（挑战2013）中考数学 压轴题第六版精选 2.1 由比例线段产生的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在RtABC中，C90°，AC6，B的半径长为1，B交边CB于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180°得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系思路点拨1B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求y关于x的函数关系式，作OBN的边OB上的高，把OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答1 在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8过点M作MDAB，垂足为D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M与直线AB相离 图4（2）如图4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情况如图5，当PMPO时，又因为PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此时如图6，当OMOP时，设底边MP对应的高为OE在RtBOE中，BE，所以此时图5 图6（3）如图7，过点N作NFAB，垂足为F联结ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在RtBNF中，BNy，所以，在RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定义域为0x5图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在RtBMF中，BM2，在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以当MOMP1时，方程没有实数根当POPM1时，解方程，可得当OMOP时，解方程，可得例2 2012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行当点A落在上时，MNOBAO，OMNOBA请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行当点A落在上时，MNOBAO，OMNOBAs与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米答案 （1）当M、N都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（2）如图2，当M、N都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当M、N都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，如图3，如图4，综合、，s所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米例3 2011年上海市中考第25题在RtABC中，ACB90°，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E在AC和BC上，各存在一个时刻，AMEENB请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，当点E与点C重合时， 点E在边AC上时，y是x的一次函数当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。 思路点拨1本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐反复解直角三角形，注意对应关系2备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中3第（3）题当E在BC上时，重新设BPm可以使得运算简便一些满分解答（1）在RtABC中，BC30，AB50，所以AC40，在RtACP中，在RtCMP中，因为，所以（2）在RtAEP中，在RtEMP中，因为，所以因此，已知EMEN，PEAB，所以MPNP于是定义域为0x32（3）如图3，当E在AC上时，由，得解得xAP22如图4，当E在BC上时，设BPm，那么AP50m在RtBEP中，在RtEMP中，所以，这时由，得解得mBP8所以AP50m42图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题没有条件“AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，EAMEBN，此时PE垂直平分AB，AP256