高考数学理科二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语含答案

第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断1集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验(2)集合与集合之间的关系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n2.2集合的基本运算(1)交集：ABx|xA，且xB(2)并集：ABx|xA，或xB(3)补集：UAx|xU，且xA重要结论：ABAAB；ABABA.3四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理4充分条件与必要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件5基本逻辑联结词(1)命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题(2)命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)6全称量词与存在量词“xM，p(x)”的否定为“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定为“xM，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB_.(2)(2013·广东改编)设整数n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是_(y，z，w)S，(x，y，w)S；(y，z，w)S，(x，y，w)S；(y，z，w)S，(x，y，w)S；(y，z，w)S，(x，y，w)S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征答案(1)1,0,1,2(2)解析(1)因为Ax|x2x20x|1x2，又因为集合B为整数集，所以集合AB1,0,1,2(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x2，y3，z4，w1，则(y，z，w)(3,4,1)S，(x，y，w)(2,3,1)S，故(y，z，w)S，(x，y，w)S的说法均错误，可以排除，故正确思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证(1)已知集合M1,2,3，NxZ|1<x<4，则MN_.(2)(2013·山东改编)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_答案(1)2,3(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以NxZ|1<x<42,3，所以MN2,3(2)xy.热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，bR，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的_条件(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是_若a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0”；若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“a>c”；命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”；l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义答案(1)充要(2)解析(1)当b<0时，显然有a>ba|a|>b|b|；当b0时，显然有a>ba|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>ba|a|>b|b|.综上可知a>ba|a|>b|b|.(2)由于“若b24ac0，则ax2bxc0”是假命题，所以“ax2bxc0”的充分条件不是“b24ac0”，错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b20，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，错；“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x2<0”，错；由l，l，可得，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，正确思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例(1)命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题是_(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的_条件(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若ab不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”(2)由log3M>log3N，又因为对数函数ylog3x在定义域(0，)单调递增，所以M>N；当M>N时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：xR，x2>lg x，命题q：xR，sin x<x，则下列命题正确的是_命题pq是假命题 命题pq是真命题命题p(綈q)是真命题 命题p(綈q)是假命题(2)已知p：xR，mx220，q：xR，x22mx1>0，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_思维启迪(1)先判断命题p、q的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围答案(1)(2)1，)解析(1)对于命题p，取x10，则有102>lg 10，即8>1，故命题p为真命题；对于命题q，取x，则sin xsin()1，此时sin x>x，故命题q为假命题，因此命题pq是真命题，命题pq是假命题，命题p(綈q)是真命题，命题p(綈q)是真命题，故正确(2)pq为假命题，p和q都是假命题由p：xR，mx220为假命题，得綈p：xR，mx22>0为真命题，m0.由q：xR，x22mx1>0为假命题，得綈q：xR，x22mx10为真命题，(2m)240m21m1或m1.由和，得m1.思维升华(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算(1)已知命题p：在ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是_p真q假 p假q真“pq”为假 “pq”为真(2)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x202ax02a0”若命题“(綈p)q”是真命题，则实数a的取值范围是_答案(1)(2)(1，)解析(1)ABC中，C>Bc>b2Rsin C>2Rsin B(R为ABC外接圆半径)，所以C>Bsin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题若c0，当a>b时，则ac20bc2，故a>bac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题(2)命题p为真时a1；“x0R，x202ax02a0”为真，即方程x22ax2a0有实根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.(綈p)q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决2判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法3含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断4一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1(2014·浙江改编)设全集UxN|x2，集合AxN|x25，则UA_.答案2解析因为AxN|x或x，所以UAxN|2x<，故UA22(2014·重庆改编)已知命题p：对任意xR，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件则下列命题为真命题的是_pq 綈p綈q綈pq p綈q答案解析因为指数函数的值域为(0，)，所以对任意xR，y2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则pq、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p綈q、綈pq为假命题，p綈q为真命题，故为真命题押题精练1已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx<0，c>0，若AB，则实数c的取值范围是_答案1，)解析Ax|ylg(xx2)x|xx2>0(0,1)，Bx|x2cx<0，c>0(0，c)，因为AB，画出数轴，如图所示，得c1.2已知下列命题：命题“xR，x21>3x”的否定是“xR，x21<3x”；已知p，q为两个命题，若“pq”为假命题，则“(綈p)(綈q)”为真命题；“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；“若xy0，则x0且y0”的逆否命题为真命题其中正确的命题是_答案解析命题“xR，x21>3x”的否定是“xR，x213x”，故错；“pq”为假命题说明p假q假，则(綈p)(綈q)为真命题，故正确；a>5a>2，但a>2a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错；因为“若xy0，则x0或y0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错3已知p：0，q：x22x1m20(m<0)，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由0，得2x<10，即p：2x<10；由x22x1m20(m<0)，得x(1m)·x(1m)0，所以1mx1m，即q：1mx1m.又因为p是q的必要条件，所以解得m3，又m<0，所以实数m的取值范围是3m<0.(推荐时间：40分钟)1(2014·陕西改编)设集合Mx|x0，xR，Nx|x2<1，xR，则MN_.答案0,1)解析Nx|1<x<1，MN0,1)2已知集合A1,2,3,4,5，B5,6,7，C(x，y)|xA，yA，xyB，则C中所含元素的个数为_答案13解析若x5A，y1A，则xy516B，即点(5,1)C；同理，(5,2)C，(4,1)C，(4,2)C，(4,3)C，(3,2)C，(3,3)C，(3,4)C，(2,3)C，(2,4)C，(2,5)C，(1,4)C，(1,5)C.所以C中所含元素的个数为13.3设全集U为整数集，集合AxN|y，BxZ|1<x3，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为_答案7解析因为AxN|yxN|7xx260xN|1x6，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为AB1,2,3，所以其真子集有：，1，2，3，1,2，1,3，2,3，共7个4“(m1)(a1)>0”是“logam>0”的_条件答案必要不充分解析(m1)(a1)>0等价于或logam>0等价于或所以前者是后者的必要不充分条件5已知命题p：x(0，)，使得cos xx，则该命题的否定是_答案x(0，)，使得cos x>x解析原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题而“cos xx”的否定是“cos x>x”6在ABC中，“A60°”是“cos A”的_条件答案充要解析在A60°时，有cos A，因为角A是ABC的内角，所以，当cos A时，也只有A60°，因此，是充要条件7(2013·湖北改编)已知全集为R，集合A，B，则ARB_.答案x|0x<2或x>4解析Ax|x0，Bx|2x4，ARBx|x0x|x>4或x<2x|0x<2或x>48已知集合A(x，y)|xy10，x，yR，B(x，y)|yx21，x，yR，则集合AB的元素个数是_答案2解析集合A表示直线l：xy10上的点的集合，集合B表示抛物线C：yx21上的点的集合由消去y得x2x0，由于>0，所以直线l与抛物线C有两个交点即AB有2个元素9设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图象关于直线x对称则下列判断正确的是_p为真；綈q为假；pq为假；pq为真答案解析p是假命题，q是假命题，因此只有正确10已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b>0，b1，若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合AB只有一个真子集，那么ybx1(b>0，b1)与ya的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，)11已知集合Px|x(x1)0，Qx|yln(x1)，则PQ_.答案(1，)解析由x(x1)0可得x0或x1，则P(，01，)；又由x1>0可得x>1，则Q(1，)，所以PQ(1，)12已知集合Ax|x>2或x<1，Bx|axb，若ABR，ABx|2<x4，则_.答案4解析由Ax|x>2或x<1，ABR，ABx|2<x4，可得Bx|1x4，则a1，b4，故4.13由命题“xR，x22xm0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，)，则实数a_.答案1解析根据题意可得：xR，x22xm>0是真命题，则<0，即224m<0，m>1，故a1.14给出下列四个命题：命题“若，则cos cos ”的逆否命题；“x0R，使得x20x0>0”的否定是：“xR，均有x2x<0”；命题“x24”是“x2”的充分不必要条件；p：aa，b，c，q：aa，b，c，p且q为真命题其中真命题的序号是_(填写所有真命题的序号)答案解析对，因命题“若，则cos cos ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，正确；对，命题“x0R，使得x20x0>0”的否定应是：“xR，均有x2x0”，故错；对，因由“x24”得x±2，所以“x24”是“x2”的必要不充分条件，故错；对，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故正确15已知集合M为点集，记性质P为“对(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M”给出下列集合：(x，y)|x2y，(x，y)|2x2y2<1，(x，y)|x2y2x2y0，(x，y)|x3y3x2y0，其中具有性质P的点集序号是_答案解析对于：取k，点(1,1)(x，y)|x2y，但(，)(x，y)|x2y，故是不具有性质P的点集对于：(x，y)(x，y)|2x2y2<1，则点(x，y)在椭圆2x2y21内部，所以对0<k<1，点(kx，ky)也在椭圆2x2y21的内部，即(kx，ky)(x，y)|2x2y2<1，故是具有性质P的点集对于：(x)2(y1)2，点(，)在此圆上，但点(，)不在此圆上，故是不具有性质P的点集对于：(x，y)(x，y)|x3y3x2y0，对于k(0,1)，因为(kx)3(ky)3(kx)2·(ky)0x3y3x2y0，所以(kx，ky)(x，y)|x3y3x2y0，故是具有性质P的点集综上，具有性质P的点集是.