高考文数题型秘籍【26】平面向量的数量积及平面向量的应用解析版

专题二十六 平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【热点题型】题型一 平面向量的数量积例1、已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【提分秘籍】 1两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角2两向量的夹角为锐角cos >0且cos 1.3向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零【举一反三】已知向量a，b的夹角为120°，且|a|1，|b|2，则向量ab在向量ab方向上的投影是_【热点题型】题型二 数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD中，若AB2，CD1，则()·()()A5 B0C3 D5【提分秘籍】 1在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|a|·|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|a·b|a|·|b|·|cos |，而|cos |1.2实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若a·ba·c(a0)，则不一定得到bc.3实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线【热点题型】题型三 平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120°，|a|1，|b|3，则|ab|()A. B2 C. D4【提分秘籍】在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b0推出a0或b0成立实际上由a·b0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.【举一反三】若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【热点题型】题型四 平面向量的夹角与模例4、(1)平面向量a与b的夹角为60°， |a|2，|b|1，则|a2b|()A. B2 C4 D10(2)(2013年高考江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影为_【提分秘籍】 1当a·b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系2利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2a·a；(2)|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2；(3)若a(x，y)则|a| .【举一反三】已知a，b都是单位向量，且|ab|1，则a，b的夹角的取值范围是_答案：【热点题型】题型五 数量积研究垂直问题及应用例5、已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab| ，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值【提分秘籍】1利用数量积研究垂直时注意给出的形式：(1)可用定义式a·b0|a|b|cos 0；(2)可用坐标式a·b0x1x2y1y20.2在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解【举一反三】已知锐角三角形ABC中的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m(2sin B，)，n，且mn.(1)求f(x)sin 2xcos Bcos 2xsin B的单调递减区间； (2)如果b4，求ABC面积的最大值 【热点题型】题型六 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用例6、设e1，e2为单位向量，非零向量bx e1y e2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_【提分秘籍】向量夹角与模的范围问题是近几年来高考命题的热点内容，它不仅考查了数量积的应用，同时还考查了学生综合解题能力，常涉及函数思想与数形结合思想模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用函数值域的方法确定最值体现了函数思想的运用，多与二次函数与基本不等式相联系【举一反三】若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_【高考风向标】1（2014·湖北卷）若向量(1，3)，|，·0，则|_2（2014·江苏卷）如图1­3所示，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是_图1­33（2014·全国卷）已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2ab)·b()A1 B0C1 D24（2014·新课标全国卷 设向量a，b满足|ab|，|ab|，则a·b()A1 B2C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|10，|ab|2b，两式相减，得a·b1.5（2014·重庆卷）已知向量a与b的夹角为60°，且a(2，6)，|b|，则a·b_6（2014·山东卷）已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A2 B.C0 D7（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，则的值为_8（2013·全国卷）已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若·0，则k()A. B. C. D29（2013·新课标全国卷） 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则·_10（2013·陕西卷）已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()A B. C或 D0【答案】C【解析】因为ab，且a(1，m)，b(m，2)，可得，解得m或.11（2013·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2， 2)若ABO90°，则实数t的值为_12（2013·辽宁卷）已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)ba30 D|ba3|ba3013（2013·湖北卷）已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D 【答案】A【解析】(2，1)，(5，5)，|·cos ，.14（2013·全国卷）已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3 C2 D115（2013·安徽卷）若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_16（2013·陕西卷）已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值17（2013·新课标全国卷 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b，若b·c0，则t_18（2013·重庆卷）如图15所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程图1519（2013·重庆卷）在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_【随堂巩固】 1若向量a，b满足|a|b|ab|1，则a·b的值为()AB.C1D12已知a，b满足|a|1，|b|6，a·(ba)2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.3已知向量a(x1,1)，b(1，y2)，且ab，则x2y2的最小值为()A. B. C. D14在ABC中，(，1)，(1，)，则cos B()A B. C. D05.如图，在圆O中，若弦AB3，AC5，则·的值是()A8 B1C1 D86已知a(3,2)，b(2，1)，若向量ab与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_答案：>或<且17设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf (x)的值域是_8已知向量e1，e2，则e1·e2_.9已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.10在ABC中，若A120°，·1，则|的最小值是_11设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.