【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 章末知识整合

.章末知识整合 整合·网络构建专题1转化与化归思想的应用典例1若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等解：法一(看成函数的值域)：因为abab3，所以b(显然a1)，且a1.所以aba·(a1)59，当且仅当a1，即a3时取等号又a3时，(a1)5单调递增，所以ab的取值范围是9，)法二(看成不等式的解集)：因为a，b为正数，所以ab2.又abab3，所以ab23，即()2230.解得3或1(舍去)，所以ab9，即ab的取值范围是9，)法三：若设abt，则abt3， 所以a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有即解得t9，即ab9，所以ab的取值范围是9，)归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等变式训练1如果关于x的不等式1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是_解析：因为4x26x30恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x22mxm4x26x3(xR)即2x2(62m)x(3m)0对一切实数x恒成立，所以(62m)24×2(3m)4(m1)·(m3)0，解得1m3.答案：(1，3)2已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围解：法一：在区间1，)上，f(x)>0恒成立，等价于x22xa>0恒成立设yx22xa，x1，)，而yx22xa(x1)2a1在定义域内单调递增，所以当x1时，ymin3a.于是当ymin3a>0时，不等式f(x)>0恒成立，故a>3.法二：f(x)x2，x1，)，当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，故当x1时，f(x)min3a，于是当f(x)min3a>0时，函数f(x)>0恒成立，故3<a<0.综上可得实数a的取值范围是a>3.专题2函数与方程思想的应用典例2设不等式x22axa20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围解：M1，4有两种情况：其一是M，此时<0；其二是M，此时0或>0，下面分三种情况计算a的取值范围设f(x)x22axa2，则有(2a)24(a2)4(a2a2)，(1)当<0时，1<a<2，M1，4；(2)当0时，a1或2.当a1时，M11，4当a2时 ，M21，4；(3)当>0时，a<1或a>2.设方程f(x)0的两根x1，x2，且x1<x2，那么Mx1，x2，M1，41x1x24即解得2<a<，所以M1，4时，a的取值范围是.归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决函数与方程二者密不可分，如函数解析式yf(x)也可看作方程函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一具体包括：(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用(3)利用方程解决有关函数的问题函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解如f(x)a恒成立等价于f(x)mina.变式训练3求证：sin2 x5.证明：设sin2xt，原式变形为f(t)t，则f(t)在t(0，1时为单调递减函数因为0sin2 x1，所以当sin2 x1.即t1时，f(t)有最小值，f(t)min5.所以f(t)t5，即sin2 x5.4定义在(1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：由f(1a)f(1a2)0得f(1a)f(1a2)f(a21)，所以0a1.所以a的取值范围是(0，1)专题3分类讨论思想的应用典例3解关于x的不等式x2ax2a2<0(aR)分析：先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式解：原不等式转化为(x2a)(xa)<0.对应的一元二次方程的根为x12a，x2a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为x|a<x<2a；(2)当a0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为x|2a<x<a综上所述，原不等式的解集为：当a>0时，x|a<x<2a；a0时，x；当a<0时，x|2a<x<a归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定对象的范围(2)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏(3)逐类讨论，获得阶段性结果(4)归纳总结，得出结论变式训练5若不等式(a2)x22(a2)x4<0的解集为R，求实数a的取值范围解：当a20，即a2时，原不等式为4<0，所以a2时成立当a20时，由题意得即解得2<a<2.综上所述，a的取值范围为2<a2.6求函数y23x的最值解：显然x0.当x>0时，y2，令y13x，因为x>0，所以3x>0，>0.故y13x2 4.当且仅当3x，即x(负值舍去)时，取等号，所以(y1)min4，当y1取最小值时，y取最大值所以当x时，ymax24.当x<0时，y2，令y23x，则y2(3x).因为x<0，所以3x>0，>0.故y22 4，即y24，当且仅当3x，即x(正值舍去)时，取等号所以(y2)max4，当y2取最大值时，y取最小值题型4数形结合思想的应用典例4求使log2(x)x1成立的x的取值范围分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解解：如右图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y1log2(x)，y2x1的图象，易知两图象交于点(1，0)显然y1y2的x的取值范围是(1，0)归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题(2)由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征(3)数形转换，化抽象为直观，化难为易变式训练7已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是_解析：作出yf(x)的图象如图所示，f(5)f(5)5.所以|x2|5，即7x3.答案：(7，3)8已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)0，2f(1)4，求的取值范围解：由1f(1)0，2f(1)4，可得1ab0，2ab4.求的取值范围即是求经过点(a，b)和点(2，1)的直线的斜率的范围关于a，b构成的平面区域如图所示，根据图象可以得到的取值范围是.