高中数学北师大版选修21课时作业：3.2.3 抛物线的简单性质2 Word版含解析

第三章§2课时作业27一、选择题1 过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为()A45° B60°C90° D120°解析：设抛物线的方程为y22px(p>0)如图，|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B.A1FB1AFB90°.答案：C2 设抛物线y24(x1)的准线为l，直线yx与该抛物线相交于A、B两点，则点A及点B到准线l的距离之和为()A8 B7C10 D12解析：易知yx过抛物线的焦点，d1d2|AB|x1x2|×48，故选择A.答案：A3 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A B3C D解析：依题意设点P在抛物线准线上的投影为点P，抛物线的焦点为F，依抛物线的定义，知点P到该抛物线准线的距离为|PP|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d|PF|PA|AF|.答案：A二、填空题4 设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A. 若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay2±4x By2±8xCy24x Dy28x解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是，故直线l的方程为y2，令x0得y，故OAF的面积为××4，故a±8.故选择B.答案：B5 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线的方程为y2ax(a0)，由方程组得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a4，故所求抛物线的方程为y24x.答案：y24x6 设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p×，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.答案：7 过抛物线x22py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p_.解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yx，代入抛物线方程得，y23py0，故y1y23p，|AB|AF|BF|y1y2p4p，直角梯形有一个内角为45°，故|CD|AB|×4p2p，梯形面积为(|BC|AD|)×|CD|×3p×2p3p212，p2.答案：2三、解答题8 过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点N.求证：|AB|2|NF|.证明：如图，不妨设抛物线的方程为y22px(p>0)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则y2px1，y2px2.两式相减并整理，得.M是AB的中点，.MNAB，kMN.直线MN的方程为yy0(xx0)令y0，得N点的横坐标xNx0p.|NF|xNx0.又|AB|AF|BF|x1x2p2，|AB|2|NF|.9 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少m时，木船开始不能通航？解： 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设抛物线方程为x22py(p>0)由题意知，点A(4，5)在抛物线x22py(p>0)上，所以162p×(5)，2p.所以抛物线方程为x2y(4x4)设水面上涨，船体两侧与抛物线拱桥接触于B，B时，船开始不能通航，设B(2，y)，则22y，所以y.所以水面与拱顶相距|y|2(m)所以水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航