截长补短专题

截长补短法人教八年级上册课本中， 在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质， 这一性质在许多问题里都有着广泛的应用 . 而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗. 请看几例 .A例 1.已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.D求证： BAD+BCD=180° .分析： 因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角， 图中缺少全等的三角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现 .B C 图 1-1证明： 过点 D作 DE垂直 BA的延长线于点E，作 DFBC于点 F，如图 1-2 BD平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE与 Rt CDF中，EADDEDFADCDBFC RtADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.图1-2又 BAD+ DAE=180°， BAD+DCF=180°，D即+=180°ABADBCD例 2.如图 2-1 ， AD BC，点 E 在线段 AB上， ADE= CDE， DCE=ECB.E求证：=+ .CD AD BC分析： 结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截CB取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化图 2-1D问题的目的 .A证明： 在 CD上截取 CF=BC，如图 2-2在与中，4 3FFCEBCEE 21CFCBFCEBCECB 图 2-2CECE FCE BCE（ SAS） , 2=1.又 AD BC， ADC+BCD=180°， DCE+ CDE=90°， 2+ 3=90°， 1+4=90°， 3= 4.在 FDE与 ADE中，FDEADEDEDE34 FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.例 3.已知，如图 3-1 ， 1= 2， P为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD. 求证： BAP+BCP=180°.分析： 与例 1 相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明： 过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 3-2 1= 2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE与 Rt BPD中，ANP12PEPDBDC图 3-1BPBP RtBPE Rt BPD(HL), BE=BD.EAN+=2，+=+，+=即=-=.PAB BC BD AB BD DCBD BEAB DC BE DCBE AB AE在 Rt APE与 Rt CPD中,PEPD12BDC图 3-2PEAPDCAEDC RtAPE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180° , BAP+ BCP=180°例 4.已知：如图 4-1 ，在 ABC中， C 2 B， 1 2.求证： AB=AC+CD.A1 2BDC图 4-1分析：从结论分析，“截长” 或“补短” 都可实现问题的转化，即延长 AC至 E使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB 2 E，A12 ACB 2 B， B E，在 ABD与 AED中 ,BDC12图 4-2BEEADAD ABD AED（ AAS） , AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截长法）在上截取= ，如图 4-3AABAF AC在 AFD与 ACD中 ,12FAFAC12ADADBDC图 4-3 AFD ACD（ SAS） , DF=DC， AFD ACD.又 2 ， ，= .ACBBFDB BFD FB AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。