实数、整数知识点

、知识要点概述.正整数、 整数.实数有理数 负密攵有限小数或循环小数i /正货数分数“ A ,3 负分数L-无哪黑无隈不耐小数2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系.里3、有理数都可以表示为 界的形式（p、q为整数且p、q互质）；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数.4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0;开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺 序进行.5、实数的大小比较有三种方法：数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数.差值比较法：对于实数 a, b,当ab>0时a>b；当ab=0时，a=b；当abv0时avb.a ,a ,a t> 1 < 1= 1商值比较法：对于两个正数a, b,当3 时a>b；当台 时avb；当力 时，a=b.6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字.7、科学记数法：把一个数记成 axi0n的形式，叫做科学记数法，其中14|a| <10, n为整数，科学记数法表示的数的有效数字以a的有效数字计算.8、非负数：正数和零统称为非负数，象 |a| , a2,而.妾口）形式的数都是表示非负数.9、非负数的性质：最小的非负数是零；若n个非负数的和为零，则每个非负数都为零.二、典例剖析例1、实数a, b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 田+.Y例3、（1）如果1""*卬一昨7一，求2x-y + z的值.(2)若 |x + 2y+3| +x2 + y2=2xy,求 xy 的值.y=3 了= 22=3解；原等式魅为|y 7 |十I"-4|十后1 = 0y-3= 0由非负数的质得2月4 0J - 3 = 0:.2z-金=2x2-3-3 = 4(2源等式化为:|工+2T+乳45了¥=0由非负数的性质可得卜十功C h-y-o.承(-1尸-i例4、填空题：(1)近似数X 107精确到 位，有 个有效数字.(2)将908070万保留两个有效数字，用科学记数法表示为 .(3)光的速度约为3X105千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5X102秒，则地球与太阳的距离是千米.解：(1)十万，3(2)X 109(3)3 X 105X 5X 102=X 108千米,1 乖、A 忑、11 9后门(一十4- ( jo 2 1= 口例5、已知a、b是有理数，且324 1242。 ，求a、b的值.晶 把已如等式整理得；2十 3一二二二4 解得-1= 0L2 1220-3一导员。5 = 4，5例6、函数y=|x +1| +|x +2| +|x +3| ,当x取何值时，y有最小值且最小值是多少当 x>1 时，y=x + 1 + x + 2+x + 3=3x+6>3;当一24xv 1 时，y=x 1 + x+2 + x + 3=x + 4>2;当一3<xv 2 时，y=x 1 x2 + x + 3= x,此时无最小值；当 x v 3 时，y= x 1 x 2x 3=- 3x 6,止匕时无最小值.所以当x= 2时，y的值最小，最小值是2.1、代数式的分类代数式有理式整式单项式多项式【分式无理式2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.合并同类项时，只把同类项系数相 加，字母和字母的指数不变.3、整式的运算(1)整式的加减一一先去括号或添括号，再合并同类项.(2)整式的乘除a.嘉的运算性质am an=am+ n(aw0, m n 为整数)(am) n=amn(a w0,3 n 为整数)(ab) n=anbn(n 为整数，aw0, bw0)b.零指数嘉与负整数指数事厘寸=工=(L)p S . o,广为遴数) ap a(3)乘法公式a.平方差公式(a +b)(a b)=a2 b2 b .完全平方公式：(a ± b) 2=a2± 2ab+ b2c.立方公式4、基本规律(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类.如逐整式但其是分式不蕤分里式(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则(字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关.)(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似.5、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解.6、因式分解的基本方法：提取公因式法；公式法；分组分解法；(捆绑加分法)十字相乘法. 例1、填空题1工也Ty(1)如果单项式3与2x3ya+b是同类项，那么这两个单项式的积是 .(2)m , n 满足 |m 2| + (n4)2=0.分解因式：(x2+y2) (mxy + n).解：(1就同类项的定湖故这两个单项式分别是;42与一 2它们跑只是- |十，(2)由非负数的性质得F 一 Z ”Hn A - 0 为=4所以原式=" 4-落-2型+4)=(x2出-4= (x-y)2 -A-Qx-y¥2)-y-2)例 2、若 3x3-x=1 ,求 9x4+ 12x3-3x2-7x + 2008 的值.解：由 3x3 x=1 得 3x3 x 1=0所以 9x4+ 12x3 3x2 7x+2008=3x(3x3-x- 1) +4(3x3-x-1) +2012=2012Zfl3 +例3、已知多项式2x2 + 3xy 2y2x+ 8y 6可分解为(x + 2y+m)(2x y+n)的形式，求 #7 的值.(x + 2y + m)(2x y + n)=2x2+ 3xy 2y2 x + 8y 6又因为(x + 2y+ m)(2x y + n)=2x2+ 3xy 2y2+(2m+ n)x +(2n m)y+mn根据多项式恒等的条件，得：2战十理二11, 需 8 解得，I那用=一6闷3 17 -27 = 一 £尼7 匕2 005解；由已知得庐+ d例 5、已知 a、b、c,满足3,求(a b)2+ (b c) 2+ (ca)2 的最大值.3.一 g功。©二尸+ ©4=加"十 23"十 2cr2 - 2ab- 2 - 2ca-3(屋 + /-d) - Q* -匚？ + 2 提)+ 2fc + 2aa)=2005-(+2005二(口-犷+廷寸+匕-&尸的最大到2005.点评：适当娜，合理方是解决这些问题的关捷例6、若2x3kx2+3被2x+1除后余2,求k的值.解：二心必- 1tx2+3被2兀-除恃余总.29-H 41能被2工+ 1整除，令2兀+1=懵工=2把T -1代入Z/ -仃？ 4 1= 0唱24 4解得大=3.例 7、(1)a4+4;(2)x33x2+4;(3)x 2+xy-6y2+x + 13y-6;(4)(x+ y)(x + y + 2xy) + (xy + 1)(xy 1)解：(1)a 4 + 4=a4+4a2+44a2=(a2+2)2(2a) 2=(a2+2a+2)(a 2-2a + 2)=(x + 1)(x 2)2(3)设 x2+xy 6y2+x + 13y 6=(x +3y + m)(x 2y+n)=x2 2xy + nx + 3xy 6y2 + 3ny + mx- 2my+ my=x2+xy 6y2+ (n + m)x+ (3n 2m)y+ mnx?+ xy _ 6y2 + x + 13y _ 6=(x + 3y _ 2)(x _ 2y + 3).(4) 设 x + y=a, xy=b则原式=a(a +2b) +(b +1)(b 1)=a2+2ab+ b2- 1=(a + b)21=(a+ b + 1)(a +b1)=(x +y + xy+ 1)(x +y + xy1) =(x +1)(y +1)(x +y + xy1)