最新 人教B版数学必修5学案：3.4不等式的实际应用含答案

最新精品资料最新精品资料最新精品资料3.4不等式的实际应用1解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案2在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立3对于形如yx (k>0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解(1)当x>0时，f(x)x2(k>0)，当x时取“”另外，我们还可以证明f(x)在区间(0，上为减函数，在区间，)上为增函数，据此单调性来求函数的值域(2)当x<0时，f(x)x (k>0)(x0)为奇函数f(x)在(，上为增函数，在，0)上为减函数一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义例1一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y2x2220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，得2x2220x>6 000.移项整理，得x2110x3 000<0，解得50<x<60.因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益二、利用均值不等式解决实际问题方法链接：均值不等式：(a，b是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领例2如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m2，鱼塘前面要留4 m宽的运料通道，其余各边为2 m宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？解设每个鱼塘的宽为x m，则x>0，且AB3x8，AD6，总面积yAB·AD(3x8)30 04818x30 048232 448，当且仅当18x，即x时，等号成立，此时150.答鱼塘的长为150 m，宽为 m时，占地面积最少三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如yx的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解例3某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙的费用为a元；修1米旧墙的费用为元；拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为元经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x14；问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题解设利用旧墙的一面矩形边长为x米，则矩形的另一面边长为米(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·元将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)·元，其余建新墙的费用为a元故总费用为yx··aaa7a (0<x<14)7a·35a，当且仅当，即x12时，ymin35a元(2)若利用旧墙的一面矩形边长x14，则修旧墙的费用为·14a元建新墙的费用为a，故总费用为yaaa2a (x14)设14x1<x2，则(x1x2).14x1<x2，x1x2<0，x1·x2>196.从而1>0，所以函数y在14，)上为增函数故当x14时，ymina2a35.5a>35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值例42009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为0.1n20.1n(万元)所以f(n)14.40.7n(0.1n20.1n)0.1n20.6n14.4(万元)(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为0.1n0.620.63(万元)当且仅当0.1n时取等号，此时n12.答这种汽车使用12年报废最合算五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到例5如图所示，电路中电源的电动势为，内阻为r，R1为固定电阻，求可变电阻R2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值解由电学公式，电功率PUI，有P2U2I2.U2(U2)2(定值)，仅当U2U2，即2U2时，P2达到最大值，最大值为.在2U2的两端除以I(I1I2)，得2R2rR2R1.R2rR1.可变电阻R2调至rR1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是.利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v的函数，并指出该函数的定义域；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？错解(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输成本为y(abv2)·s，a>0，b>0，s>0，v>0，定义域为(0，c(2)由(1)知：ys2·s2s.当bv，即v2，v时，取“”所以，汽车以 km/h的速度行驶时，全程运输成本最少点拨本题中的a，b，c均为字母常量，且为正实数，v是全程运输成本函数中的自变量，v(0，c，但是 与c的大小不确定，上述解答中的最小值2s 不一定能取到，应当按 与c的大小分类讨论正解(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为ya·bv2·s，故所求函数及其定义域为ys，v(0，c(2)s，a，b，v都是正数，s2s(当且仅当bv，即v时取“”)若 c，则v时全程运输成本最少若 >c，函数ybv在上是减函数，证明如下：设0<v1<v2 ，y1y2bv1bv2b(v1v2)(v1v2)(v1v2)v1<v2，v1v2<0.又v1< ，v2< v1v2<，v1v2<0，y1y2>0，即y1>y2，函数ybv在上是减函数又c< ，函数在(0，c上也是减函数vc时，全程运输成本最小综上可知：当 c时，v时全程运输成本最少；当>c时，vc时全程运输成本最少例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?解方法一设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小根据题设，有4b2ab2a60 (a>0，b>0)，得b (0<a<30)于是y.当且仅当a2时取等号，y取得最小值. 这时a6或a10(舍去)，将a6代入式得b3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小方法二依题意，即所求的a、b值使ab最大由题设知4b2ab2a60 (a>0，b>0)，即a2bab30 (a>0，b>0)a2b2，2·ab30.当且仅当a2b时，上式取等号由a>0，b>0，解得0<ab18，即当a2b时，ab取得最大值，其最大值为18.2b218.解得b3，a6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解(1)设矩形的另一边长为a m，则y45x180(x2)180×2a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x>2)(2)x>0，225x210 800.y225x36010 440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元赏析本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力最新精品资料