2017年河南郑州一中网校高三入学测试数学（文）试题（解析版）

2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学（文）试题一、选择题1已知全集，集合，则为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：集合，集合，故【考点】1.集合并集；2.三角函数值域.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，.【考点】复数概念及运算.3已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）A30° B60° C150° D120°【答案】D【解析】试题分析：.【考点】向量运算.4已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）A-2 B-3 C2 D3【答案】C【解析】试题分析：成等比数列，即，.【考点】数列的基本概念.5中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）A1.2 B1.6 C1.8 D2.4【答案】B【解析】试题分析：这是一个圆柱和一个长方体，体积为.【考点】三视图.6过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：依题意，所以.【考点】直线与圆锥曲线位置关系.7函数与的图象关于直线对称，则可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：图象关于直线对称，则有关于直线对称，即.【考点】三角函数图象变换.8按下图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）A45 B47 C49 D51【答案】D【解析】试题分析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即.【考点】算法与程序框图.9已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，设，所以为奇函数，图象关于原点对称，要，只需.【考点】函数的单调性.10已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知，当时，当时，故取值范围是.【考点】线性规划.11过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】试题分析：如图所示，根据切线，可有，所以最小值为.【考点】圆与双曲线的位置关系.【思路点晴】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的转化为，这样，再结合图象，可以知道，三点共线时取得最小值为.12定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：构造函数，在上单调递减，故等价于.【考点】函数导数与不等式.【思路点晴】无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.利用求函数最值的方法来证明不等式，但是注意是的充分不必要条件；适当对不等式等价变形，通过换元法，转化为含有一个未知数的不等式，并通过构造函数，并且利用导数研究的单调性，达到证明的目的.二、填空题13设的内角的对边分别为，且，则_【答案】【解析】试题分析：，.【考点】解三角形、正余弦定理.14分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则_【答案】【解析】试题分析：依题意有，故.【考点】向量运算.15过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若球半径为，求弦的长度_【答案】【解析】试题分析：依题意可知，这是一个正四面体的外接球. 若一个正四面体边长为,其外接球半径公式为:，即.【考点】球的内接几何体.【思路点晴】对棱相等的三棱锥,设三对棱长分别为,如下图所示三棱锥,请同学们推导其外接球半径公式,特别地,若一个正四面体边长为,其外接球半径公式为:. 设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.2.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.16已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：二次函数段对称轴为.要有三个根，只需，即.【考点】1.分段函数；2.数形结合的数学思想.【思路点晴】本题考查分段函数、数形结合的数学思想、化归与转化的数学思想.第一段是偶函数，它是由折起来而成.第二段是二次函数，其开口向上，对称轴为，画出这两个函数的图象，依题意关于的方程有三个不同的根，则只需，也就是左边第一段的右端点函数值比右边第二段左端点的函数值要大即可.三、解答题17已知（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角的三个角所对的边分别为，且，求的取值范围【答案】（1）（）；（2）.【解析】试题分析：（1）先用降次公式和辅助角公式，化简得，代入单调递增区间，求出相应自变量的取值范围为；（2）由（1）知，.由余弦定理得：，化简，再由正弦定理和基本不等式可求得取值范围.试题解析：（1），函数的单调递增区间；（2），由余弦定理得：，为锐角三角形，由正弦定理得：，【考点】1.三角函数图象与性质；2.解三角形.18三棱锥中，分别为棱的中点，（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用勾股定理有，利用等腰三角形中点，有，故平面，所以平面平面；（2）利用等体积法，即，所以.试题解析：（1）由题意：，即又在中，为的中点，平面，又平面，平面平面（2）由（1）知平面，的面积为，又在中，得，即，点到平面的距离为【考点】1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法.19郑州一中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图估计中位数，也就是左右两边面积等于的地方，设初赛成绩的中位数为，则，解得；（2）该校学生的初赛分数在有人，分别记为，分数在有人，分别记为，利用列举法，列举出基本事件有种，其中符合题意的有种，故概率为.试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为，则，解得，所初赛成绩的中位数为81；（2）该校学生的初赛分数在有4人，分别记为，分数在有2人，分别记为，在则6人中随机选取2人，总的事件有共15个基本事件上，其中符合题设条件的基本事件有8个故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为【考点】1.频率分布直方图；2.古典概型.20已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点是坐标原点，且时，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以，所以的轨迹是椭圆，即方程为；（2）设直线，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可得.联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入，有，由此解得.试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，；（2）设直线，直线与圆相切， ， ， ， 所以为所求【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】求轨迹方程的常用方法有定义法和向观点法.本题是定义法.根据题意，动点满足椭圆的定义，也即动点到两个定点的距离之和等于常数，并且这个常数大于这两个定点的距离.在求解出椭圆方程后，要验证是否椭圆方程的每个点是否都在图象上，因为有时候有些点是不符合题意的，比如有时候斜率不存在的点可能要舍去.21已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立【答案】（1）当时，函数在内单调递增，在内单调递减，当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，当时，在内单调递增，当在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求定义域为，求导通分因式分解得.对分成，四类对单调区间进行讨论；（2）先求出，利用导数求出在区间的单调区间和最值，即可得证.试题解析：（1）函数的定义域为； ，当时，单调递增；时，单调递减，当时，（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增； （3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增（2）由（1）知，时，令，则，由可得，当且仅当时取得等号又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】分类讨论参数的取值范围是导数问题中最常见的题型.它主要考查分类讨论的数学思想方法.我们为什么要求导，什么时候要进行分类讨论？如此题，我们求导是为了研究单调区间、极值和最值，求导后发现含有参数，即，无法确定单调区间，就需要我们分类讨论了.由于这是二次项的系数含有参数，我们就先从两类进行分类.22选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连结，由题意知为直角三角形，利用证得，从而有；（2）由切割线定理，有，可证得，所以，得，所以试题解析：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形，因为，所以，即又，所以（2）因为是圆的切线，所以，又，所以，因为，又，所以所以，得， 所以【考点】几何证明选讲.23选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）（1）判断直线与曲线 的位置关系，并说明理由；（2）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率【答案】（1）相交；（2）.【解析】试题分析：（1）圆两边乘以，化简得，直线过顶点，该点在圆内，故直线与圆相交；（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，则直线必有斜率，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于，可求得.试题解析：（1），曲线的直角坐标方程为，即，直线过点，且该点到圆心的距离为，直线与曲线相交（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，则直线必有斜率，设其方程为，即，圆心到直线的距离，解得，直线的斜率为【考点】坐标系与参数方程.24选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解关于的不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1），即，即；（2），得对任意恒成立，当时，问题等价于对任意非零实数恒成立，故.试题解析：（1）由，得，即，故原不等式的解集为；（2）由，得对任意恒成立，当时，不等式成立当时，问题等价于对任意非零实数恒成立，即的取值范围是【考点】不等式选讲.第 17 页 共 17 页