2022年山东省高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

2022年山东省高考数学总复习：立体几何1 .如图所示，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AD=DC=AC,且CP，平面物O,E为AO的中点(I)证明：4£>_L平面PCE；(II)若%=相。，求二面角A-PC-E的余弦值.AR2 .如图，在四棱锥S-A8CO中，底面ABC。为矩形，SAO为等腰直角三角形，SA=SO=2y2,AB=2,F是BC的中点，二面角S-AO-B的大小等于120°.(1)在AC上是否存在点E,使得平面SEFL平面ABC。，若存在，求出点E的位置;若不存在，请说明理由；(2)求宜线SA与平面SBC所成角的正弦值.3 .如图，三棱锥E-BCD中，XECD为正三角形，平面EC£)_L平面BCD,BC=DC=¥BD=2,M,N分别是线段ED和80的中点.(I)求点C到平面8DE的距离；(II)求直线硒与平面MCB所成角的正弦值.4 .如图，在三棱柱ABC-。中，平面44CCi_L平面ABC,ABC和44C都是正三角形，。是AB的中点(1)求证：BC1平面4OC；(2)求宜线A8与平面。CCi所成角的正切值.5 .如图，在等腰直角三角形ADP中，已知4=今AD=3,B,C分别是AP,OP上的点,E是CO的中点，HBC/AD.现将PBC沿8c折起，使得点P在平面4BCD上的射影为点A.(1)若8,C分别是AP、的中点，求证：平面布C_L平面尸CD(2)请判断是否存在一种折法，使得直线？8与平面ABCO所成角的余弦值是直线尸8与平面布E所成角的正弦值的?倍？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.6 .在直三棱柱ABC-AiBiCi中，NB4c=90°,AC=AB=AAi=2,设点M,N,P分别是AB,BC,BiCi的中点.(I)证明：A4平面PMN；(H)若Q为A4上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.7 .在多面体A8CGA181中，四边形A88M1为菱形，BC/BC,BC=bC,AiCi=AiA,ABLBiC,ZBBA=60Q,平面4BB1A1_L平面ABC.(1)在棱AB上是否存在点O,使得A8J_平面81OC?若存在，请给予证明：若不存在,请说明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.8 .在四棱锥q_48(7£>中，侧面41O_L底面A8CO,PA=AD=DC=6,AC=6魂,A8=3,CD平面般B,/必。=60°.(I)求证：平面PCDJ_平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如图，已知四棱锥S-A8CZ）的底面是边长为2的正方形，且平面SAO_L平面48CD,M,N分别为棱4。，8C的中点，SA=SD,SALSD,P,。为侧棱SD上的三等分点（点P靠近点S）.（1）求证：PN平面MQC；（2）求多面体MPQCN的体积.10 .如图，四边形AM8C中，ABC是等腰直角三角形，AC±BC,M4C是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC向上折叠到4c的位置，使点。在平面A8C内的射影在AB上，再将4c向下折叠到E4C的位置，使平面E4cL平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点F在BC上，若。F平面£AC,求点F的位置;(2)求宜线A8与平面E8C所成角的余弦值.11 .如图，宜三棱柱8CF-AHE中，。为E4的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求证：AFVBH-,(II)求平面AOC与平面A8C所成角的余弦值.12 .在如图所示的几何体中，四边形48。是菱形，ZBAD=120°,AE±nABCD,AE/CF.(1)求证：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求该几何体的表面积.13 .如图，在四棱锥P-ABCD中，B4Q是等边三角形，平面平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,NBAD=60°.(1)若E为以的中点，求证：3E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四边形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如图，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C£>_L平面SEE(I)求证：4c，平面CDEF：(II)求二面角。-4E-C的余弦值.15 .如图，已知四棱锥P-A8CD中，AD/BC,AB=CD,A£>=28C=2PC=2,PD=瓜ZADC=60°.(1)求证：BPLCD-,(2)若BP=夜，求直线PC与平面布。所成角的正弦值.16 .如图，在四棱锥P-ABCD中，B4D是等边三角形，平面用DL平面A8CD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AD=28C=4,N3A£)=60°.(I)若E为必的中点，求证：5E平面PCD；(II)求四极锥P-ABC。的体积.17 .如图，在直三棱柱ABC-AiBiCj中，AB=BC=A4i,AB1BC,。为AB的中点，E为BC上一点，满足CE=2EB.(1)求证：4c平面81DE；(2)求二面角8i-AiC-Ci的余弦值.18 .已知在平行四边形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如图，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C£>_L平面SEE(I)求证：4c，平面CDEF：(H)求四棱锥F-ABCD的体积.19 .如图所示，在四棱锥E-ABCO中，四边形ABC。是宜角梯形，A8=AE=BC=%Z)=1,BC/AD,AE_L平面ABC。，NBAD=90°,N为OE的中点.(1)求证：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-。的余弦值.20 .如图，在多面体A8CDEF中，四边形ABCZX四边形ACFE均为菱形，ZBAD=ZEAC=120°.(1)求证：平面BDF_L平面ACFE；(2)若BE=DE,求二面角C-8F-E的余弦值.21 .如图所示，在三棱锥48co中，ABBC=BD=2,AD=2®NCBA=NCBO=*点E,F分别为40,80的中点.(1)求证：平面ACC平面BCE；(II)求四面体CCE尸的体积.C22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点。作平面a交441于E点，交3B1于尸点，使得4E=1,BF=.(I)求证：AC平面a；(II)求点。到平面a的距离.23.已知ABC,AB=BC,NC84=60°,沿着边CB把力BC进行翻折，使平面A8C与回答下列问题.平面DBC垂直，QBC可由ABC翻折得至!J.(1)直线4C与平面A8O所成角的余弦值；(II)二面角A-BD-C的余弦值.24.如图，四棱锥P-A8CD,底面四边形ABC。为梯形，且满足40=1,AB=CD=3,BC=4且AD/BC,PDJ_底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.(1)求/与平面PDC所成的角；(II)已知FD=1,求平面以B与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.25 .如图，在三棱台ABC-A'B'C中，已知平面A8B'A'_L平面ABC,AC±BC,ZCBA=四边形ABB'A'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分别为A8,A'6c的中点.(1)求证：EF±AC；(2)求直线E尸与平面ACC'A'所成角的正弦值.26 .如图，ABC为正三角形，半圆。以线段BC为直径，力是座上的动点(不包括点8,C),平面ABCL平面BCD.(1)是否存在点。，使得BZXLAC?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.(2)若NC8£»=30°,求二面角。-A£>-C的余弦值.27 .如图，ZVIBC是正三角形，D,E,尸分别是线段AB,BC,AC的中点，现将A。尸和CEF分别沿着。尺EF折起，使得4,C两点在P点重合，得到四棱锥P-BEFD(1)证明：平面尸平面BEFC；(2)设正三角形A8c的边长为4,求三棱锥产-P8E的体积.28 .如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD为正方形，必。为等边三角形，平面以。_L平面PCD.(1)证明：直线CDJ_平面PAD-.(II)若A8=2,。为线段PB的中点，求三棱锥。-PCO的体积.29 .如图，在四棱锥P-ABC。中，AD/BC,ADA.AB,并且8c=2A£>=2AB=2,PM=点在平面ABCD内的投影恰为的中点M.(I)证明：BP_L平面PCD；(ID求点4到平面PC。的距离.30 .如图，在四棱锥P-ABC。中，已知必_L平面A8CD,且四边形A8CO为直角梯形，ZABC=ZBAD=AD=2,A8=BC=1.(O当四棱锥P-ABCD的体积为1时，求异面直线AC与尸。所成角的大小；(2)求证：C£>,平面PAC.31 .如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,AD=2®/C3A=NC8O=%,点E,F分别为AD,8。的中点.(I)求证：EF平面ABC；(in求平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值.32 .如图，在四棱锥P-ABC。中，AD/BC,AD±AB,并且8c=2AO=2AB,点P在平面ABCD内的投影恰为80的中点(1)证明：CO_L平面PBD；(II)若PM=A。，求直线勿与C£所成角的余弦值.33 .如图，在三棱锥尸-A8c中，底面A8C,ZXABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为4(1)求三棱锥P-ABC的体积V；(2)若。为PB的中点，求异面直线网与CD所成角的大小.34 .如图1,在三棱柱ABC-4B1C1中，已知48_LAC,AB=AC=i,AAi=2,且A4i_L平面ABC,过Ai,C,B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥8-ACCiAi的体积和表面积.35 .如图，在矩形中，将ACZ)沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AELBE.(1)求证：平面ABE_L平面ABC；3V7(2)若8c=3,三棱锥B-AEC的体积为求点E到平面ABC的距离.36 .如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ABC是正三角形，点。在棱5囱上，且BB=3B1D,点E为81C的中点.(1)证明：平面AQE_L平面BCCiBi；(2)若881=3迎，AB=2,求点C到平面AQE的距离.37 .如图所示，在直三棱柱ABC-4BC1中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA=CB=CCi=2.点、D,Ci分别是棱AC,A1C1的中点.(1)求证：D,B,B,D四点共面；(2)求直线BC1与平面DBBiDi所成角的大小.38 .如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,CD=2AB=4,AD=遥,SCO是等腰直角三角形，SCSD,SA=3.(I)证明：平面SC£>1_平面ABC。；(II)若平面SAD与平面SCB的交线为I,求二面角C-1-D的余弦值.39 .如图，在矩形ABC。中，将ACO沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE1BE.(I)求证：平面A8E_L平面ABC；(2)若EB=小,三棱锥AEC的体积为呼，求二面角E-AC-8的余弦值.40 .如图，在三棱柱A8C-4BC1中，P,Q分别是A4i,CB上一点，且AP=2B4i,CQ=2QB.(1)证明：A。平面CP8i；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，且AAi=3,BC=BA=V15,AC=2百，求点B到平面CPBi的距离.41 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是正方形，AB=2,PD_L平面A8CD,PB与底面A5CD所成的角为45°,过AO的平面分别与PB,PC交于点£F.()求证：EFVDC-,2>/2IPEI（11）若二面角P-AD-E所成角的余弦值为三求两的值.42 .在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，四边形A8CZ）是平行四边形，AA=AC-1,ZABC30°,8c=2,平面ABBiAiJ_平面ABCD,M,N分别为AiC,A8的中点.（I）求证：MN平面AiBCi；（II）若cosNACB=?，求二面角C-MN-。的余弦值.43 .如图所示，三棱柱ABC-481。中，平面ACGAiJ_平面ABC,AAilAC,A4i=A5=8c=2,D,Qi分别为AC,AiCi的中点，且NBAC=3(T.(I)求证：DDilBC；(II)求二面角B-DAi-Ci的余弦值.尸分别是PA,44 .如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，尸C=/M=卓PD的中点.(I)证明：E尸，平面PC£；(II)求二面角A-CE-尸的余弦值.45 .如图，在四棱锥尸-A8CD中，等边三角形阴。所在平面与梯形ABCD所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=VL点G为丛PAD的重心，AC与8。交于点M.(D求证：GM平面PCD；(2)求点C到平面P5D的距离.46 .如图，直三棱柱AiBiCi-ABC中，AB=AC=,BAC=4A=4,点攸为线段AiA的中点.（1）求直三棱柱AiBiCi-ABC的体积；（2）求异面直线8M与所成的角的大小.（结果用反三角表示）47 .如图，已知直角梯形A8CD,BC/AD,BC=CD=2,AD=4,ZBCD=90°,点E为AD的中点，现将三角形ABE沿8E折叠，得到四棱锥H-BCZJE,其中NA£D=12t)°,点M为4D的中点.(1)求证：48平面EMC；(2)若点N为8C的中点，求四面体4MNB的体积.48 .如图，在三棱锥P-ABC中，ABC为正三角形，点£分别为AC,总的中点，其中PAPB4-/2,PCAC4.(1)证明：平面8DE_L平面ABC；V6(2)若点F是线段AC上异于点D的一点，直线4E与平面3EF所成角的正弦值为二,4求空的值.49.如图，在四棱锥P-48CQ中，四边形A8C£是梯形，AB/CD,ABLBC,且=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)证明：BD_L平面雨£；(2)求直线AD与平面P8C所成角的正弦值.50.在四棱锥P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8CD是菱形，AB=2y3,ZABC=60°.(I)求证：AC_LPB；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.2022年山东省高考数学总复习：立体几何参考答案与试题解析1 .如图所示，四棱锥P-ABCO中，四边形ABCO为平行四边形，AD=DCAC,且CP，平面外£),E为4。的中点(I)证明：AD_L平面PCE；(II)若布=与AD,求二面角A-PC-E的余弦值.【解答】解：(1)证明：如图，连接AC,：AO=£)C=AC,.4OC为等边三角形,点E为AZ)的中点，.,.ADLCE,平面布。，ACu平面以。，：.ADLCP,:CPCCE=C,J_平面PCE.(II)如图，以点尸为坐标原点，E4为x轴，EC为)，轴，过点E作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，C (0, V3, 0),则E(0,0,0),设点A(1,0,0),由(I)知A3J平面PCE,设P(0,y,z),(y>0,z>0),(1 4- y2 + z2 =： l(V3 - y)2 + z2273 V6 ,)z=底，：.P (0,'：PA=舞,：.PA=V3,PC=,解得丫=笨13.'.PC=(0,-孚)，AC=(-I,V3>0)»设平面出C的法向量蔡=(x,y,z),则m-PC=-y-z=0取y=,得”=(遮，孝),jn-AC=-x+V3y=0由(1)知，平面PCE的一个法向量总1=(1,0,0),设二面角A-PC-E的平面角为6,则二面角A-PC-E的余弦值为：c m-EA V3cosO='，=而m-EA lx 第AHV62 .如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABCO为矩形，S4O为等腰直角三角形，SA=SD=2y2,AB=2,F是BC的中点，二面角S-AO-B的大小等于120°.(1)在AO上是否存在点E,使得平面SEP,平面ABC。，若存在，求出点E的位置：若不存在，请说明理由；(2)求宜线SA与平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在线段4。上存在点E满足题意，且E为AO的中点.如图，连接E尸，SE,SF,四边形ABCD是矩形，.,.48_LA£>,又E、F分别是40、BC的中点，：.EF/AB,AD1EF,.SAO为等腰直角三角形，SA=SD,E为AO的中点,：.SELAD,:SECEF=E,SE、EFu平面SEF,.A3_L平面SEF,：AOu平面ABCD,：.平面SEF_L平面ABCD,故AD上存在中点E,使得平面平面A8CD(2)由(1)知，SELAD,EFLAD,.NSE厂为二面角S-A3-8的平面角，即NSEF=120°.以E为原点，EA.EF所在的直线分别为x、y轴，作EzJ_平面48CD,建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰RtZkSAC中，SA=SD=20,：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),T>T：.SA=(.2,1,-V3),SB=(2,3,一百)，SC=(-2,3,-V3),(2x 4- 3y - V3z = 01-2x + 3y - y3z = 0设平面SBC的法向量为/=(x,y,z),则三,吧=°(nSC=0令y=l,则x=0,z=V3,An=(0,1,V3),设直线SA与平面SBC所成角为e,TTTTSAn1-3J2则sin8=|cos<54n>=丁1=1于1=|Si4|-|n|V4+1+3X2'故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为座.43 .如图，三棱锥E-BCD中，ECO为正三角形，平面EC£)_L平面BCD,BC=DC=辱BD=2,M,N分别是线段EO和8。的中点.(I)求点C到平面BOE的距离；(II)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.1tND【解答】解：（I）：平面EC。，平面BCD,且EC。为正三角形，CD=2,.点E到平面BCD的距离为百，'：BC=DC=专BD=2,：ABCD是等腰直角三角形，1:SBCD=2CeDC=2.在ABDE中,BE=BD=2V2,DE=2,:.SaBDE=2x2xV7=V7.设C到平面8/3E的距离为d,.VebcdVcbde,xV3x2=qxdxV7,解得d=冬算，故点C到平面BDE的距离为一(II)以C为原点，C。、CB所在的直线分别为x、y轴，作Cz_L平面3CQ,建立如图所示的空间直角坐标系，,3V3厂则B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,)fE(1,0,V3),N(1,1, 0),T3T：.EN=(0,1,-V3),CM=(一,0,),CB=(0,2,0),22设平面MBC的法向量为孩=(X,y,z),贝跑=°，即声+z=。，(71CB=02y=0令x=l,则y=0,z=-V3,：.n=(1,0,-V3),设直线EN与平面MBC所成角为0,T>-tENn33则sin0=|cosVEN,n>|=|-z|=55=7,EN-nzxz43故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为一.4ABC和4AC都是正4.如图，在三棱柱A8C-481。中，平面AiACCi_L平面A8C,三角形，力是A8的中点(1)求证：8。平面4OC；(2)求直线AB与平面OC。所成角的正切值.【解答】(1)证明：连接AC1,交41c于E,连接。E,四边形AMCC1是平行四边形，是ACi的中点，是 A8 的中点，：.DE/BC,平面 4QC, BCiC平面 4QC,，8。平面4£)仁(2)解：取AC的中点。，连接40,BO,ABC和AAiAC都是正三角形，；.40，AC,B01AC,;平面AMCCi,平面ABC,平面44CC1C平面ABC=AC,.401.平面ABC,：.AiOLBO,以。为原点，OB、OC、04所在直线分别为工、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,y/1设AC=2,则A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,一焉0),C(0,222,V3),TLTV33T由5l：.AB=(V3,1,0),CD=(一,一2，0),DC.=(一浮，V3),22122/_»-x0设平面DCC的法向量为1=(x,y,z),则岁空=°,即产一一.(71,Dg=01_X+-y+bz=0令x=3,则尸次，z=-1,：.n=(3,V3,-1),-ABn3V5+V5设直线AB与平面DCC所成的角为。，则sin。=|cos<AB,n>=1rli=|.|=ABn2x79+3+12/3宿，.".tan0=2/3.故直线AB与平面DCC所成角的正切值为2b.5.如图，在等腰直角三角形ACP中，已知4=$AD=3,B,C分别是AP,Z)P上的点,E是CO的中点，J±BC/AD.现将8c沿BC折起，使得点P在平面4BCD上的射影为点4.P(1)若B,C分别是AP、力尸的中点，求证：平面以C_L平面PCD(2)请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面以£所成角的正弦值的厚倍？若存在，求出A8的长；若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：点P在平面ABCO上的射影为点A,.以，平面ABCZ),.Su平面4BCC,：.PAA.CD,等腰RtZAOP,且C为。尸的中点，：.ACLCD,'：PACAC=A,PA.ACu平面巩C,平面PAC,又CCu平面尸CD,平面布C_L平面PCD(2)解：_L平面 ABC。,.NABP为直线P8与平面ABC。所成的角，设其大小为a,则cosa=噩,过点8作BML4E,交AE于点M,连接尸M,.玄，平面ABC。，：.PAYBM,又AEA出=4,AE、以u平面乃IE,.NBPM为直线尸8与平面以E所成的角，设其大小为0,则sin0=鬻，.直线PB与平面ABCO所成角的余弦值是直线PB与平面B4E所成角的正弦值的学倍,/.cosa=|sinp,即AB=设A8=f(0</<3),则BM=DE=1cD=PD=琢t,V26/。/设/ABM=NZME=e,在4OE中，由正弦定理知,DE 4。sinz.DAE sinz.AED.2 sind30)得 sin0=不工cos。,7TVsin20+cos20=L且BE(0,-),2cos0=6-tJ2t2-12t+36：.BM=t(6-t)J2t2-12t+36又BM=f=tyV26；=K，化简整理得，Zp+r-SnO,解得，=1或一2(舍负)，V2t2-12t+36V262故当AB=时，直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面PAE所成角的正弦值的竺倍.6.在直三棱柱ABC-41BC1中，ZBAC=90°,AC=AB=AA=2,设点M,N,尸分别是AB,BC,BC的中点.(I)证明：AAi平面PMN；(II)若。为441上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.AMB【解答】(I)证明：】点M,N,尸分别是AB,BC,B1C1的中点，,PNCG,5L,：AA/CC,：.AA/PN,平面PMN,PNu平面PMN,平面PMN；(II)解：如图，连接AN,AP,根据等体积法可知，VPQMN=VQPMN,由(I)可知，AAi平面PMN,又Q为AAl上的动点，VQ-PMN=Va-PMN=Vp-AMN,Samn=)xlxl=,111即Vp-qmn=Vq-pmnVa-pmn=Vp-amn=Wx2x2=.若Q为AAl上的动点，则三棱锥P-QMN的体积定值AMB7.在多面体ABCG481中，四边形4B814为菱形，BC/BC,BC=BC,AiCi=AiA,ABLBiC,NBiBA=60°,平面ABBiAi_L平面ABC.(1)在棱A8上是否存在点O,使得A8L平面BiOC?若存在，请给予证明；若不存在,请说明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.BC【解答】解：(1)在棱AB上存在点O(O为棱48的中点)，使得AB1.平面B1OC.理由如下：连接A8i,.四边形A8B4为菱形，且NBBA=60°,.A88是等边三角形，又。为AB的中点,：.BOLAB,VABlBiC.BOQBCB,BiOu平面BiOC,BiCu平面BiOC,；.A8_L平面BOC.(2)由(I)知，A8_L平面BiOC,：.AB±OC,又平面A88141,平面ABC,平面ABBAC平面ABC=AB,，OCJ_平面OC1B1O,以。为坐标原点，OB,OC,OBi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，取81cl的中点E,连接4E.CE,由题意知几何体ABC-是三棱柱，取AB中点D,连接DE,则OCIIOEII/公弓，设AAi=2,则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),Bi(0,0,V3),Ai(-2,0,V3),>>T>>>>：.OCt=0B1+8遇1+A1C1=OB1+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,1,0)=(-2,2,V3),ACi(-2,2,V3),71C=(1,1,0),ACX=(-1,2,遍)，设平面AC。的法向量m=(x,y,z),mil(m-/IC=%+-y=0即、砥zt.不、则,t,取x=1,得m(1,-1,v3),(m-ACX=-x+2y+3z=0平面ABC的一个法向量=(0,0,1),sin0=设二面角C-AC-B的平面角为6,则cos0=.二面角Ci-AC-B的正弦值为8.在四棱锥P-ABC。中，侧面以£>>£底面ABC。，PA=AD=DC=6,4c=6鱼，AB=3,CO平面南B,ZMD=60°.(I)求证：平面尸COJ_平面PBC；(II)求二面角PBC-D的余弦值.【解答】解：(I)证明：'：AD=DC=6,AC=6V2,.,.AD+DAC2,：.AD1.DC,:侧面以£)_L底面ABCD,侧面南£>。底面ABCD=AD,.8，平面以。，VPDcffiiPAD,：.CD±PD,取PC和。C的中点分别为M和N,连接MN,BM,则MN尸。，：.CD1MN,：CD平面附8,CO平面A8C£),平面附8n平面A8CO=A8,.'.CD/AB,'：AB=ND=3,四边形48N£)为平行四边形，：.BN/AD,:.CDLBN,'：BNCMN=N,：.CDL平面BMN,:BMu平面BMN,；.CD1BM,：C£>J_平面PAD,且雨u平面PAD,：.AB±PA,即%B为直角三角形，PB=g+32=3倔,:PB=BC,且M是PC的中点，.".PC1BM,'：PCr)CDC,，8M_L平面PC。， .BMu平面PBC,二平面PCCJ_平面P8C.(H)在刑。中，'：PA=AD=6,/办0=60°,.以。为等边三角形，PD=6,取AD的中点O,连接PO,：.POLAD,且PO=V62-32=3百， 平面平面ABCD,平面HOC平面48C£)=4。，；.PO_L平面ABCD,过点P作PHLBC,交.BC于点H,连接OH,则即为三面角P-BC-3的平面角，,;PD=CD=6,CDA.PD,，2£)为等腰直角三角形，PC=VCD2+PD2=V62+62=6V2,第61页共115页 由(I)知?B=BC=3，§,M为尸C的中点，：.BM±PC,在RtBMC中，BM=/BC2-MC2=J(3V5)2-(3V2)2=35/3,11在P8C中,Sapbc=-xBMxPC=PH-BC,解得PH=嘤，mil-po373V10则sm/P"°=而=通=-5-.RtZP。中，NPHO为锐角,.,.cos/PHO=里4V6二二面角P-BC-D的余弦值为一.49.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SWJ_平面ABCD,M,N分别为棱AD,BC的中点，SA=SD,SALSD,P,。为侧棱SO上的三等分点(点产靠近点S).(1)求证：PN平面MQC；(2)求多面体MPQCN的体积.sf)BNC【解答】证明：（1）如图，连接ND交CM于点R,连接QR,在正方形ABC。中，VM,N分别为AO,BC的中点，二四边形MNCO为矩形,得R为NO的中点，又Q为PD的中点、，：.PNQR,：QRu平面MQC,PNC平面MQC,；.PN平面MQC：解：（2）连接SM,为AQ的中点，SA=SD,SALSD,：.SMLAD,且SM=»O=1,又平面S4O_L平面ABC。，平面SAOCl平面ABCD=AD,SM_L平面ABCQ.12Vp-mnc = 3 am/vc x SM1 -2X1 -31X2 -32 -9=平面S4OJ_平面ABC。，平面SADA平面4BCO=AO,CDLAD,平面SAD.又在RtZXSMO中，SD=y/2SM=V2,SP=PQ=QD,S»pqm=3Ssmd'111ill1,%一pqm=3S&pqmxCD=WxwSsmdxCD=x1x2=q.711二多面体MPQCN的体积V=Vp-MNC+Vc-PQM=5+5=4.BNC10 .如图，四边形MA8C中，ABC是等腰直角三角形，AC_L8C,MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC向上折叠到OAC的位置，使点。在平面A8C内的射影在48上，再将MAC向下折叠到E4C的位置，使平面EACL平面ABC,形成几何体DABCE.（1）点尸在BC上，若OF平面EAC,求点尸的位置；（2）求直线A8与平面E8C所成角的余弦值.【解答】解：（1）点厂为BC的中点，理由如下：设点。在平面ABC内的射影为O,连接0。，0C,"：AD=CD,：.OA=OC,.在RtZABC中，。为AB的中点，取AC的中点H,连接£”，由题意知E”,AC,又平面E4CL平面ABC,平面EACH平面48C=AC,平面ABC,由题意知。O_L平面ABC,：.DO/EH,二。平面EAC,取BC的中点F,连接OF,则。/AC,又OFC平面EAC,4Cu平面EAC,尸平面E4C,"：DOQOF=O,平面。OF平面E4C,：。/<=平面。尸，。尸平面E4C.(2)连接04，由(1)可知OF,OH,OO两两垂直，以。为坐标原点，OF,OH,。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B(1,-1,0),A(-I,1,0),E(0,1,-V3),C(1,1,0),»：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,一仲，设平面EBC的法向量"=(a,b,c),TTBCn=2b=0，取a=V5,则£=(臼，0,-1),BEn=-a+2byj3c=0设直线与平面EBC所成的角为e,则 sin0=T ->ABn.直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cos6=Jl-()2=乎.11 .如图，直三棱柱8CF-中，。为E”的中点，AB=BF,BFA.CF,AB=BF=CF=2.(I)求证：AFLBH；(II)求平面4OC与平面ABC所成角的余弦值.【解答】解：(1)证明：由三棱柱8CF-4HE是直三棱柱，得CFLE凡VBF1CF,BFCEF=F,二CF_L平面ABFE,JCF/HE,，HE_L平面4BFE,J.HE1.AF,'：AB=BF,ABLBF,平行四边形A8FE是正方形，又H£CBE=E,；.AF_L平面”EB,平面：.AF±BH.(II)以E为坐标原点，EA,EF,EH为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,在RtZOC中，为E”的中点，11：.DE=EH=CF=1,则A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),>>：.AC=(-2,2,0),AD=C-2,0,1),AB=(0,2,0),设平面ABC的法向量蔡=(x,y,z),则把斗一2x+2y=0,取x=,得上勇力(m-AB=2y=0设平面AOC的法向量=(a,b,c),-*r-1, 2),nAC=-2a+2b+2c=0fc=2(得心(1,n-AD=-2a+c=0由图知平面ADC和平面ABC所成角为钝角,/.平面AOC与平面ABC所成角的余弦值为-字.所以CF平面A8E,因为四边形ABC。是菱形所以 CD/AB,由于CCC平面ABE,所以CC平面ABE,所以平面COF平面ABE,又OFu平面CDF,求证：平面A8E；若AO=4E=2CF=2,求该几何体的表面积证明：因为 AECF, CF<t¥® ABE在如图所示的几何体中，四边形A8CC是菱形，ZBAD=120° , AE_L平面ABCC所以OF平面48E.(2)由4ECF,知4,C,F,E四点共面，连接AC,于是该几何体是由两个相同的四棱锥B-4CFE,O-ACFE构成的，由题意知，Smbe=,x2x2=2,SaABC=2x2x2xsin60°=V3,S/bcf=x2x1=1,在ABE尸中，EF=V5,BE=2y/2,BF=V5,Sabef=x2迎x6=迎，所以该几何体的表面积为2X(Sabe-Saabc+SaBCf+Sbef')=6+2V3+25/6.13.如图，在四棱锥P-ABCD中，勿。是等边三角形，平面以.平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AO=28C=4,NBAD=60°.(1)若E为心的中点，求证；8E平面PCD；(II)求二面角B-PC-。的正弦值.1川1 -2【解答】解：(I)证明：如图，取尸£的中点F,连接EF,CF,则EF/AD,且EF=刿。,由条件可知，BC/AD,：.EF/BC,fl.EF=BC,四边形8CEF为平行四边形,J.BE/CF,又BEC平面PCD,CFu平面PCD,.BE平面PCD；(II)如图，取AO的中点O,连接OB,OP,则OB=OP=2代，由条件可得OA,OB,O尸三条直线两两垂直，故以点O为坐标原点，分别以。4,OB,OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间宜角坐标系，则B(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(-2,2V3,0),D(-2,0,0),>>>：.PC=(-2,2V3,-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,-25/3,0),设平面PBC的一个法向量为蔡=(a,b,c),贝,呼=-2a+2Hb20c=0,则BC=-2a=0可取m=(0,1,1),同理可得平面PCD的一个法向量为蔡=(-V3,0,1),tttr设二面角B-PC-。的大小为e,则cosV茄，=呼叫=噂,14 .已知在平行四边形A8CD中，AD=2,AB=W,ZADC=如图，DE/CF,且QEO=3,CF=4,NDCF=*且平面48C£>_L平面SEE(I)求证：4c，平面CDEF：(II)求二面角D-AE-C的余弦值.B【解答】解：(I)证明：在平行四边形ABCC中，CD=AB=y3,AD=2,乙4DC=1o由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD-CD'cosZADC=4+3-2X2xV3x=1,.".AC2+CD2AD2,：.ACLCD,又；平面CDEF,平面ABC。平面CDEF=CD,ACu平面ABCD,；.AC_L平面CDEF-,(II)如图以点C为坐标原点，CO,CF,C4所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点C(0,0,0),4(0,0,1),D(V3,0,0),E(g,3,0),TT7设平面A。七的一个法向量为m=(a,b,c),DE=(0,3,0),DA=(-V3,0,1),3b =V3a + c = 0则可取薪= (1, 0, V3),TT设平面ACE的一个法向量为n = (x, y, z), AC = (0, 0,-1), CE = (V3, 3, 0),la + 3b = 0, 则可呜=(叵 一 1，°)>设平面AOE与平面ACE所成的二面角为。，则cos。=mn而|向百 百2x2 =4'15 .如图，己知四棱锥P-ABCO中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,NAOC=60°.(1)求证：BPLCD；(2)若BP=求直线PC与平面布。所成角的正弦值.【解答】(1)证明：取BP的中点E,连接CE、DE、BD,:BC=PC,：.CELBP,"：AD=2BC=2,ZADC=60°,."0=1,BD=V3,XPD=V3,：.DELBP,：CECI£)E=E,CE、£)Eu平面COE,；.8P_L平面COE,VCDcTiSCDE,:.BPLCD.(2)解：过C作CFJ_AO于尸，连接尸F,"."AD/BC,：.CFA.BC,"：BP=y/2,BC=PC=1,：.BC2+PC1=BP1,即BC1.PC,又CFCPC=C,CF、PCu平面PCF,.8CJ平面PCF,.AO_L平面PCF,平面B4O,平面平面PCF,过点C作CG,尸产于点G,.平面阳。C平面PCF=尸凡，CG_L平面力。,NCPF即为直线PC与平面PAD所成的角,/01在RtCW中，ZCDF=60°,CD=,：.CF=DF=在RtZP£)F中，PD=V3,DF=1,.,.尸F=孚，在(?尸中，由余弦定理知，cosNCPF=PC2+PF2-CF2 2PCPF-1+¥T = 3 ,2xlx半质,：.sinZCPF=Vl-cos2/.CPF=詈，故直线PC与平面PAD所成的角的正弦值为名.1116 .如图，在四棱锥尸-ABCD中，办。是等边三角形，平面附DJ平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AOBC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.(1)若E为勿的中点，求证：8E平面PCQ；(U)求四棱锥P-ABCD的体积.【解答】证明：(I)如图，取尸。的中点F,连接EF,CF,则EF4O,MEF=|AD,由已知可得8cAO,且BC=%。，；.EFBC且EF=BC,得四边形BCEF为平行四边形，则BE/CF,又BEC平面尸CD,CFu平面PC。，.BE平面PCD；解：(II)如图，取A。的中点O,连接尸O,OB,OC,.平面勿£，平面ABC。，B4O是等边三角形，C.POLABCD,得尸0=2百，OB=2同又底面ABC。是直角梯形，AD/BC,力。=28c=4,:，S梯形abcd=ax(2+4)x2V3=6V3,V四棱细_abcd=qS梯形abcdXP。=4X6V3X2V3=12.17 .如图，在直三棱柱4BC-4BC1中，AB=BC=AAi,ABLBC,。为AB的中点，E为BC上一点，满足CE=2EB.(1)求证：4C平面81OE；(2)求二面角Bi-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)连接Ai8交8。于点凡连接EF,"：ABi/AB,：.AAiFBiABFD,又。为AB的中点，.BFBD141尸2":CE=2EB,.BFBE丽一法：.AC/EF,平面BDE,EFu平面BDE,；.AiC平面BDE；(2)由题可知，BA,BC,两两互相垂宜，以8为坐标原点，BA,BC,881所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间宜角坐标系，设AB=8C=A4i=l,则4(1,0,1),C(0,1,0),C(0,1,1),B(0,0,1),：.BXAX=(1,0,0),BXC=(0,1,一1),CjC=(0,0,-1),。出=(1,-1,0),JT设平面BAC的一个法向量为£=(无，y,z),则二'士公一'一0,则可取=jn-BXC=yz=0(0,1,1),设平面AiCCi的一个法向量为茄=(a,b,c),则=一。=°,则可取U=m,C1A1=qb=0(1,L0),>>t、mn1cos<m,n>=-t=5,由图易知二面角Bl-AiC-Ci为锐二面角，二面角B-AC-Ci的余弦值为3.18.已知在平行四边形A8CO中，AD=2,AB=V3,ZADC=如图，DE/CF,且OEo=3,CF=4,ZDCF=j,且平面ABC"平面CQEF.(I)求证：AC_L平面CDEF；(II)求四棱锥F-ABCD的体积.DE【解答】解：（I）证明：由题知在ACO中，CD=V3,AD=2,ADC=则由余弦定理得ACanAZ+C。2-2AD-CD-cosZADC=22+(V3)2-2x2xV3X=1,则ac2+cd2=ad2,：.ACLCD,又平面A8C3J_平面CDEF,平面ABCDn平面CDEF=CD,ACu平面ABC。，ACJ_平面CDEF；(II)由于平面ABCD_L平面CDEF,又乙DCF=，且CFu平面CDEF,平面ABCDD平面CDEF=CD,，CF_L平面ABC。，,:S平行四边形abcd=CD-AC=y/3X1=y/3,四棱锥F-ABCD的体积为V=/S平行四边形abcd-CF=|xV3x4=.19.如图所示，在四棱锥E-A8C3中，四边形ABCD是直角梯形，AB=AE=BC=：A£>=1,BC/AD,AE_L平面ABC£>,ZBAD=90°,N为DE的中点.(1)求证：NC平面EAB；(2)求二面角4-CN-D的余弦值.BCII1【解答】解：证明：取AE中点尸，连接尸N,BF,易知NF="D,5LBC=AD,故BC=NF,二四边形BCNF为平行四边形，.".NC/BF,又:NCC平面ABE,8尸u平面ABE,；.NC平面EAB；(2)以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,1),N(0,：.AC=(1,1,0),AN=(0,1,分，CD=(-1,1,0),ND=(0,1,一分，(TmAC=x4-y=0t-1，则可取m=1,mAN=y+Z=0_2)，设平面CM)的法向量为£=(a,b,c),贝IJ，.=一£11/7=(),则可取£=(1,1,2),(n-ND=b-yc=0>>.j->mn-1+142cosOn，n>=钎=K，|m|n|n/6xV63易知二面角A-CN-D为钝角，故二面角A-CN-D的余弦值为一宗x20.如图，在多面体48CDEF中，四边形ABC。、四边形ACFE均为菱形，BAD=ZEAC=120°.(1)求证：平面BDFJ_平面ACFE；(2)若BE=DE,求二面角C-BF-E的余弦值.BC【解答】解：(1)证明：T&ACnBD=O,连接尸O,AF,.四边形A8C。为菱形，二。为AC的中点，:四边形ACEF为菱形且NE4C=120°,.二ACF为等边三角形，.'.FOLAC,四边形ABCD为菱形，.,.AC_LB£),：FOHBD=O,FOu平面8。尸，BOu平面BOF,.4CJ_平面BDF,又ACu平面ACFE,平面AC/EL平面BDF；(2)如图，连接OE,'BE=DE,：.OE±BD,XBDA.AC,ACu平面ACFE,OEu平面ACFE,OECAC=O,8OL平面ACFE,又8Ou平面ABCD,：.平面ABC£)J_平面ACFE,由(1)知，OF±AC,故OEL平面4BC£),：.OB,OC,。尸两两互相垂直，以点O为坐标原点，OB,OC,。尸所在直线分别为x,y,2轴