高中数学 第二章 概率单元综合测试 北师大版选修23

北师大版2019-2020学年数学精品资料【成才之路】高中数学 第二章 概率单元综合测试 北师大版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知随机变量XB，则P(X2)等于()A.B.C.D答案D解析P(X2)C24.2设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2Bn4，p0.4Cn5，p0.32Dn7，p0.45答案A解析XB(n，p)，E(X)np，D(X)np(1p)，从而有，解得n8，p0.2.3从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.BC.D答案D解析设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)，P(B).又A、B相互独立，则、也相互独立，则P()P()P()×，故至少有一项合格的概率为P1P()，选D.4(2014·新课标理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.BC.D答案D解析四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2CCA14，由古典概型的概率得P.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确5盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为()A.B1C.D答案B解析设事件A表示“抽取第一只为好的”，事件B为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P(A)，P(AB)，P(B|A)1.6某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其质量(单位：g)分别为：150,152,153,149,148,146,151,150,152,147.由此可估计这车苹果的单个苹果质量的均值是()A150.2 gB149.8 gC149.4 gD147.8 g答案B7某班有48名学生，某次数学成绩经计算得到的平均分为70分，标准差为S.后来发现成绩记录有误，学生甲得80分却识记为50分，学生乙得70分却误记为100分，更正后计算标准差为S1，则S与S1之间的大小关系是()AS1>SBS1SCS>S1D无法判断答案C8设随机变量X服从正态分布XN(2,2)，则D的值为()A1B2C.D4答案C解析由XN(2,2)，即D(X)2，DD(X).9袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是()A.BC.D答案D解析设袋中有白球n个，则从中任取2个球都是白球的概率是，解得n3，即袋中有4个黑球3个白球设甲取到白球时取球的次数为X，则甲取到白球有：X1、X3、X5所求的概率为PP(X1)P(X3)P(X5)××××××.10.(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)则()Ap1>p2，E(1)<E(2)Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2)Dp1<p2，E(1)<E(2)答案C解析p1×，p2，p1p2>0，故p1>p2，E(1)0×1×，E(2)，由上面比较可知E(1)>E(2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_答案解析本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法设加工出来的零件为次品为事件A，则为加工出来的零件为正品P(A)1P()1(1)(1)(1).12某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分钟)服从正态分布N(50,102)则他在3070分钟内赶上火车的概率为_答案0.954解析因为XN(50,102)即50，10，所以P(30<X<70)P(502×10<X<502×10)0.954.13.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为_答案解析小球落入B袋中的概率为P1(××)×2，小球落入A袋中的概率为P1P1.14某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为_答案解析设事件A“能活到10岁”，事件B为“能活到15岁”， 则P(A)0.9，P(B)0.3，而所求的概率为P(B|A)由于BA，故ABB，于是P(B|A).15(2015·广东理，13)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，则p_.答案解析依题可得E(X)np30且D(x)np(1p)20，解得p.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16.(2015·安徽理，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X)200.P(X300).P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PEX200×300×400×350.17.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和均值解析(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为：X2101PE(X)(2)×(1)×0×1×.18.(2015·陕西理，19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与均值E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率解析(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)25×0.230×0.335×0.440×0.132(分钟)(2)设T1、T2分别表示往、返所需时间，T1、T2的取值相互独立，且与T的分布列相同设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P()P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.4×0.10.1×0.40.1×0.10.09，故P(A)1P()0.91.19.一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率(2)按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？解析(1)摸一次能获得20元奖品的概率是P，(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X5)，P(X4)，P(X3)，P(X2)P(X1)P(X0)，所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：Y1910.51P所以收入的随机变量Y的均值为E(Y)(19)×(1)×0.5×1×0.4 318.故这个可以赚钱，且摸10 000次净收入的期望为4 318元20.(2015·湖北理，20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率解析(1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有(1)目标函数为z1 000x1 200y. 图1 图2 图3当W12时，(1)表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A(0,0)，B(2.4,4.8)，C(6,0)将z1 000x1 200y变形为yx，当x2.4，y4.8时，直线l：yx，在y轴上截距最大，最大获利Zzmax2.4×1 0004.8×1 2008 160(元)当W15时，(1)表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A(0,0)，B(3,6)，C(7.5,0)将z1 000x1 200y变形为yx，当x3，y6时，直线l：yx在y轴上的截距最大，最大获利Zzmax3×1 0006×1 20010 200(元)当W18时 ，(1)表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A(0,0)，B(3,6)，C(6,4)，D(9,0)将z1 000x1 200y变形为yx，当x6，y4时，直线l：yx在y轴上的截距最大，最大获利Zzmax6×1 0004×1 20010 800.故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此，E(Z)8 160×0.310 200×0.510 800×0.29 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1P(Z10 000)0.50.20.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p1(1p1)310.330.973.21.(2014·山东理，18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A、B，乙被划分为两个不相交的区域C、D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A、B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与均值解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)××××，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0、1、2、3、4、6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)×，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)××，P(2)P(A1B1)×，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)××，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)××，P(6)P(A3B3)×.可得随机变量的分布列为：012346P所以，均值E0×1×2×3×4×6×.