实数完备性基本定理之间的等价性

学号:20105031106学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 姓 名 陈方华 论文题目 实数完备性基本定理之间的等价性 指导教师 陶有德 职称 副教授 成 绩 2012 年 5 月18日目 录摘要2关键词2Abstract.2Key words.21. 引言22. 实数基本定理的陈述23. 定理1到定理6的循环证明34.举例分析5参考文献6实数完备性定理之间的等价性学生姓名:陈方华 学号:20105031106数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师:陶有德 职称:副教授 摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明 关键词:实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛Abstract:in this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.Key words:Real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence.1. 引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.2. 实数基本定理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限.定理3(区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点,使得.定理4(有限覆盖定理) 设是一个闭区间,为上的一个开覆盖,则在 中存在有限个开区间,它构成上的一个覆盖.定理5（聚点原理） 实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.定理6(柯西收敛准则) 数列收敛对任给的正数,总存在某一个自然数,使得时,都有. 3. 定理1到定理6的循环证明 (1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理) 证 不妨设为单增有上界数列,即,有. 记,则由确界原理知U有上确界,不妨记为,则 ,从而,使得成立.因为是单调递增数列,所以,有 .故 . (2) 定理2定理3(单调有界定理区间套定理)证 因为,所以有从而可见数列单增有上界,数列单减有下界故由单调有界定理可知使得,使得.且有有,所以,于是成立 .又因为,所以.记,从而存在性得证.(3) 定理3定理4(区间套定理有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖. 定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖. Step(1) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; ;Step(2) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则;Step(n) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则;由此可得一个区间套且满足利用二等分法容易构造出满足性质的区间套.故由区间套定理可知,存在唯一的,从而,有,这与具有性质矛盾.这就证明了有限复盖定理.(4) 定理4定理5(有限覆盖定理聚点原理)证(反证法) 假设原命题不成立,则由于是直线上的有界无限点集,即存在闭区间,使得, 所以只含中的有限多项.从而得的一个开覆盖记为.由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为.所以只含有中的有限多个点,这显然与是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.(5) 定理5定理6(聚点原理柯西收敛准则)证 不妨设是无穷基本列,即有,使得有.易证有界.由聚点原理可知至少有一个聚点必含有的无限多项.从而, 任取中满足的某项,即可得到 .故(6) 定理6定理1(柯西收敛准则确界原理)证 设是一个有上界非空数集,则使得有,取构造区间.定义性质,区间中至少有一个数属于,且区间的右端点为的一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质的区间套则由 时,有.由于单调递增,中的每一个元素都为的上界.故,则有.故由柯西收敛准则可知收敛,记其极限为.由(3.1) 易证.因此, 有 .由于都为的上界,所以也为的上界.从而可知, .即,故为的上确界.4.举例分析 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证:设为非空有上界数集,由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,故存在不是的上界,即存在 分别取,则对每一个正数n,存在相应的,使得为的上界,而不是的上界,故存在,使得 （6）又对正整数m,是的上界,故有,结合（6）式得;同理有,从而得于是,对任意的,存在,使得当时有由柯西收敛准则,数列收敛,记 （7）现证明就是的上确界,首先,对任何和正整数n有,由（7）式得,即的一个上界,其次.对任何,由及（7）式,对充分大的n同时有 .又因不是的一个上界,故存在,使得.结合上式得 .这说明为的上确界,同理可证:若为非空有下界数集,则必存在下确界.参考文献1 华东师范大学数学系.高等教育出版社, 数学分析教材第一册M.2 钱吉林 等主编 数学分析题解精粹M.3 张筑生.数学分析新讲M .北京:北京大学出版社,1990.4 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义M. 北京:高等教育出版社,1996.5华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.高等教育出版社,2001.6同济大学数学教研室编.高等数学M.2000.6