高考数学理一轮新课标通用考点测试：36　基本不等式 Word版含解析

考点测试36基本不等式高考概览考纲研读1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1“a>0且b>0”是“”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析a>0且b>0，但a>0且b>0，只能推出a0且b02已知0<x<1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A B C D答案B解析0<x<1，x(33x)3x(1x)32当且仅当x1x，即x时等号成立3若函数f(x)x(x>2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析x2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当x2，即(x2)21时等号成立，解得x1或3又x2，x3，即a等于3时，函数f(x)在x3 处取得最小值，故选C4函数f(x)x(x<0)的值域为()A(，0) B(，2C2，) D(，)答案B解析f(x)2 2，当且仅当x，即x1时，等号成立5设0<x<2，则函数y的最大值为()A2 B C D答案D解析0<x<2，2x>0，y· ·，当且仅当x2x，即x1时取等号6函数y(x>1)的图象的最低点的坐标是()A(1，2) B(1，2) C(1，1) D(0，2)答案D解析y(x1)2，当x0时取最小值7设0<a<b，则下列不等式中正确的是()Aa<b<< Ba<<<bCa<<b< D<a<<b答案B解析0<a<b，a<<b，A，C错误；a()>0，即>a，D错误故选B8已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6答案B解析由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号9若2x2y1，则xy的取值范围是()A0，2 B2，0C2，) D(，2答案D解析12x2y22当且仅当2x2y，即xy1时等号成立，2xy，得xy210下列函数中，最小值为4的是()AyBysinx(0x)Cyex4exDylog3x4logx3答案C解析对于A，因为，所以y的最小值不是4，所以不满足题意；对于B，令sinxt(0，1，则yt，y10，因此函数yt在(0，1上单调递减，所以y5，所以不满足题意；对于C，y24，当且仅当ex4ex，即xln 2时取等号，故满足题意；对于D，当x(0，1)时，log3x，logx3<0，所以不满足题意11某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均存储时间为天，且每件产品每天的存储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，存储费用是元，总的费用y2 20，当且仅当时取等号，得x80(件)故选B12设M，且abc1，a，b，c(0，)，则M的取值范围是_答案8，)解析M··8，当且仅当abc时取等号二、高考小题13(2017·天津高考)已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)a在R上恒成立，则a的取值范围是()A，2 B，C2，2 D2，答案A解析当x1时，关于x的不等式f(x)a在R上恒成立等价于x2x3ax2x3在R上恒成立，即有x2x3ax2x3在R上恒成立由yx2x3图象的对称轴为x1，可得在x处取得最大值；由yx2x3图象的对称轴为x1，可得在x处取得最小值，则a当x>1时，关于x的不等式f(x)a在R上恒成立等价于xax在R上恒成立，即有xa在R上恒成立，由于x>1，所以x22，当且仅当x时取得最大值2；因为x>1，所以x22，当且仅当x2时取得最小值2，则2a2由可得a2故选A14(2018·天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案解析由已知，得2a2a23b222，当且仅当2a23b时等号成立，由a3b，a3b60，得a3，b1，故当a3，b1时，2a取得最小值15(2015·重庆高考)设a，b>0，ab5，则的最大值为_答案3解析令t，则t2()2a1b32·9a1b318，当且仅当a1b3时，即a，b时，等号成立，所以t的最大值为316(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析设总费用为y万元，则y×64x4x240，当且仅当x，即x30时，等号成立17(2017·天津高考)若a，bR，ab>0，则的最小值为_答案4解析a44b42a2·2b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24当且仅当4ab时“”成立，故当且仅当时， 的最小值为4三、模拟小题18(2018·廊坊一模)已知m>0，n>0，2mn1，则的最小值为()A4 B2 C D16答案C解析m>0，n>0，2mn1，则(2mn)·2，当且仅当n，m时取等号故选C19(2018·山东日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则的最大值为()A2 B2C42 D42答案D解析1111，因为xy>0，所以>0，>0由基本不等式可知2，当且仅当xy时等号成立，所以114220(2018·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2abab，则a2b的最小值为()A52 B8C5 D9答案D解析a>0，b>0，且2abab，a>0，解得b>2，即b2>0，则a2b2b12(b2)4529，当且仅当b3，a3时等号成立，其最小值为921(2018·江西九校联考)若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)·(y2)，则x的最大值为()A1 B1C1 D答案A解析由(2xy1)2(5y2)·(y2)，可得(2xy1)29y2(2y2)2，即(2xy1)2(2y2)29y2，得2x2229，又2x222，当且仅当2x2时等号成立，所以2x2218，得2x32，所以x，所以x的最大值为1故选A22(2018·南昌摸底)已知函数yx(x>2)的最小值为6，则正数m的值为_答案4解析由x>2，知x2>0，又m>0，则y(x2)22222，取等号的条件为x2从而依题意可知226，解得m423(2018·邯郸模拟)设x>0，y>0，且x2，则当x取最小值时，x2_答案12解析x>0，y>0，当x取最小值时，x2取得最小值，x2x2，又x2，x2，x2216，x4，当且仅当，即x2y时取等号，当x取最小值时，x2y，x216，x216，x216412一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018·河北唐山模拟)已知x，y(0，)，x2y2xy(1)求的最小值；(2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由解(1)因为2，当且仅当xy1时，等号成立，所以的最小值为2(2)不存在理由如下：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2从而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y满足(x1)(y1)52(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1所以y400k(k1)(x2x)400240x160因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240故y与x的函数关系是y240x160(0<x<240)(2)y240x16021602×48001609440，当且仅当240x，即x20时等号成立，此时k1111故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元3(2018·保定诊断)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？解(1)设第n年获取利润为y万元n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1×2n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，利润y30nn281(nN*)令y>0，即30nn281>0，n230n81<0，解得3<n<27(nN*)，从第4年开始获取纯利润(2)方案：年平均利润t30n3030212(当且仅当n，即n9时取等号)，年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×946154(万元)方案：纯利润总和y30nn281(n15)2144(nN*)，当n15时，纯利润总和最大，为144万元，纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润14410154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案4(2018·南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到01，参考数据：取14)解(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4当4<x10时，由202x4，解得x8，所以此时4<x8综合得0x8，若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a42a48a4因为14x4，8，而1a4，所以44，8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为241616