含参不等式解法举例

含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。一、 含参数的一元二次不等式的解法： 1二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑）例1、解关于的不等式。解：为方程的两个根（因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当时，不等式的解集为（2）当时，不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为综上所述：（1）当时，不等式的解集为（2）当时，不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为变题1、解不等式； 2、解不等式。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例2、解关于的不等式分析 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 (1) 当有两个不相等的实根。所以不等式：(2) 当有两个相等的实根，所以不等式，即；(3) 当无实根所以不等式解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑）例3、解关于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当时，式的解集为；（2）当时，式；（3）当时，式.综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.例4、解关于的不等式：解： （1）时，（2）时，则或，此时两根为，.当时，；当时，；当时，；当时，.综上，可知当时，解集为(,)； 当时，解集为； 当时，解集为()(); 当时，解集为()().例5、解关于的x不等式分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m<1时，=4（3m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当1<m<3时，=4（3m）>0, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4（3m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。当m>3时，=4（3m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解：当m=3时，原不等式的解集为；当m>3时, 原不等式的解集为。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例1：解关于x的不等式分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得，此时原不等式得解集为x|；当>0时, 原不等式等价于,则：当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当<0时, 原不等式等价于，则当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；小结：本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不等式思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按>1和<1分为两类，再在<1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.练习：1.解关于的不等式 2.解关于的不等式：