2016二轮复习立体几何专题复习(精简版)

题型一、求二面角平面角正余弦值1、2014 ·安徽卷如图 1，四棱柱ABCD A1B1C1D1 中， A1A底面 ABCD，四边形ABCD为梯形， AD BC，且 AD 2BC. 过 A1 ，C， D三点的平面记为， BB1 与 的交点为 Q.图 1(1) 证明： Q为 BB1 的中点；(2) 求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比；(3) 若 AA1 4，CD 2，梯形 ABCD的面积为 6，求平面 与底面 ABCD所成二面角的大小2、2014 ·四川卷三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图2 所示设M， N 分别为线段AD， AB的中点， P 为线段 BC上的点，且MN NP.(1) 证明： P 是线段 BC的中点；(2) 求二面角 A - NP- M的余弦值图 23、2014 ·山东卷 如图 3 所示，在四棱柱ABCDA1 B1C1D1 中，底面 ABCD是等腰梯形，DAB60°， AB 2CD 2， M是线段 AB的中点图 3(1) 求证： C1M平面 A1ADD1；(2) 若 CD1垂直于平面 ABCD且 CD1 3，求平面 C1D1M和平面 ABCD所成的角 ( 锐角 ) 的余弦值4、2014 ·辽宁卷 如图 4 所示， ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 AB BC BD 2，ABC DBC 120°， E， F 分别为 AC，DC的中点(1) 求证： EF BC；(2) 求二面角 EBFC的正弦值图 55、2014 ·新课标全国卷如图 5，三棱柱ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C为菱形， AB B1C.图 5(1) 证明： AC AB1；(2) 若 AC AB1， CBB1 60°， AB BC，求二面角A -A1B1-C1 的余弦值6、2014 ·浙江卷如图 6，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE， CDE BED90°， ABCD 2， DE BE1， AC2.(1) 证明： DE平面 ACD；(2) 求二面角 B - AD- E 的大小图67、2 014·重庆卷 如图7 所示，四棱锥PABCD中，底面是以1O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB 2， BAD3 ，M为BC上一点，且BM 2，MP AP.(1) 求 PO的长；(2) 求二面角A- PM-C的正弦值图 78、2015 ·四川卷 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图 8 所示，在正方体中，设 BC的中点为 M，GH的中点为 N.(1) 请将字母 F， G， H标记在正方体相应的顶点处 ( 不需说明理由 ) ；(2) 证明：直线 MN平面 BDH；(3) 求二面角 A- EG- M的余弦值图 99、2015 ·福建卷 如图 9，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB平面 BEC， BE EC， ABBE EC2， G， F 分别是线段 BE， DC的中点(1) 求证： GF平面 ADE；(2) 求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值图 910、2015 ·山东卷 如图 10，在三棱台 DEFABC中，AB 2DE，G，H分别为 AC，BC的中点(1) 求证： BD平面 FGH；(2) 若 CF平面 ABC， AB BC， CF DE， BAC 45°，求平面 FGH与平面 ACFD所成的角( 锐角 ) 的大小图 1011、2015 ·陕西卷 如图 11(1) 所示，在直角梯形中，ABCDADBCBAD2AB BC 1， AD 2， E 是 AD的中点， O是 AC与 BE的交点将 ABE沿 BE折起到 A1BE的位置，如图 11(2) 所示(1) 证明： CD平面 A1OC；(2) 若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值12、2015 ·浙江卷如图 12，在三棱柱ABCA1B1C1 中，A1 在底面 ABC的射影为 BC的中点， D是 B1C1 的中点BAC 90°， ABAC 2，A1A 4，(1) 证明： A1D平面 A1BC；(2) 求二面角 A1BDB1的平面角的余弦值图1613、2015 ·重庆卷如图13 所示，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC 3， ACB 2 . D，E分别为线段AB， BC上的点，且CDDE2， CE 2EB 2.(1) 证明： DE平面 PCD；(2) 求二面角 A - PD- C的余弦值图 1314、2015 ·重庆卷 如图 14 所示，三棱锥中，平面， 3，.P ABCPCABC PCACB2DE分别为线段 AB， BC上的点，且 CDDE2， CE 2EB 2.(1)证明： DE平面 PCD；(2)求二面角 A - PD- C的余弦值图 18题型二、线面夹角正余弦值1、2014 ·陕西卷四面体 ABCD及其三视图如图14 所示，过棱AB的中点 E 作平行于 AD，BC的平面分别交四面体的棱BD， DC，CA于点 F， G， H.(1) 证明：四边形 EFGH是矩形；(2) 求直线 AB与平面 EFGH夹角 的正弦值图 12、2014 ·福建卷 在平面四边形 ABCD中， AB BD CD 1，AB BD，CD BD. 将 ABD沿BD折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图 15 所示(1) 求证： AB CD；(2) 若 M为 AD中点，求直线 AD与平面 MBC所成角的正弦值图23、2015 ·四川卷如图 12 所示，四边形垂直，动点M在线段 PQ上， E， F 分别为，则 cos 的最大值为 _ABCD和 ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相AB，BC的中点设异面直线EM和 AF所成的角为图 34、2015 ·天津卷 如图 14，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面 ABCD， AB AC，AB 1， AC AA1 2， AD CD 5，且点 M和 N分别为 B1 C和 D1D的中点(1) 求证： MN平面 ABCD；(2) 求二面角 D1 AC B1 的正弦值；1(3) 设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE和平面 ABCD所成角的正弦值为3，求线段 A1E的长图 45、 20 15·全国卷 如图 15，四边形 ABCD为菱形， ABC 120°， E， F 是平面 ABCD同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE 2DF，AE EC.图 5(1) 证明：平面 AEC平面 AFC；(2) 求直线 AE与直线 CF所成角的余弦值题型三、线段定比分点等问题1、2014 ·北京卷 如图 13，正方形 AMDE的边长为 2， B， C分别为 AM， MD的中点在五棱锥 P ABCDE中， F 为棱 PE的中点，平面 ABF与棱 PD，PC分别交于点 G，H.(1) 求证： AB FG；(2) 若 底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段PHPAABCDEPAAEBCABF的长图 1题型四、探究性存在性问题1、 201 4·湖北卷 如图 14，在棱长为 2 的正方体 ABCDA11C1D1 中， E， F， M， N 分别是棱AB， AD， A1B1，A1D1 的中点，点 P， Q分别在棱 DD1， BB1 上移动，且 DPBQ (0< <2) (1) 当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ.(2) 是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的EFPQPQMN值；若不存在，说明理由图 12、2014 ·江西卷如图 16，四棱锥 PABCD中， ABCD为矩形，平面PAD平面 ABCD.图 2(1) 求证： AB PD.(2) 若 90°， 2，2，问AB为何值时，四棱锥P-的体积最大？BPCPBPCABCD并求此时平面BPC与平面 DPC夹角的余弦值3、2014 ·天津卷 如图14 所示，在四棱锥PABCD中， PA底面 ABCD, AD AB，ABDC， AD DC AP 2， AB 1，点 E 为棱 PC的中点(1) 证明： BE DC；(2) 求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值；(3) 若 F 为棱 PC上一点，满足 BF AC，求二面角 F - AB- P 的余弦值图 34、2015 ·湖南卷 如图 16，已知四棱台 ABCD A1B1 C1 D1 的上、下底面分别是边长为3 和 6的正方形， A1A 6，且 A1A底面 ABCD，点 P， Q分别在棱 DD1， BC上(1)若 P 是 DD的中点，证明： AB PQ；11(2)若 PQ平面 ABB1A1，二面角 P QD A 的余弦值为3ADPQ的体积7，求四面体图 45、2015 ·湖北卷 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图 15，在阳马PABCD中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PD CD，过棱 PC的中点 E，作 EFPB交 PB于点 F，连接 DE，DF， BD，BE.(1) 证明：PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖臑， 若是，写出其每个面的直角 ( 只需写出结论 ) ；若不是，说明理由，求DC(2) 若面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为的值3BC图 56、2015 ·北京卷 如图 15，在四棱锥 AEFCB中， AEF为等边三角形， 平面 AEF平面 EFCB， EF BC， BC 4， EF 2a， EBC FCB 60°， O为 EF的中点(1) 求证： AO BE；(2) 求二面角 FAEB的余弦值；(3) 若 BE平面 AOC，求 a 的值图 67、2015 ·江苏卷如图 16，在四棱锥PABCD中，已知PA平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC BAD 2 ， PA AD 2， AB BC 1.(1) 求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；(2) 点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长图 7题型五、体积问题1、 2014·新课标全国卷如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PA平面ABCD，E为PD的中点(1) 证明： PB平面 AEC；(2) 设二面角 DAEC为 60°， AP 1， AD 3，求三棱锥 EACD的体积图 1