全等三角形证明经典50题(含答案)

1.已知：AB=4 AC=2 D是 BC中点，111749ADM整数，求 AD角军：延长AD至U E,使AD=DE. D是BC中点BD=DC在ACDR! ABDEAD=DE/ BDEW ADCBD=DC.ACD2 ABDE.AC=BE=2在 AABE 中AB-BE< AE< AB+BEAB=4即 4-2 < 2AD< 4+21<AD<3AD=22.已知：D是AB中点，/ ACB=90 ,求证：cd工AB2CB延长CDW P,使D为CP中点。连接AP,BP.DP=DC,DA=DB.ACB明平行四边形又 / ACB=90平行四边形ACBF%矩形.AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE/B=/ E, /C=/ D, F 是 CD中点，求证：/ 1=/ 24.; BC=ED,CF=DF, BCFh EDF三角形BCF全等于三角形EDFM角边）.BF=EF,/ CBFh DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/ABCW AED/ABEh AEB.AB=AE在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,/ ABF之 ABE吆 EBF之 AEB吆 BEF士 AEF三角形ABF和三角形AEF全等。/BAF之 EAF(/ 1 = /2)。6.已知：/ 1 = /2, CD=DEEF/AB,求证：EF=AC过C作CG / EF交AD的延长线于点 GCG/EF,可得，/ EFD=CGDDE= DC/ FDE=Z GDC (对顶角) . EFDACGDEF= CG/ CGD=Z EFD又，EF/ AB, / EFD=Z 1/ 1= / 2 ./ CGD= / 2. AGC为等腰三角形，AC= CG又 EF= CGEF= AC7.已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD求证：/ B=2/ C证明：延长AB取点E,使AE> AQ连接DE. ADO / BAC/ EA氏 / CAD A& AC AD= AD.AE乎 AACD (SA$S./E= /C/AC= AB+BD.AE= AB+BD.AE= AB+BE.BD= BE./ BDE= / E. /ABC= /E+/ BDE./ABC= 2/E./ABC= 2/C8.已知：AC平分/BAD CE!AB, /B+/D=180 ,求证：AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF= EB,连接CFVCE! AB./ CEB= / CEF= 90. EB= EF, CE= CE.CEB ACEF./B= /CFE/B+ /D= 180 , / CF曰 /CFA= 180./D= /CFA. AC平分 / BAD. / DAC= / FAC/AC=AC.ADC2 A AFC (SAS.AD= AFAE= AF+ FE= AD+ BE9.已知：AB=4 AC=2 D是BC中点，AD是整数，求 AD解：延长 AD至1J E,使AD=DED是BC中点BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DEZ BDE= ZADCBD=DCACDABDEAC=BE=2在 ABE 中AB-BE <AE<AB+BE.AB=4IP4-2 <2AD< 4+21 < AD < 3AD=210. 已知:D是 AB中点，Z ACB=90 ,求证：CD -AB解：延长 AD至1J E,使AD=DED是BC中点BD=DC在 ACD和 BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DCACDABDEAC=BE=2在 ABE 中AB-BE VAE VAB+BE.AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3AD=211. 已知：BC=DE/B=/ E, /C=/ D, F 是 CD 中点，求证：/ 1 = /2; BC=ED,CF=DF, BCF之 EDE三角形BCF全等于三角形EDFM角边）.BF=EF,/ CBFh DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF。 / EBF之 BEE/ABEh AEB.AB=AE在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,/ ABF之 ABE吆 EBF之 AEB吆 BEF之 AEE三角形ABF和三角形AEF全等。/BAF之 EAF(/ 1 = /2)。12. 已知：/ 1=/ 2, CD=DEEF/AB,求证：EF=AC过C作CG / EF交AD的延长线于点 GCG/EF,可得，/ EFD=CGDDE= DC/ FDE=Z GDC (对顶角) . EFDACGDEF= CG/ CGD=Z EFD又 EF/ AB ./ EFD=Z 1/ 1= / 2 ./ CGD= / 2. AGC为等腰三角形，AC= CG又 EF= CGEF= AC13. 已知：AD平分/ BAC AC=AB+RD求证：/ B=2/ CD证明：延长AB取点E,使AE> AQ连接DE. ADO / BAC/ EA氏 / CAD A& AC AD= AD.AE乎 AACD (SA$S./E= /C/AC= AB+BD.AE= AB+BD.AE= AB+BE.BD= BE./ BDE= / E. /ABC= /E+/ BDE./ABC= 2/E./ABC= 2/C14.AE=AD+BE在AE上取F,使EF= EB,连接CFVCE! AB./ CEB= / CEF= 90. EB= EF, CE= CE.CE唉 ACEF./B= Z CFE/B+ /D= 180 , / CF耳 C CFA 180./D= /CFA. AC平分 / BAD/ DAC= / FAC又AOAC.ADC2 A AFC (SAS.AD= AFAE= AF+ FE= AD+ BE12.如图，四边形ABC师，AB/ DC BE CE分另fj平分/ ABC / BCD且点E在AD上求证：BC=AB+DC在BC上截取BF=AB连接EF. BE平分/ ABC / ABEh FBE又 BE=BE /ABm/FBE (SAS / A=/ BFEVABZ/CDA+/ D=180o/ BFE吆 CFE=180o / D=/ CFE又/ DCE= FCEC评分/ BCDCE=CE /DC 国 /FCE (AAS. CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：ABED, / EAB之 BDE AF=CQ EF=BC 求证：/ F=/ CAB|I ER 得：/ EAB吆 AEDhBDE廿 ABD=18Qt,/ EABh BDE/AEDW ABD四边形ABD要平行四边形。得：AE=BDAF=CD,EF=BC三角形AEF全等于三角形DBC. / F=/ Co14. 已知：AB=CD/A=/D,求证：/ B=/C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当AD<BC寸，E点是射线BA,CD的交点,当AD>B。寸，E点是射线AB,DC的交点）。则：AEDM等腰三角形AE=DE而 AB=CD.BE=CE等量加等量，或等量减等量）.BE奥等腰三角形./ B=/ C.15.PC-PB<AC-ABP是/ BA评分线AD上一点，AC>AB求证:在AC上取点E,16.使 AE = AB。 AE =ABAP = AP/ EAP = / BAE , . EAP BAPPE= PBoPC v EC + PEPC v ( AC AE) + PB .PCPB VAC AB。已知/ABC=* C, /1 = /2, BE!AE 求证:证明：在AC上取一点D,使得角DBC二角C. / ABC=3 ZC/ ABD= / ABC- / DBC=3 / C- / C=2 / C; / ADB= / C+ / DBC=2 / C;AB=ADAC-AB=2BEAC AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分线， AE 垂直 BDBE ±AE，点E 一定在直线BD上，在等腰三角形 ABD中，AB=AD , AE垂直BD.点E也是BD的中点.BD=2BE BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17. 已知，E是 AB中点，AF=BD BD=5 AC=7 求 DC.作AG/ BD交DE延长线于G.AGE全等 BDEAG=BD=5 . AGFsCDFAF=AG=5DC=CF=2解：延长AD至BC于点E, BD=DC BDC是等腰三角形18.如图，在 ABB, BRDC /1=/ 2,求证：ADL BC/ DBC= / DCB又/ 1=Z2-.Z DBC+ Z1=Z DCB+ Z 2即/ ABC= ZACB. .ABC是等腰三角形AB=AC在 ABD和 ACD中AB=ACZ 1=Z2BD=DCABD和AACD是全等三角形（边角边）/ BAD= / CAD. AE是4ABC的中垂线. . AE ±BCAD ±BC19.如图，OIW分/ POQ MALOPMBLOQ A、B为垂足，AB交 O时点 N.求证：/ OAB/ OBA证明： OMP分 / POQ / POMk / QOM MAI。只 MBL OQ / MA® / MBO= 90.O阵 OM.AO 阵 ABOIM （AA$S.OA= OB. ON ON.AON2 ABOIN （SAS. / OAB= OBA / ONA= ONB./ ONA+ ONB= 180./ ONA= / ONB= 90OML AB20. （5分）如图，已知AD/BQ /PAB勺平分线与/ CBA勺平分线相交于E, CE的连线交AP于D,求证：AD+BCAB做BE的延长线，与AP相交于F点，: PA/BC/PAB吆 CBA=180 ,又，AE, BE均为 / PA评口 / CBA勺角平分线 / EAB吆 EBA=90/ AEB=90 , EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE± BF,且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，/EBCW DFE且 BE=EF / DEFh CEB三角形DEF与三角形BE8全等三角形，. DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21.如图，AB。, AD是/CAB勺平分线，且 ABAGCD求证：/ O2/B延长AM E使 AE=ACS接 EDAB=AC+CD. CD=CE可得/ B=/ E CD出等腰/ ACB=2 B22. (6分)如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DHAC于E, BF,AC于F,若 AB=CD AF=CE BD交 AC于点 M(1)求证：MBMD M叵MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由. (1)连接 BE, DF .DE ±AC 于 E, BF ±AC 于 F,/ DEC= / BFA=90 ° , DE / BF ,在 RtADEC 和 RtABFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADEC RtABFA (HL),DE=BF .四边形BEDF是平行四边形. MB=MD , ME=MF ;(2)连接 BE, DF .DE ±AC 于 E, BF ±AC 于 F,/ DEC= / BFA=90 ° , DE / BF ,在 RtADEC 和 RtABFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADEC RtABFA (HL),DE=BF .四边形BEDF是平行四边形.MB=MDME=MF23.已知：如图，DC AB且DBAE E为AB的中点,(1)求证：zAE医AEBC(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC7卜，请再写出两个与 AED勺(直接写出结果，不要求证明)证明：. DC/ AB./ CDa / AED/DE> DE, DG= AE.AE乎 A EDC.E为AB中点.AE= BE.BE= DC. DC/ AB./ DCa / BEC/CE= CE.EB竽 A EDC24. （7 分）如图， ABCK /BAC90度，AB=AC BD>/ ABC勺平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CEx BA的延长线于F.求证:BD=2CE证明： / CEBh CAB=90.ABC曲点共元/ ABEh CBEAE=CE / ECAW EAC取线段BD的中点G,连接AG贝U: AG=BG=DG./GAB= ABG而：/ ECAhGBA向弧上的圆周角相等） / ECAN EACW GBAM GAB而：AC=AB.AEC AAGB. EC=BG=DG.BE=2CE25、如图：DF=CE AD=BC / D=/ C 求证： AE乎 BFG证明： DF=CE ,DF-EF=CE-EF ,即 DE=CF在4AED和4BFC中， AD=BC , Z D= Z C, DE=CFAED BFC （SAS）26、（10 分）如图：AE BC交于点 M, F点在 AMLh, BE/ CF, BE=CF求证：AM是 ABC的中线。证明：VBE|I CF / E=/ CFM / EBM= FCM; BE=CF.BEM2 A CFMBM=CM.AM> ABC勺中线.27、（10分）如图：在 ABC, BA=BC D是AC的中点。求证：BDL AG ABDffi BCD勺三条边都相等.ABDW BCD / ADBW CD / ADBh CDB=90.BD! AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CFft AABDW aacdAB=ACBD=DCAD=AD/ADBW ADC / BDFh FDC在 BDF与AFDCBD=DC/ BDFh FDCDF=DF.FBD AFCDBF=FC29、（12 分）如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DEAB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB.ABEW CDF/ DCB= ABFAB=DCBF=CE ABF在 CDEAF=DE30.公园里有一条“ Z"字形道路ABCD如图所示，其中AB/ CD在AB CD BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M且B& CF, M在BC的中点，试说明三只石凳E, F,M恰好在一条直线上.证明：连接EF. AB/ CDB=/C是BC中点.BM=CM在B EM4CFM中ABm A CDF求证：AE= ARBE=CFZB=ZCBM=CM .BE阵ACFM( SAS，CF=BE31.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF= CE BE/ DF, BE> DF.求证,.AF=CE,FE=EF.AE=CF. DF/BE,丁./ AEB= / CFD (两直线平行，内错角相等) BE=DF .: AABEEACDI3(sas)32.已知：如图所示，AB= AQ BC= DC E、F分别是DG BC的中点,连接BD; AB=ADBC=D/ ADB= / ABD / CDB= / ABD;两角相加， / ADC= / ABC ;BC=DCEF 是中点DE=BF ;.AB=ADDE=BF/ ADC= / ABCAE=AF。求证：/5=/6.33.如图，在四边形ABC叶，E是AC上的一点，/1=/2, /3=/4,证明： AC=AC / BACW DAC / BCAh DCA AD（C ABC（两角加一边）v AB=AD BC=CD在 ADECW BEC/ BCAN DCA CE=CE BC=CD DEC BEC（两边夹一角） / DECN BEC34.已知AB/DE BC/EE D, C在AF上，且AD= CF 求证：AABC2ADEF AD=DF.AC=DF AB/ DEA= Z EDF又 BC/ EF/ F= / BCAABCA DEF （ASA）35.已知：如图，AB=AC BDAC CEAB垂足分别为 D E, BD CE相交于点F,求证：BE=CD证明：VBD! AC./BDC=90VCE! AB./BEC=90. /BDC= BEC=90AB=ACDCBn ebc. bc=bc RtABDC RtABEC (AAS). be=cd36、如图，在ABB, AD为/BAC勺平分线，DEL AB于E, D吐AC于F。求证：DE=DE.ad是/ bac的平分线 / eadw fad /DEIAB, PF，AC / BFDh CFD=90 /AEDW/ AFD=90在 aaedW aafd 中/ eadw fadad=ad/aedw afd .AE乎A AFD (AASAE=AF在AEOW AAFO/ EAON FAOAO=AOAE=AF .AE叵 AAFO (SAS/ AOEM AOF=90AEU EF37.已知：如图，AC BC于 C, DE AC于 Ei AD AB于 A B0AE 若 AB=5,求 AD的长?. AD ±AB/ BAC= / ADE又 ACXBC 于 C, DEXAC 于 E根据三角形角度之和等于 180度/ ABC= / DAE BC=AE , ABC DAE (ASA)AD=AB=538.如图：AB=AC MEL AB, MFL AQ 垂足分别为 E、F, ME=M F 求证：MB=MC证明：AB=AC / B=/ C. MELAB, MFLAC. / BEM= CFM=90在 BMEF口 ACMF./ B=/C/BEM=CFM=90 ME=MF.BM 白CMF(AAS39 .如图，给出五个等量关系：AD BCAC BDCE DE D C DAB CBA ,请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况)，并加以证明.已知： AD=BC / DABW CBA求证： DA望ACBA证明： AD=BC / DABW CBA又AB=AB. .DA军 ACBA40 .在ABCK ACB 90 , AC BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD MN 于 D , BE MNDE AD BE ；(2)当直线MN绕点C旋 立吗？若成立，请给出证(1). /ADCN ACBh/CAD+ ACD=90 , /于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC二CEB ；转到图2的位置时，(1)中的结论还成明；若不成立，说明理由.BEC=90 ,BCE廿 CBE=90 , /ACD廿 BCE=90 . / CADE BCE.AC=BC.ADC A CEB ADC A CEB.CE=AD CD=BEDE=CE+CD=AD+BE /ADCM CEBW ACB=90 ,. / ACD= CBE又. AC=BC.CE=AD CD=BEDE=CE CD=AB BE41.如图所示，已知 AE!AR AF，AC AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC±BF(1)AUAR AFLAC / BAEh CAF=90 , / BAE吆 BACW CAF吆 BAC即 / EACW BA5在 ABF和AAEC中，AE=AB / EACW BA5 AF=AC.AB已 AAEC (SAS,.EC=BF(2)如图，根据(1), AABfAAEC/AECW AB5 AE! AR. / BAE=90 ,/AEC廿 ADE=90 ,/ADEW BDM(对顶角相等)， / ABF吆 BDM=90 ,在BDMfr, /BMD=180 -ZABF-Z BDM=180 -90 =90 ,.Ed BF.42.如图：BE1 AQ CF± AB, BM=A £CN=AB 求证：(1) AM=A N (2) AML AZ证明：(1). BE1AQ CF± AB / ABM+ BAC=90 , / ACN廿 BAC=90./ABM=ACN; BM=AC CN=AB.ABM2 ANACAM=AN(2).ABM2 ANAC/ BAM= N/ N+/ BAN=90 / BAM+ BAN=90即/ MAN=90AML AN43.如图，已知/ A=/ D,AB=DE,AF=CD,BC=E求证:BC/ EF在 ABF和ACD即,AB=DE/ A=/ DAF=CD.AB曰zCDE(边角边)FB=CE在四边形BCE叶FB=CEBC=EF四边形BCE匿平行四边形BCll EF44.如图，已知 AC/ BD, EA EB分另U平分/ CABffi/ DBA CDfct点 E,贝U AB与 AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN=AC/ CAEW EAN.AE为公共，.CA自 AEAN/ANEW ACE又. AC平行BD/ ACE廿 BDE=180而/ ANE廿 ENB=180/ ENBW BDE/NBEW EBN BE为公共边.EB* AEBDBD=BN.AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图，已知:AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE/CF.证明：=AD是4ABC的中线BD=CD.DF=DE（已知）/ BDEW FDC.BD且 AFDC贝U/ EBDW FCDBE/ CF （内错角相等，两直线平行）。46、（10 分）已知：如图，AB= CD DEL AC BF，AC E, F 是垂足，de求证：AB / CD .证明：. DJAQ BF，AC/ CEDE AFB=90o又AB=CD BF=DE.Rt/ABM Rt/CDE (HL)AF=CE/ BAF之 DCE.AB/CD47、(10 分)如图，已知/ 1 = /2, /3=/4,求证：AB=CD, /3=/ 4. OB=OC在 AAO丽DOB/ 1=/ 2OB=OC/AOB= DOC AOB A DOC. AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DBAC=DB,Z3=Z4BC=CB ACB ADBCAB=CD48、(10分)如图，已知 ACL AB, DB± AB, AC= BE, AE> BQ试猜想线段 CE与DE的CE>DE当DAEB越小,则 DE越小。大小与位置关系，并证明你的结论.过D作AE平行线与AC交于F,连接FB证明:由已知条件知AFD四平行四边形，ABE矩形，且 DF昉等腰三角形。RTA BAE中，/AE昉锐角，即/ AEB<90: DF/AE/. Z FDBh AEB<90 DFB中 / DFBh DBF=(180 - / FDB)/2>45RTA AFB中，/ FBA=90 - / DBF<45/AFB=90 -/FBA>45AB>AFAB=CEAF=DE.CE>DE49、（10 分）如图，已知 AB= DC AG= DR BE>CE 求证：A& DE.AB=DC,AC=DBBC=BC.AB8 ADCB / ABCW DCB又 BE=CE AB=DC.ABm ADCEAE=DE50.如图9所示，zABCM等腰直角三角形，/ ACB= 90° , AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC= / BDE图9作 CG± AB,交 AD 于 H,贝U/ ACH=45o, Z BCH=45o / CAH=90o- / CDA, / BCE=90o- / CDA，/ CAH= / BCE又 AC=CB, / ACH= / B=45oACHA CBE,.1. CH=BE又. / DCH= Z B=45o,CD=DBCFDA BED/ ADC= / BDE