三次函数的图象及性质(教学案)

三次函数的图象及性质(教学案)【热身训练】1.作出下列函数的图象：(1) f(x) = x3;(2) g(x)=x3-3x；解析：作图图(1)图(2)2 .已知曲线f(x)=x3,则f(x)在点P(1,1)处的切线方程为;过点 R1,1) 的f(x)的切线方程为足题意，所以a的值等于3.4.若函数g(x)=x2解析：f' (x)=x2+ ax,根据题意ff (-3)=0,解得a=3,经检验满3x在开区间(a, 6a2)既有最大值又有最小值， 则实数 a的取值范围是.解析：由图(2)可知，函数且在工=1处取得极小值以1)=-2,在工二- 1处取得极大值就- 1) = 2,又因为 "-2W” -1 .函数在开区间岸)内既有最大值又有最小值，所以即a的取值重围是 - 2.”6 -乐W2 【热点追踪】三次函数与二次函数有着非常紧密的联系，在高考中同样占据着非常 重要的位置，在近几年的江苏高考中三次函数问题屡次作为压轴题型出现， 必须引起广大师生们的重视.熟悉三次函数的模型，掌握其图象及性质， 对于解决三次函数的极值最值问题、对称性问题和切线问题等都有着非常 重要的作用.(一)三次方程根的个数例1.(1)若；x3+；ax2+1 = 0只有一个实数根，求实数 a的取值范围. 32,一1 3 k+121一(2)已知函数 f(x)=§x2x, g(x) =3-kx,右函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点，求实数 k的取值范围.令抬尸)+扣之 * 1 ,则/(jc) = j = "xi(2xi a) (2 xi a)+axi a + ox.曲)二0有一个实数根咏0 = 0的MWQ或者加0J(暇)Xfn ,3是曲)的极值点).加)=0的4Wo=u = o ;Q0=0得勿=0 , jq二-域dC),用。於。=-；4+9+ 1乂，即/三-1 3所以a>且好0一综上所述,a的取值范围是心”i(2)解析工人力与用力的图象有三个不同的交点白巩力=欧力有三个根.1(1+1)I令舱)-加)-如)- x5 - xi 4版-1,贝！)力口)二城-(*+ l)x + *=Q - A)(x - I),根也意得种1且HD K局迎，化僭可得-1舲/ g炉-加.即- 1)( - 2A - 2)<0 .于是-2A-2X).解得Q1+锚域赳I -锚,即实数上的取值范围是(-8，1 -F)U(1+由.+8).变式1若1x3x2+axa=0只有一个实数根，求实数 a的取值范围. 3解析：令 f(x) =1x3-x2 + ax-a,贝U f' (x) =x2-2x + a. 3f(x) =0 有一个实数根？ f ' (x) =0 的 A<0 或者 f ( xi) f(x2)>0( xi,x2是f ( x)的极值点). f' (x) =0 的 A<o? a>1；由xi, x2为f' (x)=0的两个根，/曰 xi2xi + a= 0? xi = 2x1一 a侍x2 2x2 + a= 0? x2=2x2 a,(* "口i 32于是 f (xi) = 3xi-xi + axi- a3X2+ 3a-2 X13(2X1 a) + 3a 2 X122-a二Q312Xi 一齐,3同理可得f(X2)=22、3a一3卜一2 3a,口-22于是有 f (X1) - f(X2) = 13a 3 X1一二a Uka一二 X2一二a >0.当a<1时,Xi < a 1JX2-a-1>>0? X1X2 a(X1 + X2) +a 12>0,又XiX2= a,化简因为X1, X2是方程X22X + a=0的根，所以X1 +X2=2,可得 a( a2- 3a+ 3)>0 ,解得 0<a<1 ；综上所述，a的取值范围是0 , +°°).变式2 已知函数f(x) =x3+ax2 + ca(aG R c是与a无关的常数)，当函数f(X)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(一8, 3)U(1,332)u( 2，+°°),求 c 的值.T=因为/ 3=X3+加- a r所以/ '*) = 3城+,号/a=0 1可得工=0或工=-则函摩UQ)有三个不同的署点等价于0)/(-第=(c - H5He - 4<0(50)用以心0时务-30或 go时，0<C - (K -,即公0时，称-4十O0或cKO时,务？ -(2+(X0 ,设留二摄出-。+J因为倒数加)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好埴- 8 .一 3)U(1 , Du© , +8),所以在(. 8 , -3)± 期<0旦在(1 ,加© , +8)上酗)>0均恒成立，所以成-3)二心- 1W0且= C - 1廿0 .商以亡二 1 ,此时式力: 十 妙之.1 -+- l)X + 1 - d 3 因为倒数有三个零点.所以炉+g -i* *1有两个异于-1的不等实根.所以/二g - if -强1 -4力且 (-"-位-1)+1-讲th 计算得出 口£(-8, 一3)。(1 ,加+8),综上。匚1(二)三次函数的切线例2.已知函数f(x)=x33x.(1)求曲线y=f(x)在点M(2,2)处的切线方程；(2)若过点A(2, m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围.解析：(1) f ' (x) = 3x23, f ' (2) =9,所以 y=f(x)在点 M(2,2)处的 切线方程是y=9x16;(2)设切点为(t, t33t),切线方程为 y-t3+3t= (3 t2 3)( x t), 将 A(2, m 代入切线方程得 2t36t2+6 + mR 0,令 g(t) = 2 t3-6t2+6 + my g' (t)= 6t2-12t = 0? 3 = 0, t2= 2,题设中有三条切线等价于g(t)=0有三个不同实根，故g 0 >0 g 2 <06<m<2.变式1设函数f(x)=1x3 3x2 +1,其中a>0,若过点(0,2)可作曲线y= 32f(x)的三条不同切线，求 a的取值范围.解布/5=2 2、设切点为。，/)，切线方程为"伊-孕+1 ,代入口2)化惆诃 J£p得家-扣+,令鼠。=岁 -，下二。=八二0 a后和,因为可以作三条切钱,所以出力=0酸)33有三个不同的根，因此卜的) 今8回,故R的取值范围是(R24,+8).变式2 已知函数g(x)=x3 3x,过任意一点A(1 , n)可作曲线g(x)的几条 切线？解析：设切点为(x0, x33x0),切线方程为 y-x0+ 3x0= (3 x0- 3)( x x(), 将 A(1 , n)代入切线方程得 2x0 3x2+ 3+n=0,设 h(x) =2x3- 3x2+ 3 + n, h' (x)=6x2 6x = 6x(x1), h(x)在(°0, 0)和(1 , 十°0)单调递增，在(0,1)单调递减，h(0) =n+3, h(1) =n+2,按照上面例题的 解法，当3<n<2时，可作三条切线；当 n= 2或n=3时，可作 两条切线；当n> 2或n<3时，可作一条切线.(三)三次函数的图象性质例 3.(2017 江苏)已知函数 f(x) =x3+ax2+bx+1(a>0, bGR)有极值， 且导函数f' (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对 应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，弁写出定义域；(2)证明：b3>3a； 若f (x) , f' (x)这两个函数的所有极值之和不小于 7,求a的取值范 围.解析：(1)f' (x) = 3x2 + 2ax + b 有零点,A=4a212b>0,即 a2> 3b, 又 f (x)=6x+2a=0,解得 x= a,根据题意，f a = 0,即-a 3 + a -a 2+ b -a |+ 1 = 0, 3< 3)< 3J< 3><37化简得 b = |a2 + °,又 2，所以 a>3,即 b='|a2+°(a>3)；9 aa>3b9 a(2)设 g(a) = b2 3a = 81a43a+，=27)( a3 27),而 a>3, 故 g( a)>0 ,即 b2>3a； b(3)设x% x2为f (x)的两个极值点，令 f (x) = 0得乂仅2 =鼻，x1+x2 = 32a 3，法: f (x1) + f (x2) = x1 + x2+ a( x1 + x2) + b( x1 + x2) + 2=(Xi + X2)(Xi + X2)3X1X2+a(Xi + X2) 2X1X2 + b( Xi+X2)+ 24 324 3 2 2 23a j+ 2"记f(X), f' (x)所有极值之和为S(a)f ( Xi) +f(X2) =0=27a-3ab+ 2=27a-3aQa +2 a b- 3,则 &a)=f(xi) + f(X2)+f'a2 3 a273 a而&a)= %2在26 (3, +8)上单调递减且S(6)a M7毋=-2,故3<a<6.法二：下面证明f (x)的图像关于因为对任意 xGR f ( x) + f ( + x) = ( x) + a( 333a 13 X)3aa 3 a 2 a4a+ b( -7-x) + 1 +( - + x) +a( -+x) +b( - + x) + 1=-33332 72ab+2=2f3(-|),所以f(x)的图像关于 3a f -3心对称下同法一.变式1设函数f(x) =x(x- 1)( x-a)(其中a>1)有两个不同的极值点 X1X2,若不等式f (x1)+ f (X2) wo成立，求a的取值范围.解析:法一：由忠。+人功壬0得")婿-("1)(对十成小城3+功王。此不等式化为(的+X2)(X1 +歪？-如词 -(fl+ 1)(ki +JC2)2 - ixpcj + o(jc + J2)SC.又 Qc)=北x - 1)Q - a),所以内>)= 3x2 - 2(1 4 政 4。，A = 4(理-a+1)>0 .2(H-a)所以彳由= §，代入上述不等式并化借得2 -3+注0 ,解得a2 ;J四g法二：由鱼专超12的过程可得出如下结诒二函数关为二厘7加+ 5+或特0)是中心对称图形，其对称中心为(-Q(-劫，若4T)有极值点为，论,则它的对称中心就是(XI灰刘)和(JQ ,冷«的中点£gxi+ X21b b .=f % =f 忑座用此结论，得到如下解法：f(Xi)+ f(X2)WO? fX1+ X22i1 + a - <0,即 f 3 |<0,2 :3a即三?三F-1 laV a卜0.解得a>2.3 i 33 3变式2 已知函数f(X)=X36X2+9Xa有三个不同的零点，且他们构成等差数列，则a=.解析：要使f(X)有三个零点且构成等差数列，则必有f(X)的对称中心在X轴，即f (2) =0,解得a= 2.【乘热打铁】1 .设直线y=-3X+b是曲线y=X33x2的一条切线，则实数 b的值是解析：令V, = 3x2-6x=-3,则x=1,止匕时y=2,将(1, 2)代入 y= 3x+ b 得 b= 1.2 .若关于x的方程x3 +ax2+ x=0有三个实根，则实数 a的取值范围是解析：即x2+ax+ 1 = 0有两个相异的非零实根，易得 aG（oo,2)U(2, +8).3 .已知三次函数 f (x) =，x3(4nn- 1)x2+ (15 ni2mn-7)x+2 在 x G ( oo, 3+ 8)是增函数，则 m的取值范围是 .解析：f' (x) = x2 2(4 m- 1) x+ 15m2 2m- 7,由题意得 x22(4 mn- 1) x + 15n2 2m-7)0 恒成立，所以 A = 4(4 m- 1)2 4(15 nn 2m- 7) =4( nn 6m8) W0,所以 2W mc4.4 .设函数f (x) = -, g(x)= x2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象 x有且仅有两个不同的公共点A（xby-），B（x2,y2）,则x+x2 0,y1+y2 0（填“>”“<”或）.酬斤2由人力二的）得-Xi + AJ? -1=0其力二+4-1 ,而以十）=-（X -砌也-X2）,展开tt®Jti + 2X2 = 0 ,?说=-1 ,今,观察有出<0 ,所以，1田物=-1 .fh = 2xi+ X2 ,同类项系数得+=、-jfe -1 ,且的0 则ji +yiXL X2 X1JC2解析：f (1) =1, f' (1) =3,所以f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y331 = 3(x1),即y=3x -2；设切点为(x% xo),切线万程为y-xo =3x2(x x。)，将 R1,1)代入切线方程得(x。一 1)2(2x°+1) = 0,得 x0=1 或131xo= 2,所以过点P(1,1)的f(x)的切线万程为y=3x2或y = 4x + 4.3.已知函数f(x)=* 1x3+1ax2 3+1在x=3时取得极值，则 a的值等于