大学数学：4-1不定积分的概念

第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法 第三节第三节 分部积分法分部积分法 第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C(2) 若不唯一，它们之间有什么联系？若不唯一，它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .解解例例1 1 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例2 2 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy ,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.实例实例 xx 11.11Cxdxx 结论结论可以根据求导公式得出积分公式。可以根据求导公式得出积分公式。)1( 二、二、 基本积分表基本积分表P188 第第1-13公式公式(3)ln |;dxxCx因为：因为： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx说明：说明：例例3 3 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例4 4 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例5 5 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上例题中的被积函数都需要进行以上例题中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.基本积分表基本积分表(1) P188不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结课课 堂堂 练练 习习 P192 EX1 、 2(5、11、14、16、17、21、22、26)、7