于，从而有 也即 现令，其中，则有从而有即可表为（3.1.4）的形式。 得证.但事实上，当时，矩阵，是等价的。且若，为可逆矩阵则矩阵，是等价。因此当解，为可逆矩阵，矩阵，等价，由于复数域上的阶可逆矩阵的个数是无限的，因此由定理3.1.3，知满足，是等价的矩阵，的个数也是无限的，即有如下结论：结论3.1.1 若矩阵，等价，则满足的可逆矩阵，是不唯一的。 为了说明当可逆时，文1中的解与定理2.1.3的通解的关系,要先说明是否有解,通解是什么?我们可得如下结论：推论3.1.3（2） 在复数域上的二次矩阵方程一定有解，且通解为， 其中，为可逆阵，为任意的阶非奇异矩阵，为任意矩阵。3.2、一类解的命题的等价转换 对照文1知当与可逆时，可写形如的形式的解为矩阵方程的解。但未指出这样的满足的具体形式和要求，通过文7中第126页的例题9，给出当为可逆矩阵时，使和均为可逆矩阵的等价条件，即为定理3.2.1 设为阶可逆矩阵，对任意矩阵，下列三个条件等价：均为可逆矩阵；矩阵为可逆矩阵；矩阵为可逆矩阵。证明 由于为阶可逆矩阵，由引理2，得 。对作如下初等变换： 两边取行列式，得 又为可逆矩阵，由引理2，得， 所以有 又由引理2，得 为可逆矩阵。对作如下初等变换：又为可逆矩阵，由引理2，得，从而有 所以 由引理2，得为可逆矩阵对矩阵作如下初等变换：由于为可逆矩阵，由引理2，得 又从而有又由引理2，得 为可逆矩阵又由知所以 由引理2，得 均为可逆矩阵得证。根据定理1，结合命题1、3及推论，可得如下结论：推论3.2.1 设为可逆矩阵，,为方程的解，则存在使得矩阵可逆且,可表为，的充要条件为或为可逆矩阵。推论3.2.2 设为可逆矩阵，,为方程的解，则存在使得可逆且,可表为 ，的充要条件为或为可逆矩阵。推论3.2.3 设为可逆矩阵，,为方程的解，则存在使得矩阵可逆且,可表为，或，的充要条件为，或，为可逆矩阵。推论3.2.4 设为可逆矩阵，,为方程的解，则存在使得矩阵可逆且,可表为， 或的充要条件为，或，为可逆矩阵。推论3.2.5 设为上可逆矩阵，为方程的解，则存在为一斜矩阵，使得矩阵可逆且可表为的充要条件为为可逆矩阵。推论3.2.6 设为上的可逆矩阵，为方程的解，则存在为一斜矩阵，使得矩阵可逆且可表为的充要条件为为可逆矩阵。推论3.2.7 设为上的可逆矩阵，为方程的解，则存在为一斜矩阵且满足，使得可逆且可表为的充要条件为为可逆矩阵。推论3.2.8 设为上的可逆矩阵，为方程的解，则存在为一斜矩阵且满足，使得可逆且可表的充要条件为为可逆矩阵。3.3、时解的一些结论3.3.1、的解之间的关系由定理3.1.3，知当时，形如的矩阵方程一定有解，且通解为 ，其中，且为可逆阵，为任意的阶可逆矩阵，为任意矩阵。现在观察的通解、，显然他们之间是有关系的，即当确定时，的左上角的前阶子式也是确定，且为左上角阶子式的逆（注意左上角前阶子式是可逆的）。从而我们可得如下结论：结论3.3.1.1 形如的二次矩阵方程，在时解是相互依赖的。但事实上，不管与之间有何关系，若矩阵方程有解，则解是相互依赖的。由于解要满足，那么若确定，则就转化为线性方程其中，从而要知道方程的解的情况，就得判断及之间的关系，从而解就依赖于而确定。同样可得解依赖于而确定。结论3.3.1.2 形如的二次矩阵方程有解，则解，是互相依赖的。特别当,为阶可逆矩阵时,方程的解中只要或中一个确定那么另一个也就被唯一确定，那么此时的通解又可如何表示呢？由定理3.1.3 可得方程，当,为阶方阵且时一定有解，且通解为，其中为任意阶可逆矩阵。由于，可得，从而有 又由于为任意阶可逆矩阵，则可知为任意可逆矩阵，从而猜想方程，当，为阶可逆矩阵时，解可表为，此时就依赖于而唯一确定。可得如下结果:定理3.3.1.1 设,为阶可逆矩阵，则方程一定有解，且通解为，其中为任意可逆矩阵，其中。证明：令，且，其中为一可逆矩阵，代入矩阵方程，得所以为矩阵方程的一个解。另一方面，当,为的解，即有，又为阶可逆矩阵，所以，可逆，从而有 令则有且 得证。推论3.3.1.1 设为阶可逆矩阵，则方程一定有解，且通解为，其中为任意可逆矩阵，且。3.3.2、的解的表达式的一些结论 在文1讨论形如方程，当可逆时，的解可表，形式，由推论3.3.1.1，知的通解为，其中为任意可逆矩阵，且。这两种形式是否等价？还是存在着一定的关系？这是接下来要研究的问题。由定理3.1.1 可知方程的解可表为，的形式的充要条件为或为可逆矩阵。现在考虑是否当为可逆矩阵时,矩阵方程的解都可写成，的形式。由推论3.3.1.1得，只要可逆，就为的解，不妨令为的特征值，其中且全不为零，则由引理7，得存在酉矩阵，使得且，由于全不为零，则 由引理2，得 可逆则可得 ，为的解且 从而有 由引理7，得 ，由引理2，得 不可逆。 又 同理可得 不可逆由定理3.1.1，知使得为可逆矩阵的矩阵不存在,且有，为方程。由上述分析可得如下结论：结论3.3.2.1 形如的二次矩阵方程，当为可逆矩阵时的解不能全表为形如 ，的形式。由此也可知文1中所得出的的解只是解的一部分，那么这些可表为形如 ，的解到底具有怎样的性质呢？这是接下来要探讨的问题。但只要的特征值都不为则即和就为可逆矩阵。结合定理3.1.1,可得如下结论:定理3.3.2.1 设为可逆阵，方程一定有解且解，可逆，并且解可表为 ，的充要条件为或的特征值不为。证明 由引理9，知方程一定有解又因为为可逆矩阵，由引理2，得 由引理4，得 从而有 ，由引理2，得 ，可逆若，为的解，且，可表为 ， 由定理3.1.1，知或为可逆矩阵。不妨假设为可逆矩阵，由引理7，得 存在酉矩阵，使得 所以 又由引理7，得即的特征值不为可逆。由推论3.2.1.1，得 由引理7，得又的特征值不为，即可得 从而得 即的特征值不为。另一方面，,的特值不为，则由引理7，显然可得或为可逆矩阵，由命题1，得可表为形如 ， 得证.推论3.3.2.1 设为可逆矩阵，则矩阵方程有解时，解,可表为形如，或 ，的充要条件为或为可逆阵且特值不为。3.4、（为矩阵且）的通解 由文2利用矩阵的秩分解的性质得到了当时的通解。现考虑是否可用类似的思想方法研究其中为矩阵且时的通解。基于为矩阵，考虑利用合同分解来讨论的解，研究矩阵方程（其中为矩阵）在时的通解。 事实上，当时，在复数域上矩阵,是合同的，即存在可逆矩阵使得成立，故只要当时一定有解，那么是否解都是可逆矩阵？且通解是什么?由下面的定理3.4.1可以回答这个问题。定理3.4.1设为矩阵，当时方程的通解为其中,且,为可逆矩阵，为酉矩阵，为任意矩阵。证明 由引理知，复数域上，存在可逆矩阵，使得，其中。由于，故有 从而，得 令其中， 则有即有从而有 即得 当为酉矩阵且时，为任意矩阵时为矩阵方程的解。另一方面，若为的任一解，则有又，从而有 即得 令，其中， 且有 故有 即 可得为正交矩阵且得证.当时，（其中为阶酉矩阵，且为任意矩阵）也是矩阵方程的解。事实上有显然有不可逆。因此的解可以是不可逆矩阵。特别当时，方程通解为，其中为任意阶酉矩阵。从上述结果可知，若矩阵合同，使的可逆矩阵不是唯一的而且有无数个，这是由于复数域上的阶可逆矩阵的个数是无限的。即为如下结论：结论3.4.1 若矩阵与合同,则满足中的可逆矩阵不唯一。推论3.4.1 二次矩阵方程一定有解，其通解为 其中 ,为可逆阵，为酉矩阵，为任意矩阵。由推论3.4.1可知，二次矩阵方程在为可逆矩阵时的通解，但由定理3.1.2可得当为可逆矩阵时，二次矩阵方程的解可表为形如的形式。那么这两种解之间有何关系呢？由于方程为方程的特殊形式，从而根据结论3.3.2.1可得如下结论:结论3.4.2 形如的二次矩阵方程，当为可逆矩阵时的解不能全表为形如的形式。那么解表为形如形式的解有什么性质呢？由定理 3.3.2.1与定理3.1.2，猜想有如下结论：定理3.4.2 设为可逆矩阵，则二次矩阵方程一定有解,且解可表为形如其中为一斜矩阵的充要条件为的特征值不为。证明 必要性 由于又可逆,故方程的解可逆,从而,得 , 为可逆矩阵 所以可逆由引理7,得 存在酉矩阵，使得， 其中为的特征值，从而有又由引理7,得 。由引理2,知 即有从而得, 充分性 由于的特征值不为，从而有可逆, 由定理3.1.2,得存在一斜矩阵使得,为可逆矩阵且 得证.定理3.4.3 设为可逆矩阵，则二次矩阵方程一定有解,且解可表为形如其中为一斜矩阵且满足的充要条件为的特征值不为。证明 必要性 由于又可逆,故方程解可逆,从而,得 为可逆矩阵 所以可逆由引理7,得 存在酉矩阵，使得，其中为的特征值，从而有又由引理7,得 由引理2,知 即有从而得, 充分性 由于的特征值不为从而可知， 可逆由推论3.1.2,得存在一斜矩阵满足,使得,为可逆矩阵且 得证.3.5、对矩阵方程解的一个公开问题的讨论上述内容主要是针对当时矩阵方程的解的情况进行讨论，由文2知，矩阵方程有解的充要条件为。因此考虑在时方程的解的情况是必要的，以及进一步探讨它的通解是什么？首先考虑的是利用文2的思想方法。由引理，知存在可逆矩阵使得，其中。代入方程，得对作如下的分块 其中，则有即得 由此知，要得到当时矩阵方程的解，必须先求出方程的解，而要解决，需要解决含个矩阵方程的方程组，反而把问题复杂化。利用文2的方法寻找在时矩阵方程的解是行不通的。因此当时二次矩阵方程的解未能给出。从而利用广义逆讨论形如的矩阵方程在时的解，即得如下结论：定理3.5.1 形如或 为二次矩阵方程的解，其中，,为可逆阵， 为任意阶可逆矩阵，为任意矩阵，为任意的或矩阵，且分别为矩阵任意的左和右广义逆矩阵。证明 由引理8,知 矩阵方程或的通解为 或 其中为任意的或矩阵且，分别为矩阵的任意的广义逆矩阵又由推论3.1.3知，的通解为， 其中且，为可逆阵，为任意阶可逆阵，,，,为任意矩阵，把解或 代入矩阵方程，可得（3.5.2）或(3.5.3)为的解 得证.事实上，当时二次矩阵方程的解或中一个可表为形如 或 则的解可表为定理3.5.1的形式（其中为任意满足可逆矩阵）。而且由结论3.1.1,知使得的矩阵，不唯一，所以对方程的每一个解，是否都可找到可逆的，,使得 或 ，是有待讨论的问题。若能，则可得通解。由于时间关系就此不作讨论。当为半正定或半负定矩阵时，在时，可得形如的矩阵方程的特殊形式的通解，即为如下结论：定理3.5.2 当，且为半正定矩阵时，方程一定有解，通解满足，其中为的秩。其中为唯一使的半正定矩阵，且,为可逆矩阵, ，是满足的任意矩阵。证明 由于为半正定矩阵，则引理3与引理5，得存在可逆矩阵，和唯一的半正定矩阵使得 ， 若为的解，即从而有 则 令 ， 则由此得由引理，得为半正定矩阵，由式，知，从而可得,，即即可表为的形式。另一方面，若满足 其中 ， 是满足的任意矩阵，则从而得 又从而，得成立。得证。由于半正定矩阵与半负定矩阵无本质上的差别，从而结合定理3.5.2可得如下结论: 定理3.5.3 当时且为半负定矩阵时，方程一定有解，通解为满足，其中为的秩，存在唯一的半正定矩阵使得且,为可逆矩阵, 并且是满足的任意矩阵。结束语 本文采用的主要工具是矩阵的三角分解及秩分解，也利用矩阵可逆的充要条件和行列式的一些性质。讨论形如的矩阵方程的解的情况，由结论3.1.1与结论3.4.1知,使得合同或等价的可逆矩阵或是不唯一的，因此上述所得的通解也会因或的不同而不同，但这些结论却可以帮助我们了解的二次矩阵方程的解的一些性质和结论，而且通解的讨论还有另外一些意义如：在文5中，讨论形如（其中为矩阵）的矩阵方程和的解，并给出当为非负定情形的通解。但文5中所给的解的表达式过于复杂而且也得不到解的一些性质，所以考虑是否可将方程转形并且可得到解而且比较简单呢？受到多项式因式分解和本文所讨论矩阵方程的启发，猜想若能把分解为线性方程形如的形式（其中为任意矩阵）的乘积，那就可比较简单的求出解，但仍然碰到一些问题，比如何时能分解，分解后可以求出解吗？这是最为关心的问题。若可分解为，其中且。若此时满足，则由定理3.1.3，显然可以得到矩阵方程的通解，而且形式较文5的简单，比较适合于实际的讨论和研究。若，则得不到的解，但若中的，满足定理3.5.2及定理3.5.3中的条件仍可得到通解。我们知道多项式的分解是一个比较难的问题，那么对于矩阵多项式的分解可能是一个更不容易的解决的问题。对任意给定的一个矩阵方程能不能分解？分解成何种形式？是问题的关键。本文在此不对这个问题进行深入的探讨，由于要使这个问题得到解决需要很多的工作，不是本文所讨论的问题。事实上，对于更一般的二次阵方程如的解讨论的文献很少，若能找到使他分解为线性方程（其中为任意矩阵）形式的方法，那么就可以得到此种方程的一部分解，并可进一部推广到二元二次矩阵方程的解的讨论。由引理9，知矩阵方程有解的充要条件为。因此通过对方程的分解可以直接判断二次矩阵方程 解是否存在的问题，这显然是一种比较好的判别方法。参考文献：1杨昌兰.一个二次矩阵方程的解J.工科数学,1997,13(1):129-130.2廖祖华.体上二次矩阵方程的解J.工科数学,1999,15(4):72-74.3喻德生.关于几个二次矩阵方程的解J.南昌航空工业学院学报,2000,14(1):81-83.4杨昌兰,王龙波.矩阵方程J.数学研究与评论,2004,24(3):500-502.5陈永林.一类二次矩阵方程的解J.南京师大学报(自然科学版),1984,1:26-35.6北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)M.高等教育出版社,2003:51-399.7李师正.高等代数解题方法与技巧M.张玉芬,李桂荣,高玉玲.高等教育出版社,2006:26-288.8黄廷祝,钟守铭,李正良.矩阵理论M.高等教育出版社,2007:85-231.