高考新课标数学 理二轮专题复习检测：专题一第4讲导数与函数零点、不等式、恒成立问题 Word版含解析

专题一 函数与导数、不等式第4讲 导数与函数零点、不等式、恒成立问题一、选择题1.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa>0，b<0，c>0，d>0Ba>0，b<0，c<0，d>0Ca<0，b<0，c>0，d>0Da>0，b>0，c>0，d<0解析：由已知f(0)d>0，可排除D；其导函数f(x)3ax22bxc且f(0)c>0，可排除B；又f(x)0有两不等实根，且x1x2>0，所以a>0，可排除C；故选A.答案：A2当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3B.C6，2 D4，3解析：当x(0，1时，得a34，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t28t1(t1)·(9t1)，显然在1，)上，g(t)<0，g(t)单调递减所以g(t)maxg(1)6，因此a6.同理，当x2，0)时，得a2.由以上两种情况得6a2，显然当x0时也成立故实数a的取值范围为6，2答案：C3若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是()(导学号 55460104)A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)<1，所以a>x.令f(x)x，f(x)12xln 2>0.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)>f(0)011，a的取值范围为(1，)答案：D4(20xx·湖北枣阳第一3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)>2，则f(x)>2x4的解集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)解析：由f(x)>2x4，得f(x)2x4>0，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，f(x)>2，所以F(x)>0在R上恒成立，F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2×(1)42240，故不等式f(x)2x4>0等价于F(x)>F(1)，x>1.答案：B5已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()Af(a)<f(1)<f(b) Bf(a)<f(b)<f(1)Cf(1)<f(a)<f(b) Df(b)<f(1)<f(a)解析：由题意，知f(x)ex1>0恒成立，函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e0021<0，f(1)e112e1>0，函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)1>0，所以g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 1121<0，g(2)ln 222ln 2>0，函数g(x)的零点b(1，2)综上，可得0<a<1<b<2.f(x)在R上是增函数，f(a)<f(1)<f(b)答案：A二、填空题6已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_解析：作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)<0，则有即解得<m<0.答案：7关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析：由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0.又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x<0时，f(x)>0；当0<x<2时，f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a.解得4<a<0.答案：(4，0)8设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2.解析：令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a<0时，由于选项当中a3，所以只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，所以f(x)极大值f(1)13bb2， f(x)极小值f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，则f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，所以b<2或b>2，正确，所有正确条件为.答案：三、解答题9已知函数f(x)ln x.(导学号 55460105)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)<x1. (1)解：f(x)x1，x(0，)由f(x)>0得解得0<x<.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则有F(x).当x(1，)时，F(x)<0，F(x)在(1，)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)0，即当x>1时，f(x)<x1.10已知函数f(x)ax2(a2)xln x，其中aR.(导学号 55460106)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若x1，x2(0，)，且x1<x2，f(x1)2x1<f(x2)2x2，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x23xln x(x>0)，f(x)2x3，则f(1)2，f(1)0.切线方程是y2.(2)设g(x)f(x)2x，则g(x)ax2axln x，只要g(x)在(0，)上单调递增，即g(x)0在(0，)上恒成立即可而g(x)2axa(x>0)当a0时，g(x)>0，此时g(x)在(0，)上单调递增；当a0时，因为x>0，依题意知，只要2ax2ax10在(0，)上恒成立即可记h(x)2ax2ax1，若h(x)>0恒成立，故必有即0<a8.综上可得，a的取值范围为0，811(20xx·全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(导学号 55460107)(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a>0，则当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b<0且b<ln，则f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在两个零点设a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点若a<，则ln(2a)>1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)<0；当x(ln(2a)，)时，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)不妨设x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，x1x2<2等价于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)当x>1时，g(x)<0，而g(1)0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.