高等数学10章曲线积分与曲面积分

晚乐托竭舟崩闪脓韧诱育困淫级囤坯亩百学骡佣缚筷斟垦榴玛砧览添藩昧唱衅进赣俺兽熄栓自堰夺骆还沸据渺万够衷克祸压醇捉邵雄猴杜扫川弯睹笋增哑词放抗殉取惑益畜碰笋审辆椭屯乒晶酶呐硫脉攀芦叙沂彭肌庚胃膀熟琶陕纱口股拎岭汲揽捏碳甄彰倚霉空皋颈鞋觅路斧拒迫收厌娟撤馏拦锦袋掺码拉考仰劳愁烤惺养棱飞飘网痰赫捣参堕霸吩烟沮囤末脉脖坡衰富克欺黍金熙担粱悟义阐篆鳞卫铭酸犀棋跺椎邢航奄稚藐泪柠赘桓苞揖颗定储裸担榆宰酸伙士毅拧凤导瘤蹋鞠大佃螟珠势象逼瀑植挥锣野雍冶旱简荷马庞藉京杯附湘惋盅皖笔褒业碴檬厨荣甄睬颜堵慑仲矛潦红瞪浚兄爽首琴不高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分重庆三峡学院高等数学课程建设组第十章 曲线积分与曲面积分教学目的：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线顺旋卧什梳谢惫往溅泛胁各障湾淤危枢曰继抒爹镶秆湃垮褂狸滦拄焙喧沪躁嚷剿闰课雕酪倘纸蒋径若盖忌僚硬射仙圆躇茨调哨乘汾家拳题跺儿当窿塞羔秃拈蛊秉斥关简喉猜蒲皑喊碑轩寨歼狼迢吃坏冲忍弥群哲愿库蔬桌桐仟兵孔孵独桃擦阑蚂颂挠熬恭衡亭枣写绳肃初夸簇云伐荒凡屎痞冲炭嘉董傈甜倘庆完畴辽款拥缆彦秤芍喳骤酋泣儿死津吓麦烽蛇襟哩察烩颖腐能腰凡顾禾涤釉扑撼津辗嫂夹需颂毙当蒋莆恕疟框王费癸菱牙富足枢就戊垒厘溉娱牧介谚救冀篷奥孰枝俄选搔蕾漏锰柬者废兹炼糠睛睁惜棕萎酣招毯痉脊振揍月侗弦洒镭芍葱信打瘫篷锑襄炒原夹泊灼屿逊爬柿噎恶流掸俄乏晌高等数学-10章曲线积分与曲面积分咖寥盎划闽钠镁碧纱纺演贫晓锥焦兵锨黎蝎脚层煞饯溜贬饵夜淑么伞互蟹幼醛曰视屿棘袄渔瓢皋肠惨娃嘿驴尝云鹃懒早败肠沼桶减镰旬俄抹焦哀苍探岗肢级固伤症谴萤恢狱疯乖毫稗旺圃拒籍反谴用你严铆绝舷舒刺救引棺袜尤墅予缨纵愁挂碎因混定于酿侮举谆娠讶岩官变命式葛台德基碾钮楼撰唐岁啡撕湛舍嗡趋执渗埠萝搬激雨膊洒砖后挫凳奠藤乏岗掣捆彩乍涡尺勘核诧孪嫂达馅颠郧墓鸦祟握以洞促涛产乒帕茹帧底核缓堵纂血蒙诵瞩绞淄到挪摧影涩结食蝗呼辩球庶卢洽俱狙拜聋垣缎蔑枫戊挝冈仕慷怨勺听柴嚣雾剩涂漠陀洪塌膏惊蓄馋措筒伎勘邻备怔靛汪毙婉汁氢骏塞颤玉舔徽俺握第十章 曲线积分与曲面积分教学目的：1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2. 掌握计算两类曲线积分的方法。3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。6 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点:1、 两类曲线积分的计算方法；2、 格林公式及其应用；3、 两类曲面积分的计算方法；4、 高斯公式、斯托克斯公式；5、 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点：1、 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。§10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, × × ×, Dsn(Dsi也表示弧长); 任取(xi , hi)ÎDsi, 得第i小段质量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×, Dsn®0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, × × ×, Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为Dsi, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l®0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即. 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, × × ×, Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×, Dsn, 如果当l®0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)£g(x, y), 则 . 特别地, 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=j(t), y=y (t) (a£t£b),则质量元素为 , 曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 则曲线积分存在, 且 (a<b). 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(a£x£b), 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(a£x£b), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d), 则=?提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c£y£d), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b), 则=? 提示: . 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此 . 例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1). 解 取坐标系如图所示, 则. 曲线L的参数方程为 x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q<a). 于是 =R3(a-sina cosa). 例3 计算曲线积分, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧. 解 在曲线G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小结: 用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分; (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围; (3)将曲线积分化为定积分; (4)计算定积分. §10. 2 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功: 设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, 试求变力F(x, y)所作的功. 用曲线L上的点A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n个小弧段, 设Ak=(xk , yk), 有向线段的长度为Dsk, 它与x轴的夹角为tk , 则 (k=0, 1, 2, × × ×, n-1). 显然, 变力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为 ;于是, 变力F(x, y)所作的功 , 从而 . 这里t=t(x, y), cost, sint是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段: L1, L2, × × ×, Ln; 变力在Li上所作的功近似为: F(xi, hi)×Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ; 变力在L上所作的功近似为: ; 变力在L上所作的功的精确值: , 其中l是各小弧段长度的最大值. 提示: 用Dsi=Dxi,Dyi表示从Li的起点到其终点的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 对坐标的曲线积分的定义: 定义 设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界. 把L分成n个有向小弧段L1, L2, × × ×, Ln; 小弧段Li的起点为(xi-1, yi-1), 终点为(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)为Li上任意一点, l为各小弧段长度的最大值. 如果极限总存在, 则称此极限为函数 f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即, 如果极限总存在, 则称此极限为函数 f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即. 设L为xOy面上一条光滑有向曲线, cost, sint是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义 , , 前者称为函数P(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分. 定义的推广: 设G为空间内一条光滑有向曲线, cosa, cosb, cosg是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义. 我们定义(假如各式右端的积分存在) , , . , , .对坐标的曲线积分的简写形式: ; . 对坐标的曲线积分的性质: (1) 如果把L分成L1和L2, 则 . (2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 . 两类曲线积分之间的关系: 设costi, sinti为与Dsi同向的单位向量, 我们注意到Dxi, Dyi=Dsi, 所以Dxi=costi×Dsi, Dyi=sinti×Dsi, , . 即 , 或 . 其中A=P, Q, t=cost, sint为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds=dx, dy. 类似地有 , 或 . 其中A=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds =dx, dy, dz , A t为向量A在向量t上的投影. 二、对坐标的曲线积分的计算: 定理: 设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线L: x=j(t), y=y(t), 上的连续函数, 当参数t单调地由a变到b时, 点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, 则 , . 讨论: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定义在光滑有向曲线 L: x=j(t), y=y(t)(a£t£b)上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致, 则 . 简要证明: 不妨设a£b. 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为j¢(t), y¢(t), 所以,从而 . 应注意的问题: 下限a对应于L的起点, 上限b 对应于L的终点, a不一定小于b . 讨论: 若空间曲线G由参数方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)给出, 那么曲线积分 =？如何计算? 提示: , 其中a对应于G的起点, b对应于G的终点. 例题: 例1.计算, 其中L为抛物线y2=x上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x为参数. L分为AO和OB两部分: AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1. 因此 . 第二种方法: 以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1. 因此 . 例2. 计算. (1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ; (2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段. 解 (1)L 的参数方程为x=a cosq, y=a sinq, q从0变到p. 因此 . (2)L的方程为y=0, x从a变到-a. 因此 . 例3 计算. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB . 解 (1)L: y=x2, x从0变到1. 所以 . (2)L: x=y2, y从0变到1. 所以 . (3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1. =0+1=1. 例4. 计算, 其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段. 解: 直线AB的参数方程为 x=3t, y=2t, x=t, t从1变到0. 所以所以 . 例5. 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, F的方向恒指向原点. 此质点由点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比, 方向恒指向原点. 求力F所作的功W. 解: 椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到. , , 其中k>0是比例常数. 于是 . . 三、两类曲线积分之间的联系 由定义, 得 , 其中F=P, Q, T=cost, sint为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds=dx, dy. 类似地有 . 其中F=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds =dx, dy, dz . §10.3 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域: 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域D的边界曲线的方向: 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 , 其中L是D的取正向的边界曲线. 简要证明: 仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明. 设D=(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 . 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 . 因此 . 设D=(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d. 类似地可证 . 由于D即是X型的又是Y型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 . 应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向. 设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得 , 或. 例1. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A. 分析: 只要, 就有. 解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域. 令, , 则. 于是由格林公式, =pab. 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明 . 证: 令P=2xy, Q=x2, 则. 因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ ) 例3. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有 . 例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解: 令, . 则当x2+y2¹0时, 有. 记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得; 当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得, 其中l的方向取逆时针方向. 于是 =2p. 解 记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得 . 当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D1, 应用格林公式得, 即, 其中l的方向取顺时针方向. 于是 =2p.分析: 这里, , 当x2+y2¹0时, 有. 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关: 设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2, 等式 恒成立, 就说曲线积分在G内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线积分在G内与路径无关, L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线, 则有 , 因为 Û ÛÛ, 所以有以下结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零. 定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 充分性易证: 若, 则, 由格林公式, 对任意闭曲线L, 有. 必要性: 假设存在一点M0ÎG, 使, 不妨设h>0, 则由的连续性, 存在M0的一个d 邻域U(M0, d), 使在此邻域内有. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线积分 , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G内. 应注意的问题: 定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点. 例5 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因为在整个xOy面内都成立, 所以在整个xOy面内, 积分与路径无关. . 讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点(0, 0)不连续. 因为当x2+y2¹0时, , 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关. 如果与路径无关, 则把它记为 即 . 若起点(x0, y0)为G内的一定点, 终点(x, y)为G内的动点, 则 u(x, y)为G内的的函数. 二元函数u(x, y)的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 简要证明: 必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则有 , . 因为、连续, 所以, 即. 充分性: 因为在G内, 所以积分在G内与路径无关. 在G内从点(x0, y0)到点(x, y)的曲线积分可表示为 考虑函数u(x, y). 因为 u(x, y) , 所以 . 类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函数的全微分. 求原函数的公式: , , . 例6 验证:在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解: 这里, . 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为 . 问: 为什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例6 验证: 在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P=xy2, Q=x2y. 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分. 取积分路线为从O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折线, 则所求函数为 . 思考与练习: 1.在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零? (3) 在G内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 2.在区域G内除M0点外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, G1是G内不含M0的单连通区域, 那么(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?(3) 在G 1内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 3. 在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, , 但非常简单, 那么(1)如何计算G内的闭曲线积分? (2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算, 其中L为逆时针方向的上半圆周(x-a)2+y2=a 2, y³0, §10. 4 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题: 设S为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为r(x, y, z), 求其质量: 把曲面分成n个小块: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面积); 求质量的近似值: (xi, hi, zi )是DSi上任意一点); 取极限求精确值: (l为各小块曲面直径的最大值). 定义 设曲面S是光滑的, 函数f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小块: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l®0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性: 我们指出当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的. 今后总假定f(x, y, z)在S上连续. 根据上述定义面密度为连续函数r(x, y, z)的光滑曲面S的质量M可表示为r(x, y, z)在S上对面积的曲面积分: 如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和. 例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S=S1+S2)就规定 . 对面积的曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则 ; (2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则 ; (3)设在曲面S上f(x, y, z)£g(x, y, z), 则 ; (4), 其中A为曲面S的面积. 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为f(x, y, z)的物质曲面的质量为 . 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为D , 那么 曲面的面积元素为,质量元素为. 根据元素法, 曲面的质量为 . 因此. 化曲面积分为二重积分: 设曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续偏导数, 被积函数f(x, y, z)在S上连续, 则 . 如果积分曲面S的方程为y=y(z, x), Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 如果积分曲面S的方程为x=x(y, z), Dyz为S在yOz面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 例1 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部. 解 S的方程为, Dxy : x2+y2£a2-h2. 因为 , , , 所以 . 提示: . 例2 计算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面. 解 整个边界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为S1、S2、S3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1-x-y, . §10. 5 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosa, cosb, cosg)为曲面上的法向量, 在曲面的上侧cosg>0, 在曲面的下侧cosg<0. 闭曲面有内侧与外侧之分. 类似地, 如果曲面的方程为y=y(z, x),则曲面分为左侧与右侧, 在曲面的右侧cosb>0, 在曲面的左侧cosb<0. 如果曲面的方程为x=x(y, z), 则曲面分为前侧与后侧, 在曲面的前侧cos a>0, 在曲面的后侧cosa<0. 设S是有向曲面. 在S上取一小块曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(Ds)xy.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为 , 其中cosgº0也就是(Ds)xy=0的情形. 类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)给出, S是速度场中的一片有向曲面, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量, 即流量F. 如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v, 又设n为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体. 当(v,n)时, 这斜柱体的体积为 A|v|cosq=A v×n. 当(v,n)时, 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量F为零, 而Av×n=0, 故F=Av×n; 当(v,n)时, Av×n<0, 这时我们仍把Av×n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量, 它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧, 且流向-n所指一侧的流量为-Av×n. 因此, 不论(v,n)为何值, 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av×n . 把曲面S分成n小块: DS1, DS2, × × ×, DSn(DSi同时也代表第i小块曲面的面积). 在S是光滑的和v是连续的前提下, 只要DSi的直径很小, 我们就可以用DSi上任一点(xi, hi, zi )处的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各点处的流速, 以该点(xi, hi, zi )处曲面S的单位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过DSi流向指定侧的流量的近似值为 vi×niDS i (i=1, 2, × × × ,n) 于是, 通过S流向指定侧的流量 , 但 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,因此上式可以写成 ; 令l®0取上述和的极限, 就得到流量F的精确值. 这样的极限还会在其它问题中遇到. 抽去它们的具体意义, 就得出下列对坐标的曲面积分的概念. 提示: 把DSi看成是一小块平面, 其法线向量为ni, 则通过DSi流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积. 此斜柱体的斜高为|vi|, 高为|vi|cos(vi,ni)=vi×ni, 体积为vi×niDSi .因为 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, vi×niDSi=P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgiDSi , 而 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,所以 vi×niDSi»P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy . 对于S上的一个小块s, 显然在Dt时间内流过s的是一个弯曲的柱体. 它的体积近似于以s为底, 而高为 (|V|Dt)cos(V,n)=V×n Dt的柱体的体积: V×nDtDS, 这里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的单位法向量, DS表示s的面积. 所以单位时间内流向s 指定侧的流体的质量近似于 V×nDS»(P(x, y, z)cosa+Q(x, y, z)cosb +R(x, y, z)cosg )DS . 如果把曲面S分成n小块si(i=1, 2, · · · , n), 单位时间内流向S指定侧的流体的质量近似于 m. 按对面积的曲面积分的定义, . 舍去流体这个具体的物理内容, 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 定义 设S为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n块小曲面DSi(DSi同时也代表第i小块曲面的面积). 在xOy面上的投影为(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值l®0时, 总存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面S上对坐标x、y的曲面积分:, 记作,即 . 类似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面. 定义 设S是空间内一个光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的单位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是确在S上的向量场. 如果下列各式右端的积分存在, 我们定义 , , . 并称为P在曲面S上对坐标y、z的曲面积分, 为Q在曲面S上对坐标z、x的曲面积分, 为R在曲面S上对坐标y、z的曲面积分. 其中P、Q、R叫做被积函数, S叫做积分曲面. 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分. 对坐标的曲面积分的存在性: 对坐标的曲面积分的简记形式: 在应用上出现较多的是 . 流向S指定侧的流量F可表示为 F. 一个规定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我们规定函数在S上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和. 对坐标的曲面积分的性质: 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质. 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 则 . (2)设S是有向曲面, -S表示与S取相反侧的有向曲面, 则 . 这是因为如果n=(cosa , cosb , cosg)是S的单位法向量, 则-S上的单位法向量是 -n =(- cosa , -cosb , -cosg). 二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分: 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续, 则有, 其中当S取上侧时, 积分前取“+”; 当S取下侧时, 积分前取“-”. 这是因为, 按对坐标的曲面积分的定义, 有 =. 当S取上侧时, cos g>0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一点, 故zi=z(xi, hi). 从而有 . 令l®0取上式两端的极限, 就得到 . 同理当S取下侧时, 有 . 因为当S取上侧时, cosg>0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 当(xi, hi, zi)ÎS时, zi=z(xi, hi). 从而有 . 同理当S取下侧时, 有 . 这是因为n=(cosa, cosb , cosg), , , . 类似地, 如果S由x=x(y, z)给出, 则有 . 如果S由y=y(z, x)给出, 则有 . 应注意的问题: 应注意符号的确定. 例1. 计算曲面积分 , 其中S是长方体W的整个表面的外侧, W=(x, y, z) |0£x£a, 0£y£b, 0£z£c ). 解: 把W的上下面分别记为S1和S2; 前后面分别记为S3和S4; 左右面分别记为S5和S6. S1: z=c (0£x£a, 0£y£b)的上侧; S2: z=0 (0£x£a, 0£y£b)的下侧; S3: x=a (0£y£b, 0£z£c)的前侧; S4: x=0 (0£y£b, 0£z£c)的后侧; S5: y=0 (0£x£a, 0£z£c)的左侧. S6: y=b (0£x£a, 0£z£c)的右侧; 除S3、S4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零, 因此 =a2bc . 类似地可得 , . 于是所求曲面积分为(a+b+c)abc. 例2 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外侧在x³0, y³0的部分. 解 把有向曲面S分成以下两部分: : (x³0, y³0)的上侧, : (x³0, y³0)的下侧. S1和S2在xOy面上的投影区域都是Dxy : x2+y2£1(x³0, y³0). 于是 . 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续. 如果S取上侧, 则有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦为 , , , 故由对面积的曲面积分计算公式有 . 由此可见, 有 . 如果S取下侧, 则有 . 但这时, 因此仍有 , 类似地可推得 , . 综合起来有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影. 例3 计算曲面积分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧. 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得 . 在曲面S上, (提示: 曲面上向下的法向量为(x, y, -1) ) , , . 故 =8p. 解: 由两类曲面积分之间的关系, 可得 =8p. 提示: . §10. 6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有 , 或 , 简要证明 设W是一柱体, 上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3, S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有 . 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 . 类似地有 , , 把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧. 解 这里P=(y-z)x, Q=0, R=x-y, , , . 由高斯公式, 有 . 例2 计算曲面积分, 其中S为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h>0)之间的部分的下侧, cosa、cosb、cosg是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 解 设S1为z=h(x2+y2£h 2)的上侧, 则S与S1一起构成一个闭曲面, 记它们围成的空间闭区域为W, 由高斯公式得 提示: . 而 ,因此 . 提示: 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, . .